应用随机过程课件资料
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代数 P(A) ， A,F是定F上 义的 在非负集 足函
（ 1 ）对 A F， 任 0 有 P( A 意 ) 1 ;
AFi AA ij (2)P ( )1 ;
i ij （ 3 ） ， 对 1 , 2 , , 任 , 意
P（ Ai） P(Ai)
i1
i1
则P 称 是 ( ,F）上的 ( ,F 概 ,P)称 率作 ，概 间P ， (A)称为A的 事概 件率。
（ 1） F；
（ 2 ） 如 A 果 F， A 则 F；
A Fi A F
（ 3 ） 如 i 果 ， 1 , 2 , , 则 i 1i.
那么 F为 中 ， - 的 称 代 .数
(F,)为可测空 F中间 的， 元素称 . 为
性质 假 设 F是 中的任 -一 代事 数件 ，则
(1) F;
AFi n AFAF n n
(4)A,BF, 若AB P(A )P(B)
若AB P ( B A ) P ( B ) P ( A )
—单调性
(5 )若 A n F ,n 1则
P
(
An
)
P( An )
n 1
n 1
—次可列可加性
(6)设 ij,A iA j, A i i 1 则对任意事A,件有 P(A)P(A Ai) i1
参考书 1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
前
言
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
定 P (A 义 ) b a ,称 ( ,F ， P )为 [0 ,1 ]上 B的 概 ore 率
称 P为 [0,1]上B 的 o概 rel率.测度
概率的基本性质
(1 )P ()0,
(2)若 A ,BF, 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) B
(3 )P (A ) 1 P (A )
(常常它为称为最广-代 泛数 的 .)
例1.2 由 F{,}，则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。
思考题：
随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数，
样本 空 {间 1,2,3,4,5,6}，下列事件是
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
A B B A
- 代数？
F ( 1 ) 事 { 件 , , { 1 , 2 , 3 } 类 { 3 , 4 , 5 , 6 }}; F ( 2 ) 事 { 件 , , { 1 , 2 , } 类 3 , 4 } { { 5 , 6 } ,}; F ( 3 ) 事 件 { , , { 1 , 3 , 5 类 } 2 , 4 , { 6 }};
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(4)对偶原则 (De Morgan律)
A BAB ABA B
i 1Ai i1Ai
i1Ai i 1Ai
定义1.1 设 为样本 F是 空 中间 的， 某些
组成的集合族，若满足 ：
( 2 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1 i , i 1 i ;
A BFABF BAF A Fi A F
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
（5）-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
应用随机过程
Application of Stochastic Processes
数理科学与工程学院 应用数学系
范爱华
1.031652.8 7 1.0326513.4 77
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学 出版社
定义1.2 对 于 上任意 A 的 包最 含 -小 代 事的 数 件 称为 A 生 事成 件 -代 的数 记作 ， ( A ).
结论：设A是中的一个集系 ห้องสมุดไป่ตู้， 包A含 的最小的
-代数 (A)一定存 . 在
注对 ： 于 中的任意 A,必 事定 件存 A 类 的 在含
最小事 -代 件 数，并 上 且包 A 等 的 含 于 事 -件 代F 数 i,i1,2,之交， (A) 即 Fi.
例1.1：[0 ,1 ]上 B的 o 概 re率 l 空 [0 ,1 ]间 F ,B [0 ： ,1 ],
即 B [ 0 , 1 ] 是 [ 0 , 1 局 ] 上 B限 o 的 - 代 r ,称 ( e 在 ,F 数 ) l
(0 , 1 [ ]B [ , 0 , 1 ]为 [ ) 0 , 1 ] 上 B可 的 or . A 测 e [ a l ,b ] B 空 [ 0 , 1 ]
（ 7）性 (2)的 质 推 Jo 广 r公 d， a式 n
对 A 1 ,A 任 2 , ,A n 有 意
n
P ( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
i 1
i1
1i jn
P (A iA jA k) ( 1 )n 1P (A 1 A 2 A n)
1 ij k n
事件列极限1：假设事件 Ai序 , 列
i1
定义1.3
设R,由所有半无限(区 ,a间 )生成的 -代数 （即包{含 (,a),aR}的最小 -代数,称 ）为R上的
Borel -代数,记作B(R)，其中的元素B称 or为 e集l 合.类似可以定 Rn上 义的Borel -代数,记作B(Rn). 显然B((,a),aR).
定义1.4 设 F是定义在 样 上本 的 空 事 -间 件
（ 1 ）对 A F， 任 0 有 P( A 意 ) 1 ;
AFi AA ij (2)P ( )1 ;
i ij （ 3 ） ， 对 1 , 2 , , 任 , 意
P（ Ai） P(Ai)
i1
i1
则P 称 是 ( ,F）上的 ( ,F 概 ,P)称 率作 ，概 间P ， (A)称为A的 事概 件率。
（ 1） F；
（ 2 ） 如 A 果 F， A 则 F；
A Fi A F
（ 3 ） 如 i 果 ， 1 , 2 , , 则 i 1i.
那么 F为 中 ， - 的 称 代 .数
(F,)为可测空 F中间 的， 元素称 . 为
性质 假 设 F是 中的任 -一 代事 数件 ，则
(1) F;
AFi n AFAF n n
(4)A,BF, 若AB P(A )P(B)
若AB P ( B A ) P ( B ) P ( A )
—单调性
(5 )若 A n F ,n 1则
P
(
An
)
P( An )
n 1
n 1
—次可列可加性
(6)设 ij,A iA j, A i i 1 则对任意事A,件有 P(A)P(A Ai) i1
参考书 1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
前
言
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
定 P (A 义 ) b a ,称 ( ,F ， P )为 [0 ,1 ]上 B的 概 ore 率
称 P为 [0,1]上B 的 o概 rel率.测度
概率的基本性质
(1 )P ()0,
(2)若 A ,BF, 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) B
(3 )P (A ) 1 P (A )
(常常它为称为最广-代 泛数 的 .)
例1.2 由 F{,}，则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。
思考题：
随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数，
样本 空 {间 1,2,3,4,5,6}，下列事件是
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
A B B A
- 代数？
F ( 1 ) 事 { 件 , , { 1 , 2 , 3 } 类 { 3 , 4 , 5 , 6 }}; F ( 2 ) 事 { 件 , , { 1 , 2 , } 类 3 , 4 } { { 5 , 6 } ,}; F ( 3 ) 事 件 { , , { 1 , 3 , 5 类 } 2 , 4 , { 6 }};
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(4)对偶原则 (De Morgan律)
A BAB ABA B
i 1Ai i1Ai
i1Ai i 1Ai
定义1.1 设 为样本 F是 空 中间 的， 某些
组成的集合族，若满足 ：
( 2 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1 i , i 1 i ;
A BFABF BAF A Fi A F
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
（5）-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
应用随机过程
Application of Stochastic Processes
数理科学与工程学院 应用数学系
范爱华
1.031652.8 7 1.0326513.4 77
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学 出版社
定义1.2 对 于 上任意 A 的 包最 含 -小 代 事的 数 件 称为 A 生 事成 件 -代 的数 记作 ， ( A ).
结论：设A是中的一个集系 ห้องสมุดไป่ตู้， 包A含 的最小的
-代数 (A)一定存 . 在
注对 ： 于 中的任意 A,必 事定 件存 A 类 的 在含
最小事 -代 件 数，并 上 且包 A 等 的 含 于 事 -件 代F 数 i,i1,2,之交， (A) 即 Fi.
例1.1：[0 ,1 ]上 B的 o 概 re率 l 空 [0 ,1 ]间 F ,B [0 ： ,1 ],
即 B [ 0 , 1 ] 是 [ 0 , 1 局 ] 上 B限 o 的 - 代 r ,称 ( e 在 ,F 数 ) l
(0 , 1 [ ]B [ , 0 , 1 ]为 [ ) 0 , 1 ] 上 B可 的 or . A 测 e [ a l ,b ] B 空 [ 0 , 1 ]
（ 7）性 (2)的 质 推 Jo 广 r公 d， a式 n
对 A 1 ,A 任 2 , ,A n 有 意
n
P ( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
i 1
i1
1i jn
P (A iA jA k) ( 1 )n 1P (A 1 A 2 A n)
1 ij k n
事件列极限1：假设事件 Ai序 , 列
i1
定义1.3
设R,由所有半无限(区 ,a间 )生成的 -代数 （即包{含 (,a),aR}的最小 -代数,称 ）为R上的
Borel -代数,记作B(R)，其中的元素B称 or为 e集l 合.类似可以定 Rn上 义的Borel -代数,记作B(Rn). 显然B((,a),aR).
定义1.4 设 F是定义在 样 上本 的 空 事 -间 件