小学奥数之分数问题

小升初•竞赛中的分数问题

在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。

① 和（差）倍问题。具体表现为“已知分数的分子与分母的和 （差），和约分过后的结果，求原分 数。

② 变化类。具体表现为“已知分数的分子与分母和 （差）的关系，再告诉分子或分母变化后的 结果，求原分数。”

③ 因数分解类。具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。 ” ④ 中间分数计算类。具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和 的最小值。”

3

例1： 一个分数约分后是7，若约分前分子与分母的和是40,那么约分前的分数是多少

思路点拨

3

想一想：约分后是7，你可以想到什么？你有几种方法来解答这个问题？ （友情提示：从方程

与算术两个角度来思考。）

模仿练习

3

一个分数的分子与分母和是40,约分后是：,那么这个分数原来是多少？

5

1

例2： 一个分数的分子与分母的和是 19,加上这个分数的分数单位就是4，这个分数是多少? （2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题） 3/16

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精典例题

思路点拨

想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化？想明白后，再结合例1方法来思考一下，相信你能自己解答的！

/模仿练习

1

一个分数的分子与分母之和是37,若分子减去1,分数值是2 ,原分数是多少？（2007年成都外国语学校小语种数学试卷）

例3:分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个？（2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题）

思路点拨

想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数？再想一想对“分子、分母相乘的积是

2002”

的信息又应该怎样去理解？

/模仿练习

一个最简真分数，分子与分母的积是24,这个真分数是多少？（成都外国语学校2011年“德瑞杯”知识竞赛数学试题）

中嘉祥外国语学校6年级衔接班试题2）

学校2011年5升6招生数学试题）

1

4. 某分数分子分母的和为23,若分母增加17,此分数值为4，原分数为多少？（成都实验外 国语学校“德瑞教育发展基金会” 2010年奖学金测试数学A 卷）

5. 分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个？ （2008年成都嘉祥外国语衔接班招生考试

题2）

5

6. 一个分数，分子与分母的和是75,若分子加上3,则可约简成8 ,原来的分数是多少（2007 年成都七中育才东区衔接班招生考试题 2）

C 级

3 n 4

7. m,n 为自然数，若3 V - V 4，则m+n 的最小值是多少？ （2007年成都七中育才东区衔接班

4 m

5 招生考试题2）

2.将分数的分子增加

77后，如果要求分数的大小不变，分母应变为多少? （2010年成都七

3. 一个分数，分子、分母的和是

2010,约成最简分数后是60 ,这个分数是多少?

（嘉祥外国语

第二讲分数计算中的拆分

分数计算中的拆分，又叫裂项计算。分裂项差与裂项和两类。

最常见的为裂项为分数单位差。

有方法把这道题的每一项都转化成

"模仿练习

的形式！相信你会有办法的!

1 1 1 1

———1—…

1 4 4 7 7 10 10 13 97 1 00 （第三届《小数报》数学竞赛）

裂项差基本知识点为：x X 1 _ 1（注：a小于b，a、b都为非零自然数。）

a b b -a a b

裂项和基本知识点为： a 1^（a、b都为非零自然数。）

a b a b

聪明的你能说出其中的道理吗?

试试看！

本讲主要讲裂项差知识

例1 :把下面的和表示为一个既约分数：（注：分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数。

11111

—- - - —（美国长岛小学数学竞赛第三次第4题）

12 23344556

思路点拨

仔细观察，每一项中的分母的因数差是几，与分子有什么样的关系？那么可以怎样计算

"模仿练习

111 1 1

」1丄丄丄（南京市第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷

1 2 2 3 3 4 19 20 20 21

第5题）

例2:3右加存齐第三届“华杯赛”决赛第一试试题）

思路点拨

x

想一想：现在这种形式满足吗？很显然不满足，那么仔细观察每一项的分母，根据分母的特点，有没

a5

3.

5

+

4X 7

5 +

7X 10

5 +

10X 13

5 97X 100

1

2 ______

3 _____ ___________

4 _________ ____________________ 10 一 1 （1 2） ~（1 2） （1 2 3）一（1 2 3）（1 2 3 4）一 一（1 2

3 .... .

9） （1 2 3： M0）

（1989年小学数学奥林匹克竞赛初赛试题•成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会” 2010年 奖学金测试题B 卷）

思路点拨

先根据减法的性质：从被减数中连续减去几个数，可以先把这几个减数相加，再从被减数里减去它们的和, 结果不变。然后，再观察每项分母的两个因数与分子之间有什么关系？那么可以怎样计算？

k

模仿练习

2 3

4

込

1 （1 - 2） （1 -

2） （12 3）

（1 2 3）（ 1 2

3

4） （1 2 3...

99）

（1 2 3 ... 100）

计算化简后得到一个最简分数，它的分母与分子的这差是多少？ （北京市第四届“迎春杯”刊赛试

题）

1 1 1 1

1. 丙+ 芦+ R +…+石齐（第三届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

2 2 2 2 1^4 + 4^7 + 7X 10 + 10X 1

3 +

学以致用

2.

2 97X 100