凸函数详细论文

目录

一、凸函数的定义及其关系 (3)

（一）凸函数的几种不同定义 (3)

（二）不同定义之间的相互联系 (4)

二、凸函数的性质 (4)

（一）凸函数的一些简单运算性质 (4)

（二）凸函数的其他性质 (7)

三、函数凸性的判断方法 (11)

四、凸函数的应用 (14)

（一）有关凸函数的两个重要不等式 (14)

（二）凸函数的性质在证明几个经典不等式中的应用 (15)

（三）凸函数在初等不等式证明中的应用 (17)

（四）凸函数在积分不等式中的应用 (19)

五、总结 (20)

参考文献 (18)

凸函数的性质及应用

马志霞

（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070）

摘要:凸函数是一类非常重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划等学科的理论基础和有力工具。本文由凸函数的定义出发，给出了凸函数的七种等价定义，讨论了凸函数的有关性质,研究了函数凸性的判定方法，以及它在证明不等式中应用.

关键词: 凸函数；不等式；性质；判别；证明；应用

The properties and application of convex function

Ma Zhixia

(School of mathematical and statistical Northwest Normal University，Gan Su LanZhou 730070) Abstract: Convex function is a kind of very important function, the concept of the earliest it can be found in Jensen writings in pure mathematics and applied mathematics has extensive application in many fields, has become the basic theory of mathematical programming disciplines and powerful tool. In this paper, starting from the definition of convex function, seven equivalent definition of convex function are given, some properties of convex function are discussed, the methods for judging the convex function, and its application in proving inequality in.

Key words：Convex function；inequalitye；property；distinction；proof；application

一、凸函数的定义及其关系

（一）凸函数的几种不同定义

定义 1 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意两点12,x x 和任意实数

(0,1),λ∈有()()()21211)()1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 是区间I 上的凸函数.

定义2 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意不同的两点12,x x ，有

2

)

()()2(

2121x f x f x x f +≤

+ ,则称)(x f 是I 上的凸函数. 定义3 设函数)(x f 定义在区间I 上,对于任意的I x x x n ∈,,21 ，,有

()()n

x f x f x f n x x x f n n +++≤

+++ 2121)()(

， 则称)(x f 是区间I 上的凸函数. 定义4 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，

()()()2

32313131212)

()(()x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--，则称

)(x f 是区间I 上的凸函数.

定义5 利用二阶导数判断曲线的向来定义函数的凸性：设函数

()f x 在区间

(,)a b 内存在二阶导数,则在(,)a b 内有 ()0()f x f x ''>⇒在(,)a b 内严格凸数。

定义 6 若x φ（）是定义在I 内的单调增加函数，那么存在0x I ∈，对任意,x I ∈有

⎰=

-x

x dt t x f x f 0

)()()(0φ，

则称()f x

为I 内的凸函数[2]。

定义7 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，有

0)

(1

)(1)(1332211≥x f x x f x x f x ，

则)(x f 称是区间I 上的凸函数.

定义8 设函数)(x f 定义在区间I 上，且在I 上连续，对)(,2121x x I x x <∈∀有

⎰+≤-≤+212

)

()()(1)2(211221x x x f x f dt t f x x x x f ，则称)(x f 是区间I 上的凸函数.

定义9 如果函数)(x f 在区间I 上连续可导，当且仅当曲线)(x f y =的切线恒保持在曲线下方，则)(x f 是区间I 上的凸函数.

注：（1）若将定义1，2，3,4中的“≤”改为“<”，同时将定义5，6中的“≥”改为“>”则称)(x f 为I 上的严格凸函数.

（2）若定义7中)(x f y =除切点外，切线严格保持在曲线的下方，则称)(x f 为I 上的严格凸函数.

（3）若将定义1，2，3,4中的“≤”改为“≥”，同时将定义5，6中的“≥”改为“≤”则称)(x f 为I 上的凹函数.

（4）定义中的区间I 是闭区间，在开区间内以上七个定义也是成立的.

（二）不同定义之间的相互联系

1.在定义1中)(x f 为连续函数，且当2

1

=

λ时，定义1即为定义2. 2.定义2与定义3是等价的；若()f x 连续,则定义1，2，3等价. 3.在定义4中，令1

31

2x x x x --=

λ那么01λ<<，令132)1(x x x λλ-+=代入定义4中任意一式，变形后即得定义1中的形式.

二、凸函数的性质

（一）凸函数的一些简单运算性质

性质1 若)(x f 为区间I 上的凸函数，k 为非负实数，则)(x kf 也为区间I 上的凸函数.

性质2 若)(x f 、)(x g 为区间I 上的凸函数，则)()(x g x f +也为区间I 上的凸函数.

证明：因为()(),f x g x 在区间I 上为凸函数.对定义区间内任意两点12,x x 及任意