线性代数综合练习题(二)

A1( A B) (B1 A1)B
A1( A B) (B1 A1)B
A1 A B B1 A1 B B A1 B1
A1 AT , B1 BT , AT A
( A B ) A B 0 A B 0 A B 0 A B 0 选（C）


2
。
2
1 2 1

2
0

X
T


2
，
0 2
2
1 2 1
对矩阵

2
0
2

0 2 2
施行初等行变换
1 2 1

2
0
2

0 2 2
1 2 1 1 0 1
~

0
4
4

~

0
1
1

0 2 2 0 0 0
XT


11，
X
1
1
2、设
1 0 0 0
A=

0
1
2
-3

求
A1
0 0 1 2
解：对 0矩阵0 （0A E1）施行初等行变换
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
元素分别为 -1，3，2，0，第
二行元素的余子式依次为 5，
-2，a ，4，则 a =
。
解：因为行列式第三行元素与第二 行元素对应的代数余子式乘积之和 为零，所以有
（1）（5）3（2）（2 a）04 0
解得 a 1 。 2
4、已知 A是满秩方阵，且
1 2 3
AB
线性表示；
(D)、 3能由1,2线性表示，也能由β，1,2
线性表示。
解因则：为 若能 由能3由能1,由1,21线2,，性2线表3性线示表性，示表与示已，，
知矛盾，所以不能选（C）（D）；
若 3 能由 ，1,2 线性示，
则有 3 k1 k21 k32

0
0
1 0
2 1
3 2
0 0
1 0
0 1
0

0
~

0
0
1 0
2 1
0 0
0 0
1 0
0 1
3

2
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
~

0 0
1 0
0 1
则 B
。
解： B=A3-A=AA-E A E
B A AE AE
又因为1是实对称矩阵A的一个特征值，
A E 0 B 0
二、选择题
1、设 a1, a2 , a3 线性无关，
则下列向量组线性相关的是 （ ）；
( A)、a1 a2 , a2 a3, a2 a1 (B)、a1 a2 , a2 a3, a1 a3 (C)、a1, a1 a2 , a1 a3 (D)、a1, a2 , a3 a1
4、已知
1 2 3
2 4 6
A=

2
4
6
，B


1
2
3

,
3 6 9
4 8 12
1 0 0
0 1 0
P1


0
1
0

,
P2


1
0
0

,
1 0 1
0 0 1
则B = (
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( A)、AP2P1; (C)、P2 P1 A;
线性代数综合 练习题 （二）
一、填空题
1、四阶方阵A的特征值为
1、3、4、5，
则a 11

a22

a33
a44

；
A
。
1
2

2、设
A


2

,
B


3


3

1
则存在可逆阵 P，使 P-1AP=B，其中
P=
。
3、已知四阶行列式D的第三行


2
4
6

,
3 6 9
则B 的秩为
。
解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等 矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当 于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换 不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而 AB的秩为1，所以B的秩为1。
5、设1是实对称阵 A的一个 特征值，且B A3 A ，
令 k1(1k2 2k)3(12则有3一) 组(不3全为零1) 的 数0 使
所以选（A）
2、设A是n阶矩阵，且A的行列
式 A 0, 则A中
；
（A）必有一列元素为零； （B）必有两列元素对应成比例； （C）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D）任一列向量是其余列向量的线性组合。
解；设一组数 k1, k2 , k3使
k1(1 2) k2(2 3) k3(3 1) 0
(k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0
1,2 ,3 线性无关，所以
(k1 k3 ) 0
(k1 k2 ) 0 (k2 k3 ) 0 解得 k1 k2 k3
解：由 A 0, 可知，A的列向量组是线性相关的，
所以其中至少有一个列向量可由其余列向量线性表 示，因此选（C）。
3、设A,B均是n阶正交阵,若
A B 0, 则
A+B必为(
)
(A)、初等阵； (B)、正交阵；
(C)、对称阵； (D)、奇异阵。
解： A1( A B)B1 B1 A1
11 22 33
(1 3k1) (1 k2 )1 (2 k3)2
(1 3k1) 0时， 可由 1,2 线性表示，
与已知矛盾，所以选（B）
三、计算题
1、解矩阵方程
T 1
x

1 2
2 0
0
2

解：由已知得
(B)、AP1P2 ; (D)、P1P2 A。
解：选（C）
5、设β能由 1,2 ,3线性表示，
但不能由 1,2 线性表示，
则(
)；
但(能A)由、β，3不能1,由2线1,性表2 线示性；表示， (B)、 3 不能由1,2线性表示，
也不能由β， 1,2 线性表示；
(C)、 3能由1,2线性表示，但不能由β，1, 2