指数与指数函数复习课

2
〔变式训练
〕
(1)函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是 导学号 58532197 (
)
(2)已知实数 a，b 满足等式(12)a＝(13)b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；
③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有 导学号 58532198 ( )
（2）根式的性质
①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的
n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号n__a__
表示.
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为
相反数,这时，正数的正的n次方根用符号_n _a__表示, 负的n次方根用符号___n__a___表示.正负两个n次方根 可以合写为____n _a___（a＞0）. ③ ( n a )n =___a___.
(a
1)2
2
14得a
3;
当0
a
1时, a x
[a,
1 a
],由y
m
ax
(1 a
1)2
2
14得a
1. 3
二、 指数函数的性质
a•2x a 2 【例3】(12分)设函数f(x)= 2x 1 为奇函数.
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
思维启迪 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.
三、 指数函数的图象及应用 【例3】已知函数 y (1)|x1|.
3 (1)作出图象；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.
思维启迪
化去绝对值符号
将函数写成分段函数的形式
作图象
写出单调区间
写出x的取值
解 （1）由已知可得
y
( 1 )| x 1| 3
(
1) 3
x
(2)由图可知，y＝ax 单调递增，则 a>1；y＝xb 单调递减，则 b<0， A：ba>0 不一定成立，如 a＝3，b＝－1； B：a＋b>0 不一定成立，如 a＝2，b＝－3； C：ab>1 不成立，ab<0 的；故选 D．
(3)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．
知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0,且a≠ 1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是__(0_,_12_)_. 解析 数形结合.
当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1,0 a 1 .
2
思想方法 感悟提高
方法与技巧
m
④正分数指数幂：a n
=__n__a_m__（a>0，m、n∈N*，
且n>1）；
⑤负分数指数幂：a
m n
=
1
m
an
=1 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn m
(a>0,m、n
∈N*,且n>1).
⑥0的正分数指数幂等于___0___，0的负分数指数幂
__没__有__意__义_____.
（2）有理数指数幂的性质
①aras= _a_r_+_s__(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s= __a_r_s__(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r= _a__rb__r__(a>0,b>0,r∈Q).
一、指数函数定义域与值域
1、求函数
f
(
x)
(
1
)
1 x
2
定义域与值域
例1：求函数y
2x 2x
1 (a 1
0且a
1)的值域.
解法一
:由y
2x 2x
1 1
1
2 2x 1
分离参数—化归
又 2x 0,2x 1 1,0 1 1 2x 1
0
2 2x 1
2,即
2
2 2x 1
0
y (1,1)
解法二 :
利用函数的有界性—逆求
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
__R_ ___(_0_,_+_∞__)__
(1)过定点__(_0_,_1_)___
性质 (2)当x>0时,__y_>_1_; (2)当x>0时,__0_<_y_<_1_;
x<0时,_0_<_y__<_1_
x<0时,__y_>_1_
(3)在(-∞，+∞) (3)在(-∞，+∞)上
指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后“新元”的范围.
考点2 指数函数的图象及应用
(1)(2017·秦 皇 岛 模 拟 ) 函 数 f(x) ＝ 21 － x 的 大 致 图 象 为 导学号 58532194 ( )
(2)(2018·湖北黄冈质检)函数 y＝ax(a>0，a≠1)与 y＝xb 的图象如图，则下列
0<a<b 时，显然(12)a>(13)b. b<a<0 时，显然(12)a<(13)b. 综上可知：①②⑤可能成立，③④不可能成立． (3)y＝|ax－1|的图象是由 y＝ax 先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折过来得到的．
解 (1)方法一 依题意，函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
2分
a • 2x a 2 a • 2x a 2 2x 1 2x 1 ,
∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.
6分
方法二 ∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)=0，即 2a 2 0, ∴a=1.
§2.4 指数与指数函数
基础知识 自主学习
要点梳理
1.根式 （1）根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这 个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做
_a_的__n_次__方__根__,其中n＞1且n∈N*.式子n a 叫做根__式___,
这里n叫做_根__指__数____，a叫做_被__开__方__数____.
2
2
(5) y (1 )2x 1
1
(6) y x 2
2
4、右图是指数函数（1）y=ax，
(4) y (3)x
（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx
的图象,则a，b，c，d与1的大
小关系是 ( ) 答案 B
A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c
不等式一定成立的是 导学号 58532195 ( )
A．ba>0
B．a＋b>0
C．ab>1
D．loga2>b
(3)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，
则 b 的取值范围是__________. 导学号 58532196
[分析] (1)将函数化为 f(x)＝2×(12)x 的形式，根据函数的性质及过定点，并 结合选项判断；
上是_增__函__数__
是_减__函__数___
5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有 （ C ）
A.a=1或2
B.a=1
C.a=2
D.a>0且a≠1
6、比较大小：
(1)2.51.3,2.52 (2)0.80..3,0.80.5
(3)1.80.6 ,0.93.1(4)0.90.5,0.50.9
12分
探究提高 (1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函
数,则有f(0)=0,即可求得a=1.
（2）由x1<x2推得2x1 2x实2 ,质上应用了函数
f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.
知能迁移2
设
f (x) ex a
a ex
是定义在R上的函数.
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.
1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的
无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0<a<1， x→+∞时，y→0；当a>1，x→-∞时,y→0;当a>1时， a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快； 当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速 度越快.
2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、
上是_增__函__数__
是_减__函__数___
练习：
题型分类 深度剖析
1、下列等式 3 6a3 2a; 3 2 6 (2)2 ;34 2 4 (3)4 2
中一定成立的有
（A ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2、计算下列各式
2
(1)(0.027) 3
(
27
1
)3
(2 7 )0.5;
0.0
1
3x1
(x 1) ,
(x 1)
其图象由两部分组成：
一部分是：y
(1) 3
x
(x
0)
向左平移 1个单位
y
1 (
) x 1 (
x
1);
3
另一部分是：y=3x (x<0)向左平移 y=3x+1 (x<-1).
1个单位
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数， 在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高 在作函数图象时,首先要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
y
2x 2x
1 , 2x 1
(
y
1)
1
y
1 y 1
所求函数的值域为 (1,1)
例2、设a>0,且a≠1,如果函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]的最 大值为14，求a的值。
[提示] 配方得：y a2x 2a x 1 a x 1 2 2
当a
1时, a
x
[1 a
, a],由ymax
125
9
9
(2) 1 ( 3 1)0 9 4 5 ;
-1
52
21
11
15
(3)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
1
4
(4)
8ab 3 b 3
2
2
4a 3 2 3 ab b 3
3
(2
a b
1) 3
b.
3、判断下列函数是否是指数函数
(1) y (1)x (2) y (1)x1 (3) y 2 3x
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
(3)(2017·汕头模拟)若将本例改为：直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0 且 a≠1)
的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是__________.
[解析] (1)当 0<a<1 时，y＝ax－1a递减，当 x＝0 时，y＝1－1a<0.故选 D． (2)在同一坐标系内，作出函数 y＝(12)x 和 y＝(13)x 的图象(如图)． 如图：a>b>0 时，(12)a＝(13)b 可能成立． a<b<0 时，(12)a＝(13)b 可能成立． a＝b＝0 时，(12)a＝(13)b 显然成立．
(0,1)、(-1, 1 ). a
3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中， 要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程 （组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.
失误与防范
1.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的图象和性质与a的取值
有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究. 2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)的
（2）由(1)知，
2
f (x)
2x 2x
1 1
,
设x1<x2且x1,x2∈R，
6分 8分
则f
(x2 )
f
( x1 )
2 x2 2 x2
1 1
2 x1 2 x1
1 1
(1
2
2 x2
) 1
(1
2
2 x1
) 1
2(2x2 2x1 ) (2x2 1)(2x1 1) 0,
10分
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.
(2)由图确定 a、b 的范围求解； (3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解． [解析] (1)解法一：函数 f(x)＝21－x＝2×(12)x，单调递减且过点(0,2)，选项 A 中的图象符合要求．
解法二：(采用平移法)因为函数 f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先画出函数 y＝2－x 的图象，再将 y＝2－x 图象的所有点的横坐标向右平移 1 个单位，只有选项 A 符 合．
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
__R_ ___(_0_,_+_∞__)__
(1)过定点__(_0_,_1_)___
性质 (2)当x>0时,__y_>_1_; (2)当x>0时,__0_<_y_<_1_;
x<0时,_0_<_y__<_1_
x<0时,__y_>_1_
(3)在(-∞，+∞) (3)在(-∞，+∞)上
④当n为奇数时，n an =__a__;
a (a 0) 当n为偶数时，n an | a | =____a___(_a___0_)___.
⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂： an a a（ an∈ aN*）；
②零指数幂：a0=__1__（a≠0）；
1 ③负整数指数幂：a-p=__a_p__（a≠0，p∈N*）；
指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， (－1，1a)．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断． (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通 过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形 结合求解．