泛函的极值word版

第2章 泛函的极值

在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。

2.1函数的极值性质

2.1.1 函数的连续性

任意一个多元函数12(),(,,...,)T n

n f x x x R =∈x x , 0>∀ε, 如果0)(>=∃εδδ,

当0δ-

0()()f f ε-

那么, 我们称()f x 在0x 处是连续的, 记为0

0()lim ()f f →=x x x x 。 2.1.2 函数的可微性

更进一步, 如果存在1(,,)T n n A A R ∃=∈A , 使得

01000(,

,,,)()

lim

,1i n i i i

f x x x f A i n x x →-=∀≤≤-x x x

那么我们称()f x 在0x 处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为

'()f =x A

或者记为

12

'(),,...,T

n f f f f f x x x ⎛⎫

∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭x ∇

其中∇为梯度算子(或者Hamilton 算子, 见附1)。同理, 可以定义该函数的两阶导数

"()f x

2222

1121222221

22222

22

2

"()n n n n n f

f f x x x x x f f f f f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤

∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥

∂∂∂⎢

⎥==∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦

D x

及更高阶导数。 这里f D 也称为Jacobi 矩阵。

如果函数()f x 在某点0x 足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开

2

2

1002!020(d )()d d (d )

d d ()d d ()d T T f f f f o f f f f +=+++==x x x x x x x D x x

∇

其中()o ⋅为高阶小量, 2

d ,d f f 分别为函数()f x 的一阶微分和两阶微分。

换个角度来看, 如果

2

1

00002!(d )()(,d )(,d )(d )f f L Q o +-=++x x x x x x x x

其中0(,d )L x x 为d x 的线性函数, 而0(,d )Q x x 为d x 的两次函数, 那么0(,d )L x x 为()f x 的一阶微分, 0(,d )Q x x 为()f x 的两阶微分。 2.1.3 函数的极值

对于足够小的0>ε, 如果0(,)O ε∀∈x x ，总有0()()f f ≤x x , 那么我们称()f x 在

0x 有极大值。 如果0(,)O ε∀∈x x ，总有0()()f f ≥x x , 那么我们称()f x 在0x 有极小值。

这里00(,){}O εε=-

如果()f x 在某一点0x 附近足够光滑, 那么()f x 在0x 有极值的必要条件为

0d d ()0T f f ==x x ∇

或者说

0()0f =x ∇

更进一步, 如果0()0f ≠D x , 那么()f x 在0x 有极大(小)值的充分条件为

02

1

02!

d d ()0

d d ()d 0(0),d 0

T T

f f f f ===<>∀≠x x x D x x x ∇

或者说是

00()0()0(0)

f f =<>x D x ∇

其中0()0f

2.2泛函的极值

2.2.1函数的邻域 定义在区间(,)a b 上的函数)(0x y y =的一阶ε邻域定义为: 对于0ε∀>, 始终满足

00()(),

(,)

'()'(),(,)

y x y x x a b y x y x x a b εε-<∈-<∈

我们称同时满足上述两式的函数()y x 的集合是0()y x 的一阶ε邻域。同样可以定义函数的高阶ε邻域。 2.2.2泛函的极值

变分引理: 如果函数],[)(0

b a C x f ∈, 对于在],[b a 上满足0)()(==b a ηη的、足够光滑的任意函数)(x η, 如果总是成立

()()d 0b

a

f x x x η=⎰

那么在(,)x a b ∀∈必有

0)(≡x f

证明: 用反证法。 假设有),(0b a x ∈使得0)(0≠x f , 不失一般性设 0)(0>x f 。由

],[)(0b a C x f ∈, 一定存在0>ε, 使

00()0,[,](,)f x x x x a b εε>∈-+⊂

这样我们总可以构造下面一个连续函数)(x η

33()(),(,)

()0,(,)x x x x x αβαβηαβ⎧--∈=⎨∉⎩

其中

00,

x x αεβε=-=+

可以证明

2

()(,)x C a b η∈

这样

00()()d ()()d 0x b

a

x f x x x f x x x ε

εηη+-

=>⎰⎰

显然与引理条件矛盾, 所以对于任意的],[b a x ∈都有

0)(≡x f

以上结果容易推广到二维或更高维的情形。

如果泛函][y J 在)(0x y y =的一阶ε邻域内都不大(小)于][0y J , 那么我们称泛函

][y J 在)(0x y y =有极大(小)值。 也就是说

0[][]

J y J y ≥()

极小,

0[][]

J y J y ≤()极大

（2.2.1）

使][y J 取到极值的函数称为极值函数。

下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。

01[](,,')d ,(),()b

a

J y F x y y x y a y y b y ===⎰

如果*

()y y x =使[](,,')d b a

J y F x y y x =⎰取到极值, 则对于*

()y y x =的一阶ε邻域内的

函数()y x 应有

[][*]J y J y ≥()极小或者[][*]J y J y ≤()极大 现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取

*()()()y x y x x αη=+

由于10)(,)(y b y y a y ==, 因此

0)()(==b a ηη

当α足够小的时候, ()y x 属于*

()y y x =的邻域。当*

()y y x =以及)(x η给定以后, []J y 应该是关于α的函数