解析函数的孤立奇点及留数

C m ≠ 0
于是
1 d m1 lim m1 [(z z0 )m f (z)] (m 1)! z→z0 dz 1 = lim (m 1)!C1 + m2 C0 (z z0 ) + (m +1)3 C1( z z0 )2 + (m 1)! z→z0 = C1 = Res[ f (z), z0 ]
lim f ( z ) = ∞ z = 0为极点,
z→0
1 2 1 z + 2 ( z + 1) 3! f (z) = z = 0为1级极点 2 2 z ( z 1)
z = 1 为 2 级极点
z = 1 为可去奇点
1 (3) f ( z ) = 2 z z ( e 1)
解 z = 0为 z 2的 2级零点 , z k = 2 k π i ( k = 0 , ± 1, )为
n = ∞
C n z n中 z 1的系数 ∑
+∞
留数计算法:
(1) 若 z 0为 f ( z )的可去奇点 , 则 Res[ f (z), z0 ] = 0 ( 2) 若 z 0为 f ( z )的1级极点 , 则
m=1
Re s[ f (z), z0 ] = lim (z z0 ) f (z)
z→z0
Laurent 展式为: ( t ) =
n = ∞
C nt n ∑
+∞
规 : t = 0为 (t)的 去 点 m 极 , 性 点 , 定 当 可 奇 , 级 点本 奇 时 称 = ∞为 (z)的 去 点 m 极 , 性 点 z f 可 奇 , 级 点本 奇
z = ∞ 为可去奇点
f (z) =
z=0
1 ( 4 ) f ( z ) = z cos z 解 奇点 : z = 0 1 f ( z ) = z cos z 1 1 1 1 ( 1) n 1 = z [1 + + + ] 2 4 2n 2! z 4! z ( 2 n )! z
z = 0为 f ( z )的本性奇点
以上讨论了当
z 0为有限奇点时,孤立奇点的分类.
第十章
函数项级数
第一节 函数项级数简介 第二节 幂级数 第三节 Laurent级数 级数 第四节 解析函数的孤立奇点及留数 第五节 Fourier级数 级数
4.1 孤立奇点及其分类
留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志;留数 揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系.
定义4.1 若 f (z) 在 z 0不解析,但在 z 0 的某一去心邻域 4.1
在 z 0 解析且 ( z 0 ) ≠ 0, m 为一正整数 , 则称 z 0 为 f ( z )的 m 级零点.
性质1 若 f ( z )在 z 0 解析 , 则 z 0为 f ( z )的 m 级零点
1 的 m 级零点 性质2 z 0为 f ( z )的 m 级极点 z 0为 f (z)
证明
(3) 若 z 0为 f ( z )的 m级极点 , 则在 z 0的去心邻域内
f ( z ) = Cm ( z z0 ) m + + C1 ( z z0 ) 1 + C0 + C1 ( z z0 ) +
(z z0 )m f (z) = Cm ++ C1(z z0 )m1 + C0 (z z0 )m +,
+∞
有限项(m项)
n= m
Cn ( z z 0 ) n ∑
பைடு நூலகம்
= Cm ( z z0 ) m + + C1 ( z z0 ) 1 + C0 + C1 ( z z0 ) +
f ( z ) = ( z z 0 ) m g ( z ), 其中 g ( z ) = C m + C m +1 ( z z 0 ) + C m + 2 ( z z 0 ) 2 + =
(3) 若z 0为f ( z )的 m级极点 , 则 1 d m1 m Re s[ f (z), z0 ] = lim m1 {(z z0 ) f (z)} (m1)! z→z0 dz
P( z ) (4) 设f ( z ) = , P( z )及Q( z )在z0解析,且P( z0 ) ≠ 0, Q( z ) P(z0 ) Q( z0 ) = 0, Q′( z0 ) ≠ 0, 则 Res[ f (z), z0 ] = Q′(z0 ) 1 1 (5) Res[ f (z), ∞] = Res[ f ( ) 2 ,0] z z
无穷远点处的留数
设 f ( z )在无穷远点 z = ∞ 的去心邻域 R < z < +∞ 内解析
L 为 R < z < +∞ 内任一条逆时针方向的 简单闭曲线, 则 f ( z )在 ∞ 处的留数定义为
1 Re s[ f (z), ∞] = ∫ f (z)dz = C1 2π i L
其中 C 1为 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内的 Laurent 展式
现讨论若 f (z) 在无穷远点的去心邻域内解析(这时
称 ∞ 为孤立奇点) f ( z )在无穷远点 ∞ 处的性态. ,
设 f ( z )在无穷远点 z = ∞ 的去心邻域 R < z < +∞ 内解析
Laurent 展式为:
f (z) =
n = ∞
Cn zn ∑
+∞
1 t= z 1 1 (t ) = f ( )在 t = 0的去心邻域 0 < t < 内解析 t R
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况 或者利用已知函数的展开式来判定,当然这个展开式 必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式.
二.留数
设z 0为 f (z) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0< zz0 <δ 内 ,(z) 的Laurent 展式为: f
对上式两边积分得
f (z) =
+∞ n=∞
n = ∞
∑C
+∞
n
( z z0 )
n
z0为 f (z) 的可去奇点:若 ∑Cn (z z0 )n 中无负幂项 (1) 1
f (z) ∑ C n ( z z0 ) = n=0 C0
n +∞
0 < z z0 < δ z = z0
lim f ( z ) = C 0
z → z0
0 < z z0 < δ 内解析,则称 z 0是 f (z) 的孤立奇点.
孤立奇点 奇点 非孤立奇点
孤立奇点可按以下两种方式分类: 根据Laurent级数的形式分类:
设z 0为 f (z) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0< zz0 <δ 内 ,(z) 的Laurent 展式为: f ( z ) = f
{
}
注:. 3)中取 m = 1, 即得(2); 1 (
2.从证明过程不难看出,即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算.这是因为表达式
f (z) = (z z0 )m(Cm +Cm+1(z z0 )+C1(z z0 )m1 +C0 (z z0 ) + )
的系数C m , C m +1 , 中可能有一个或几个为零, 这不影响证明结果.
R e s[ f ( z ) , ∞ ] = = = 1 2π 1 2π 1 2π i i i
∫
L
2π i ∫L 3z + 2 dz 2 z (z + 2)
1
3z + 2 dz 2 z (z + 2)
(∫ (∫
L1
=
L1
3z + 2 3z + 2 dz + ∫ dz) 2 2 L2 z ( z + 2 ) z (z + 2) 3z + 2 3z + 2 2 z z + 2 dz) dz + ∫ L2 z + 2 z2 3z + 2 + z + 2 ) = 0
k →∞
kπ z = 0为非孤立奇点
1 sin 1 1 z )′ = 0, ( )′ = ( f (zk ) f (z) z2
z → zk
lim f ( z ) = ∞ z k ( k = ±1, ±2, )为极点,
zk
≠ 0 z k 为1级极点
( z + 1) 2 sin z (2) f ( z ) = 2 2 z ( z 1) 2 解 奇点 : z = 0, z = 1, z = 1
例1 求下列函数的奇点,并指出其类型: 1 1 2 (1 ) f ( z ) = z (sin ) z 解 奇点 : z = 0, z = 1 ( k = ± 1, ± 2, ).
k
f (n) ( z0 ) = 0
(n = 0,1,, m 1),
f (m) ( z0 ) ≠ 0.
lim z k = 0
例2 求下列函数的奇点并计算留数: 3z + 2 (1) f ( z ) = 2 z ( z + 2) 解 z = 0为2级极点, z = 2为1级极点, z = ∞为可去奇点 法1 Res [ f ( z ), 2 ] =
1 2π i
∫
L
3z + 2 dz 2 z (z + 2)
3z + 2 1 z 2 dz = 3 z + 2 = = 1 2 ∫L z + 2 2π i z z = 2 1 3z + 2 Res [ f ( z ), 0 ] = ∫L z 2 ( z + 2 ) dz 2π i 3z + 2 1 1 3z + 2 z + 2 dz = = ( )′ =1 ∫L z 2 2π i ( 2 1 )! z + 2 z=0
重新定义 f ( z 0 ) = C 0 , 则 f ( z )在 z 0解析,且
f ( z ) = ∑ C n ( z z0 ) n ,
n =0 +∞
z z0 < δ
(2) z 0为 f (z) 的( m 级)极点: 若
0 < z z0 < δ , f ( z) =
+∞
n=∞
Cn (z z0 )n 中负幂项只有 ∑
维尔斯特拉斯,1876
根据 z → z0时 (z) f 的极 限分类:
z 0的点列 {z n }, 使得 lim f ( z n ) = A
n→∞
定义 若 f ( z 0 ) = 0, 则称 z 0为 f ( z )的零点.
若 f ( z )能表示成 f ( z ) = ( z z 0 ) m ( z ), 其中 ( z )
1 2 z e 1的1级零点 z = 0为 = z ( e 1)的 3级 f (z) 1 零点 , z k ( k = ± 1, )为 = z 2 ( e z 1)的1级零点 f (z)
z
z = 0为 f ( z )的 3级极点 , z k = 2 k π i ( k = ± 1, )为 f ( z )的1级极点
n = ∞
C n ( z z0 ) n ∑
+∞
L 为0 < z z 0 < δ 内包含 z 0的任一条简单闭曲线,
∫
L
f ( z )dz = 2 π iC 1
1 称C1 = ∫L f (z)dz 为f (z)在z0的留数,记为 2π i R [ f (z), z0 ],即 es 1 R [ f (z), z0 ] = es ∫L f (z)dz = C1 2π i
z→∞
n = ∞
n C n z( R < z < +∞ )含无穷多个正幂项 ∑
lim f ( z )不存在且不为 ∞
例如
sin z 1 1 1 2 z + = 2 + 3 z z 3! 5 ! z = 0为 f ( z )的 2级极点 , z = ∞ 为 f ( z )的本性奇点 1 1 1 = + sin 3 z z 3! z z = 0为 f ( z )的本性奇点 , z = ∞ 为f ( z )的可去奇点
z → z0
n= m
Cn ( z z0 ) n ∑
+∞
∞
在 z z 0 < δ 内解析 ,
lim f ( z ) = ∞
z0为 f (z) 的本性奇点: 若∑ Cn ( z z0 ) n 中负幂项有 (3)
n = ∞
lim f ( z )不存在也不为 ∞
z → z0
无穷多项
可去奇点 lim f ( z ) = C 0 z → z0 极点 lim f ( z ) = ∞ z → z0 lim 本性奇点 z → z f ( z )不存在且不为 ∞ 0 z 0为本性奇点 数 A(有限或无穷 ), 存在趋向于
z →∞
lim f ( z )存在且有界
z = ∞ 为极点
f ( z) =
z→∞
n C n z( R < z < +∞ )只含有限个正幂项 ∑ +∞
n = ∞
n C n z( R < z < +∞ )不含正幂项 ∑
+∞
lim f ( z ) = ∞
n = ∞
z = ∞ 为本性奇点 +∞
f ( z) =