(完整)2019-2020年高考数学大题综合练习(一)(含答案),推荐文档

2019-2020年高考数学大题综合练习（一）

1.在△ABC 中，已知2510

,?510

cosA sinB =

= （1）求证: △ABC 的内角B 是锐角;

（2）若△ABC 的最短边的长等于5，求△ABC 的面积.

【解析】（1）由于110

10

sin ≠=B ，则B 不是直角。 假设B 为钝角，由于1010sin =

B ，则31tan -=B 。又由55

2cos =A 求得2

1tan =A ， 则71)(1tan tan 1tan tan )tan(2

1

312131=--+-=-+=+B A B A B A ，则71)tan(tan -=--=B A C π,则角C 也是钝角，这与B 为钝角的假设相矛盾，于是假设不成立. 综上，ABC ∆的内角B 是锐角 （2）由于552cos =

A ，则21tan =A .由于1010

sin =B 且B 为锐角，则3

1tan =B .于是，11tan tan 1tan tan )tan(tan 2

1

312

131

-=⋅-+-=-+-=+-=B A B A B A C ，则︒>︒=90135C 10sin sin 5,sin sin 5==∴=∴B

A

BC A BC B B 最小，据正弦定理得角2

52251021sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∴∆C CA CB S ABC

2.如图，四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，

//AB DC ,AD DC ⊥,1AB AD ==，2DC SD ==，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （1）证明：2SE EB =； （2）求二面角A DE C --的大小.

【解析】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系Dxyz ，设()1,0,0A =，则()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2S .

（1）证明：()0,2,2SC =-u u u r ，()1,1,0BC =-u u u r ，设平面SBC 的法向量为(),,n a b c =r

，由n SC ⊥r u u u r ，n BC ⊥r u u u r ，得到0n SC ⋅=r u u u r ，0n BC ⋅=r u u u r

，故0b c -=，0a b -+=，取

1a b c ===，则()1,1,1n =，又设()0SE EB λλ=>u u r u u u r

，则

2,,111E λ

λλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，2,,111DE λλλλλ⎛⎫= ⎪+++⎝⎭

u u u r ,()0,2,0DC =u u u r 设平面CDE 的法向量为(),,m x y z =u r

，由m DE ⊥u r u u u r ，m DC ⊥u r u u u r ，得到

0m DE ⋅=u r u u u r ，0m DC ⋅=u r u u u r ，故20111x y z

λλλλλ

++=+++，20y =，令2x =，则()2,0,m λ=-u r ，

由平面DEC ⊥平面SBC ，得到m n ⊥u r r

，

所以0m n ⋅=u r r

，20λ-=，2λ=，故2SE EB =.

（2）解：由（1）知222,,333DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，取DE 的中点F ，则111,,333F ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，

211,,333FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，故0FA DE ⋅=u u u r u u u r ，FA DE ⊥u u u r u u u r

，又242,,333EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，故

EC DE ⊥u u u r u u u r ，因此向量FA u u u r 与EC uuu

r 的夹角等于二面角A DE C --的平面角，于是

()

1cos ,2FA EC FA EC FA EC

⋅==-u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以二面角A DE C --的大小为120o .

3.已知数列{a n }，{b n }满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-，0n b ≠．

（1）求证：数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；

（2）令1

2

n n

n c b =

，求数列{c n }的前n 项和T n ．

【解析】（1）∵1n n b a =-，∴1n n a b =+，由121n n n a a a +=+， ∴12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++，化简得11n n n n b b b b ++-=， ∵0n b ≠，∴

+1111n n n n n n b b b b b b ++-=，即+111

1n n

b b -=（*n N ∈）， 而

11111

1121

b a ===--， ∴数列1n b ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴

11(1)1n n n b =+-⨯=，即1(*)n b n N n =∈，∴111n n a n n

+=+=（*n N ∈）．