2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(十)数学

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长郡中学2021届高三数学小题训练10参考答案

“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近
月点制动（俗称“踩刹车”）后，以 vkm/s 的速
度进入距离月球表面 nkm 的环月圆形轨道（月球
的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为 ts，已知远月点到月球表面的最近距离为 mkm，
则（ BD ）
A．圆形轨道的周长为（2πvt）km B．月球半径为 t
C．近月点与远月点的距离为
A．函数 f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为 댐 ， B．函数 f（x）•g（x）是奇函数
C．函数 f（x）+g（x）在（0，π）上的单调递减区间是 댐 ， 댐
D．函数 f（x）•g（x）的图象的一个对称轴方程为
댐
第 6页（共 8页）
11．如图，正四棱锥 S﹣BCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 A﹣SBE 底面边长与侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ABD ） A．AS⊥CD
t
D．椭圆轨道的离心率为
三．填空题（共 3 小题） 13．某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N（110，σ2），且
P（90≤X≤110）＝0.3，该校有 1000 人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于 130 分的人数为 200 ． 14．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是 43.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则立春的日影子长为 12.5 尺．
高三数学小题训练 10
一．选择题（共 9 小题）
1．a，b 都为正数，则“ab≥ ”是“
4”的（ B ）
A．充分不必要条件

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(四)数学

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1．已知集合A ＝{x |y ，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝（） A ．（1，+∞） B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（0，1]2．已知1:02p x <+，:lg(2)q x +有意义，则p ⌝是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数5121i z i i=++-，则||z 值为（）A ．1B C ．2D ．24．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数y ＝f（x ）的图象上，设()0.5log 0.3a f =，()0.30.5b f =，c ＝f （0.30.5），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b ＜c ＜aB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c5．已知函数()g x 为一次函数，若,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[2,2]x ∈-时，函数2()log (2()f x x g x =++的最大值与最小值之和是（） A ．10B ．8C ．7D ．66．已知函数11()(04x f x a a +=->，且a ≠1）的图象过定点（m ，n ），则mn1681⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．32B ．23C ．827D ．2787．函数()212y log x 2x 15=--的单调递增区间为( )A ．()1,∞+B ．(),1∞-C ．(),3∞--D ．()5,∞+8．已知函数()y f x =是奇函数，当[]0,1x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是（） A ．(,1)(2,3)-∞-⋃ B ．(1,0)(2,3)- C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-⋃9．已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（）A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,1)-D ．(0,3)10．已知函数()2,01ln ,0x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8B ．4C ．2D ．112．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且其图象关于直线1x =对称，若当[]0,1x ∈时，()f x x =，则()()()()917.8422F x f x x x =--∈--的零点的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．8二、填空题13．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有2Sr L=，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有_________________.14．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()11112321n f n =++++-增加的项数是_______ 15．某方程在区间()24D =，内有无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将区间D 等分的次数至少是_______.16．已知函数22log ,04()2708,433x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]2()20f x mf x m -++=有6个不同实根，则m 的取值范围是_________.三、解答题17．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.18．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．（1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域；（2）求不等式()2f x >的解集；（3）若()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 19．已知函数()2x f x =，2()log g x x =.（1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根；（2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值.20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围．21．已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12xx <，求证：121x x <.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若C 上恰有2个点到l l 的斜率. 23．已知函数()21f x x m x =++-（0m >）．（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式1()12f x x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．已知集合A ＝{x |y ，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝（） A ．（1，+∞） B ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（0，1]【答案】B 2．已知1:02p x <+，:lg(2)q x +有意义，则p ⌝是q 的（） A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C3．已知复数5121i z i i=++-，则||z 值为（）A ．1B C ．2D ．2【答案】D4．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数y ＝f （x ）的图象上，设()0.5log 0.3a f =，()0.30.5b f =，c ＝f （0.30.5），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b ＜c ＜a B ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c【答案】D设幂函数y ＝f （x ）为()f x x α=，因为点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数y ＝f （x ）的图象上，所以124α=，解得2α=-，所以()2f x x -=，且函数()2f x x -=在()0+∞，上单调递减，又0.5log 0.3>1，0.300.51<<，0.50310.<<，且0.0.50.30.30.30.30.5<<，所以0.50.30.5log 0.30.50.3<< ，所以a ＜b ＜c ，5．已知函数()g x 为一次函数，若,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[2,2]x ∈-时，函数2()log (2()f x x g x =++的最大值与最小值之和是（）A ．10 B ．8 C ．7D ．6【答案】D由题意，设一次函数()g x ax b =+，因为()()()3g m n g m g n +=+-，可得()3a m n b am b an b ++=+++-，解得3b =，所以()3g x ax =+，故()g x 的图象关于(0,3)对称，又设2()log (2h x x =+，可得函数()h x 为单调递增函数，且22()log (2log ()h x x h x -=-+==-，即()()h x h x -=-，所以()h x 是奇函数，则min max ()()0h x h x +=，则()min min min ()()f x h x g x =+，()max max max ()()f x h x g x =+，所以()()min max min max min max (()())()()066f x f x h x h x g x g x +=+++=+= 即为()g x 的最大值与最小值之和6.6．已知函数11()(04x f x aa +=->，且a ≠1）的图象过定点（m ，n ），则mn1681⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．32B ．23C ．827D ．278【答案】D 解：函数11()(04x f x aa +=->，且1)a ≠中，令10x +=，得1x =-，所以13(1)144y f =-=-=，所以()f x 的图象过定点31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1m =-，34n =；所以334416168127()()()8181168mn -===．7．函数()212y log x 2x 15=--的单调递增区间为( ) A ．()1,∞+ B ．(),1∞- C ．(),3∞-- D ．()5,∞+【答案】C8．已知函数()y f x =是奇函数，当[]0,1x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是（）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-⋃【答案】A数形结合可知，()0f x <的解集为()(),21,2-∞-⋃，故()10f x -<的解集为()(),12,3-∞-⋃.9．已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（）A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,1)-D ．(0,3)【答案】A 由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数，则1()f x -在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，则1()f x -过()()1,2,3,2-则11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈10．已知函数()2,01ln ,0x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,0- B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．[)1,+∞【答案】D令()0g x =可得()f x x a =+，作出函数()y f x =与函数y x a =+的图象如下图所示：由上图可知，当1a ≥时，函数()y f x =与函数y x a =+的图象2个交点，此时，函数()y g x =有2个零点.因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞.11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( )A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】B【解析】试题分析：由()40xf x a x =+-=得4x a x =-，函数()4xf x a x =+-的零点为m ，即,4x y a y x ==-的图象相交于点(,4)m m -；由()log 40a g x x x =+-=得log 4a x x =-，函数()log 4a g x x x =+-的零点为n ，即log ,4a y x y x ==-的图象相交于点(,4)n n -因为,log xa y a y x ==互为反函数，所以4m n =-，即4m n +=且0,0m n >>，由基本不等式得2()42m n mn +≤=，当且仅当2m n ==时“=”成立，所以mn 的最大值为4.12．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且其图象关于直线1x =对称，若当[]0,1x ∈时，()f x x =，则()()()()917.8422F x f x x x =--∈--的零点的个数为（）A ．4 B ．5C ．6D ．8【答案】C解：由()0F x =得()91422f x x =+-，令()91422g x x =+-，∵函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且其图象关于直线1x =对称，又当[]0,1x ∈时，()f x x =，∴由此作出函数()f x 和()g x 的图象如图，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有6个交点，∴函数()F x 的零点的个数为6，13．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有2Sr L=，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有_________________. 【答案】3V R S=设四面体的内切球的球心为O ，则球心到四个面的距离都为R所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和设四面体的体积为V ，其表面积为S则13V SR =，即3V R S =故答案为：3V R S =14．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()11112321nf n =++++-增加的项数是_______【答案】2k 【解析】当n k =时成立，即()11112321kk f =++++-，则1n k =+成立时，有()111111222113212k kk k f k =+++++++-++-，所以增加的项数是()()221212k kkk+---=. 故答案为：2k .15．某方程在区间()24D =，内有无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将区间D 等分的次数至少是_______.【答案】5解：每一次二等分，区间长度变为原来的12，由112210n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 且*n N ∈，解得5n ，16．已知函数22log ,04()2708,433x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]2()20f x mf x m -++=有6个不同实根，则m 的取值范围是_________. 【答案】(2,)+∞作出函数22log ,04()2708,433x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图，(4)2f =，2(6)3f =-，作出直线y t =，由图可知，当23t <-时，()f x t =无实解，当23y =-时，()f x t =有一解，当203t -<<或2t >时，()f x t =有二解，当0y =或2t =时，()f x t =有三解，当02t <<时，()f x t =有四解，∴若关于x 的方程2[()]2()20f x mf x m -++=有6个不同实根，则方程2220t mt m -++=(*)首先必有两个不等的实根，即244(2)0m m ∆=-+>，1m <-或2m >，其次，方程(*)的两根12,t t 满足10t =，22t =或者102t <<，2203t -<<或22t >．若10t =，22t =，则202202m m =+⎧⎨+=⨯⎩，无解，记2()22g t t mt m =-++若102t <<，2203t -<<，则(0)2024420393(2)4420g m g m m g m m =+<⎧⎪⎪⎛⎫-=+++>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=-++>⎩，无解，若102t <<，22t >，则(0)20(2)4420g m g m m =+>⎧⎨=-++<⎩，解得2m >，综上，2m >．故答案为：(2,)+∞． 17．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.【答案】(1) 1a = (2) [)4,+∞ （1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =. （2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< .因为奇函数())22log log f x x ==()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-，所以()()min 23g x g t ==-，因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-，解得4t ≥.18．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．（1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域；（2）求不等式()2f x >的解集；（3）若()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）1{|04x x <<或8}x >（3）52（1）令4log t x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈，函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在124⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由题得()4412log 2log 202x x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4log t x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->,解得32t >或1t <-，当32t >时，即43log 2x >，解得8x >，当1t <-时，即4log 1x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为1{|04x x <<或8}x >. （3）由于()44412log 2log log 2x x m x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4log t x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增，所以函数121y t t=--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52，故52m >时，()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立． 19．已知函数()2x f x =，2()log g x x =.（1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根；（2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 【答案】（1）证明见解析（2）72解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根，所以00322x x =-，即00322x x =-()0002032log 222x x x g x ===-所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根.令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点，又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+= 20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）01k <<．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞'11()ax f x a x x+=+= 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，由'()0f x >得：10x a<<-，由'()0f x <得：1x a >-()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减综上可知：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减（2）函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，等价于方程ln 52x x k x ++=+有两解令ln 5()2x x p x x ++=+，22ln 2()(2)x x p x x --+'= 令2()ln 2h x x x =--，221()0h x x x'=--<在(0,)+∞上恒成立 ()h x 在(0,)+∞单调递减又(1)0h =，则()0p x '>，01x <<，()0p x '<，1x >所以()p x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，max ()(1)2p x p ==，1x >时，ln 3()112x p x x +=+>+，即x →+∞时，()1p x →，当30x e -<<时，()1p x <，∴ln 5()2x x p x x ++=+的图象与直线y k =有两个交点，则01k <<．21．已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12xx <，求证：121x x <.【答案】（1）1m ≥-（2）见解析解析：()1令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有()111xF x x x-=-='，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.()2方法一：120x x <<，211x x ∴>， 112211220,ln ln 0lnx x m x x x x lnx x m --=⎧∴-=-⎨--=⎩，即2121ln ln x x x x -=-21211ln ln x x x x -∴=-，欲证：121x x <21211ln ln x x x x -<=-，只需证明21ln ln x x -<只需证明21lnx x <设1t =>，则只需证明12ln ,(1)t t t t<->，即证：12ln 0,(1)t t t t-+<>.设()12ln (1)H t t t t t =-+>，()()22212110t H t t t t-=--=-<'， ()H t ∴在()1,+∞单调递减，()()12ln1110H t H ∴<=-+=，12ln 0t t t∴-+<，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =- 有两个零点，有()10F >，则1m <-，且1201x x <<<，要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证()211F x F x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由()()120F x F x ==，只需证111111ln 0F m x x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，又()111ln 0F x x x m =--=，11ln m x x ∴=-即证1111111111lnln ln 0m x x x x x x --=-+-< 即证11112ln 0x x x -+-<，1(01)x <<. 令()12ln (01)h x x x x x =-+-<<，()222122110x x h x x x x-+=+-=>'，有()h x 在()0,1上单调递增，()()10h x h <=，()111112ln 0h x x x x ∴=-+-<. 所以原不等式121x x <成立.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若C 上恰有2个点到ll 的斜率.【答案】(1) l 的普通方程为tan y x α=, C 的直角坐标方程为2214x y +=(2) 2±（1）当cos 0α=，即()2k k Z παπ=+∈时，l 的普通方程为0x =当cos 0α≠，即()2k k Z παπ≠+∈时，l 的普通方程为tan y x α=由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，及22413sin ρθ=+，得2244x y += 即C 的直角坐标方程为2214x y +=（2）依题意，设:l y kx =所以C 上恰有2个点到l等价于C 上的点到l设C 上任一点()2cos ,sin P ββ，则P 到l 的距离d==sinϕ=，cos ϕ=()sin 1βϕ+=±时，max d ==解得：k =，所以l 的斜率为{ x cos y sin ρθρθ==， 222{?x y y tan xρθ+==等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()21f x x m x =++-（0m >）．（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式1()12f x x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）32m ≥ （1）当1m =时，()121f x x x =++-，当12x ≥时，不等式()2f x ≥可化为32x ≥，解得：23x ≥，所以23x ≥；当112x -≤<时，不等式()2f x ≥可化为22x -≥，解得：0x ≤，所以10x -≤≤；当1x <-时，不等式()2f x ≥可化为32x -≥，解得：23x ≤-，所以1x <-；综上，不等式的解集为：(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由题意可得：220m m m ⎧≥⎨>⎩，解得：12m ≥，则不等式1()12f x x ≥+可化为2122x m x x ++-≥+，即3x m ≥-对任意2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，所以只需3m m ≥-，解得：32m ≥，即实数m 的取值范围为：32m ≥.。

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(九)数学

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则AB =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z =A.i 1122+B.i 1122-C. i 1122-+ D. i 1122-- 3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a方向上的投影为A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 103B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=A.1318 B. 1318或1936 C. 139 D. 136 9. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三正视图俯视图侧视图角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为A.B.413C.D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆2，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题：共70分。

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二十四)数学

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题(共12小题).1.若复数z1i i=-(i是虚数单位)，则|z|=（）A. 12B.22C. 1D. 2【答案】B【解析】分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.【详解】z()()()1111 111222i ii iii i i+-+====-+ --+.所以|z|2==. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（）A. {}0,1B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的解法可求得集合B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】由102x x -≤-得：()()12020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得：12x ≤<，{}12B x x ∴=≤<， {}1A B ∴⋂=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题. 3.已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（） A. 若m ∥β，则m ∥l B. 若m ∥l ，则m ∥β C. 若m ⊥β，则m ⊥l D. 若m ⊥l ，则m ⊥β【答案】D 【解析】分析】A 由线面平行的性质定理判断.B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C 根据线面垂直的定义判断.D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC ，，满足10051006OC a OA a OB =+，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（） A. 1005 B. 1006C. 2010D. 2012【答案】A 【解析】【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.5.已知向量m =(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-，且m ⊥n ，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（）A.12B. 2D. ﹣2【答案】B 【解析】【分析】根据m ⊥n 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】因为向量m=(1，cosθ)，n=(sinθ，﹣2)，所以sin2cosm nθθ⋅=-因为m⊥n，所以sin2cos0θθ-=，即tanθ=2，所以sin2θ+6cos2θ22222626226141sin cos cos tansin cos tanθθθθθθθ++⨯+====+++2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，令()y f x=，若()1f a>，则实数a的取值范围是（）A. (,2)(2,5]-∞⋃ B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,2)(2,)-∞⋃+∞ D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D【解析】分析：先根据程序框图得()f x解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果. 详解：因为2,2()=23,251,5x xf x x xxx⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a>得25225112311aa aa aa>⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或所以11225115a a a a a<-<≤<≤∴<-<≤或或或，因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8.已知某班学生的数学成绩x (单位:分)与物理成绩y (单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:5511475?320i ii i x y====∑∑，，设其线性回归方程为:ˆˆ 0.4yx a =+.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（） A. 66 B. 68C. 70D. 72【答案】B 【解析】【分析】由题意求出x ､y ，代入线性回归方程求得a ，再计算x =105时y 的值.【详解】由题意知，511 5i x ==∑x i 15=⨯475=95，511 5i y ==∑y i 15=⨯320=64，代入线性回归方程y =0.4x a +中，得64=0.4×95a +，解a =26；所以线性回归方程为y =0.4x +26，当x =105时，y =0.4×105+26=68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（） A. 18 B. 10C. -14D. -22【答案】D 【解析】【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q-==-①，()313161a q S q-==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-，代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q⎡⎤----⎣⎦∴===----故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题． 10.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ，故选D ．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11.已知12,F F 是双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212||||MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于 A.54B.535 D.52【答案】B 【解析】依题设，2122MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a MF F e c∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ，由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，∴()224b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53e =. 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件2122MF F F c ==和双曲线的定义可得422b c a -=，即2b a c =+在三角形中寻找等量关系()224b a c =+，运用双曲线的a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率53e =.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为( ) A 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D.,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案【详解】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)13.已知实数x 、y 满足50{30x y x x y -+≥≤+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________．【答案】3- 【解析】满足条件的点(,)x y 的可行域如下：由图可知，目标函数2z x y =+在点(3,3)-处取到最小值-314.已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】 (1). 8 (2). (4,2)- 【解析】【分析】 x +2y =xy 等价于21x y+=1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1， ∴121212x y x y=+≥⋅ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号， ∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)， ∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2. 故答案为：8；(﹣4，2)【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.15.已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于22的概率为 . 【答案】14【解析】【详解】试题分析：作出示意图，由题意P 到直线2x y +=的距离大于22，则P 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为考点：几何概型16.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD 2=，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π 【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ， BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π. 故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.)17.已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sinB sinC ==，若f (A )=1，求△ABC 的周长.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）4【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f (x )=sin (2x 6π+)12+，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.（2）由题意可得sin (2A 6π+)12=，结合范围0<A <π，可求A 的值，由正弦定理利用sinB =3sinC ，可得b =3c ，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长.【详解】（1）因为a =(sinx ，cosx)，b =( ，cosx )，f (x )a =•3b =sinxcosx +cos 2x =2x 12+cos 2x 12+=sin (2x 6π+)12+，由2π-+2kπ≤2x 62ππ+≤+2kπ，k ∈Z ，可得：3π-+kπ≤x 6π≤+kπ，k ∈Z ，可得f (x )的单调递增区间是：[3π-+kπ，6π+kπ]，k ∈Z ，（2）由题意可得：sin (2A 6π+)12=，又0<A <π，所以6π<2A 1366ππ+<，所以2A 566ππ+=，解得A 3π=，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，所以a =BC 7=，又sinB =3sinC ，可得b =3c ，故7=9c 2+c 2﹣3c 2，解得c =1，所以b =3，可得△ABC 的周长为47+.【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.18.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.区间[25,30)[30,35) [35,40) [40,45) [45,50]人数25a b(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【答案】（1）25,100，250；（2）1人，1人，4人；（3）815. 【解析】【分析】⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得25a =，100b =，250N = ⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数⑶利用列举法列出所有的组合方式共有15种，其中满足条件的组合有8种，利用古典概型概率公式求得结果【详解】(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．19.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上(如图1)，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′(如图2).（1）求证：A′D⊥EF；（2）BF13=BC时，求点A′到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）375【解析】【分析】（1）推导出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由线面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得证.（2）设点A′到平面DEF的距离为d，由V A′﹣DEF=V D﹣A′EF，能求出点A′到平面DEF的距离. 【详解】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A′E⊥A′D，A′F⊥A′D ，∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF⊂平面A′E F，∴A′D⊥EF. （2）∵113BE BF BC===，∴223A E A F EF A D'''====，，，∴'72A EF S=，∴DE=DF13=52DEF S=，设点A′到平面DEF的距离为d，∵V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ， ∴'11'33DEFA EFd SA D S ⨯⨯=⨯⨯，解得d =.∴点A′到平面DEF . 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）AOB 面积的最大值为，此时直线l 的方程为3x y =±. 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4，所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆，则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 与椭圆22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣﹣3=0，则y 1+y2234t =+，y 1y 22334t =-+，则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|2=2==u =，则u ≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++ 当且仅当u =t时等号成立，因此△AOB，此时直线l 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.21.设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）ln 31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，可得ln x a x x =-，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为()()2ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =-时，()212121x x f x x x x--+=--+='，令()0f x '=，得12x =或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）令()2ln 0f x x ax x =-++=，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ln xa x x =-，令()ln x g x x x =-，其中1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2221ln ln 11x xx x x g x x x ⋅-+-=-='，令()0g x '=，得=1x ，当113x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,3，()()min 11g x g ∴==，又113ln333g ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333+>-，由于函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，故实数a 的取值范围是ln31,33⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+. 【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23.已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤. 【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十)数学

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1. 设i 为虚数单位,,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且12a b ==，，则向量a 在b 方向上的投影为（）A 3B ．12-C ．1-D 3 3.已知集合A ＝{x∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x∈Z |x ＝2t ＋1，t∈A}，则A∩B 等于( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{0，1}D.{0}4.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若cos cos 33sin B C Ab c C+=，cos 2B B +=，则+a c 的取值范围（）A.B. 32（C.D. 32[ 5. 若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（）A. 0B. 1C. 32D. 1-6．若实数x ，y 满足20x y y x y x b -≥≥≥-+⎧⎪⎨⎪⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为（）A ．1BC ．94D ．527.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x＜k ，x 3－3x 2＋3，k≤x≤a，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3 8．对于数列{}n a ,定义1122......2n nn a a a H n-++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优值”=2nn H ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2019=2019S （） A ．2022 B ．1011 C ．2020 D ．1010二、多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(一)数学(理)试题

则
即，
可知，循环变量的初值为1，终值为1011，的步长值为1，循环共执行1011次，
可得②中填入的可以是，
又的值为正奇数倒数正负交错相加，
可得①中填入的可以是 .
故选：D．
【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（）
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
所以 ≥ ，即 ≤ ，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，
故选：B
【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.
7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）
9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型来拟合与的关系，根据以下数据：

2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十)数学(理)试题

2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第1卷(选择题共60分)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}A x x x =-+≤，{}2|lo 1g B x x =<，则A B =（）A. {}|12x x ≤<B. {}2|1x x <≤C. {}2|0x x <≤D. {}2|0x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】分别求出集合,A B ，然后取并集即可.【详解】由题意，2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，所以AB ={}2|0x x <≤.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知1z 、2z 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A. 11||||z z ==B. 若2||2z =，则2z 的取值集合为{2,2,2,2}i i --（i 是虚数单位）C. 若22120z z +=，则10z =或20z =D. 1212z z z z +一定是实数【答案】D 【解析】【分析】对A ，取1z i =，即可判断出正误；对B ，由2||2z =，则22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π；对C ，取1z i =，2z i =-，即可否定；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，利用复数的运算法则即可判断出正误．【详解】对A ，例如取1z i =无意义，故A 错误；对B ，2||2z =，取22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π，故B 错误；对C ，例如取1z i =，2z i =-，满足条件，故C 错误；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，则1212()()z z z z a bi c di +=+-()()()()2a bi c di ac bd bc ad i ac bd ad bc i ac +-+=++-+-+-=，所以1212z z z z +是实数，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算法则、复数的相关概念，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 3.已知正实数,a b 满足21()log 2aa =，21()log 3bb =，则（） A. 1a b << B. 1b a <<C. 1b a <<D. 1a b <<【答案】B 【解析】【分析】在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象，结合图象可得：1b a <<，故选B ．【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 4.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（） A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率．【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况；所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p ==；故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题． 5.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点(3A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A. 直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 的图象可由2sin 2g x x 向左平移3π个单位而得到【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象过点(3A ，可得()03f =2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，即()2sin()3f x x πω=+，又由点,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，即()2sin()0333f πππω=⨯+=，可得33ππωπ⨯+=，解得2ω=，所以函数的解析式为()2sin(2)3f x x π=+，令12x π=，可得2121()2sin(2)si 222n 3f ππππ=⨯+==，所以12x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以A是正确的；由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得222T πππω===，所以B 是正确的；当(,)312x ππ∈-，则2(,)332x πππ+∈-，根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间(,)312ππ-单调递增，所以C 是正确的；由函数2sin 2g x x 向左平移3π个单位而得到函数22sin[2()]2sin(2)33y xx，所以选项D 不正确. 故选：D .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若(3,1),(1,3)a b =--=，则||a b ⨯（）A.B. 2C.D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据(3,1),(1,3)a b =--=，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅求解.【详解】(3,1),(1,3)a b =--=||2,||2a b ∴==23cos ||||a b a b θ⋅-∴===⋅则1sin 2θ=||||||sin 2a b a b θ∴⨯=⋅⋅=，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7.已知621(1)a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为256，则该展形式中3x 的系数为（） A. 26 B. 32C. 38D. 44【答案】C【解析】【分析】令1x =，由系数和求得a ，然后求得6(1)x +展开式中3x 和5x 的系数，由多项式乘法法则得结论．【详解】令1x =则6(1)2256,3a a +⋅=∴=， ∴6231(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为26335536338C x C x x x+⋅=，所以3x 的系数为38. 故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，对多项式相乘问题，除要掌握二项展开式通项公式外还应掌握多项式乘法法则． 8.执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A. 36B. 45C. 36-D. 45-【答案】A 【解析】【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9.数列{}n a 满足1a Z ∈，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S .若13m S a =，则正整数m =（） A. 99 B. 103 C. 107 D. 198【答案】B 【解析】【分析】根据递推公式，构造新数列{}1n a n --为等比数列，求出数列{}n a 通项，再并项求和，将13S 用1a 表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由123n n a a n ++=+得()()1111n n a n a n +-+-=---， ∴{}1n a n --为等比数列，∴()()11112n n a n a ---=--，∴()()11121n n a a n -=--++，()()11121m m a a m -=--++，∴()()131231213S a a a a a =+++++()112241236102a a =+⨯++++⨯=+，①m 为奇数时，1121102a m a -++=+，103m =.②m 为偶数时，()1121102a m a --++=+，1299m a =+， ∵1a Z ∈，1299m a =+只能为奇数， ∴m 为偶数时，无解.综上所述，103m =. 故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.10.已知双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线交双曲线右支于,P Q 两点,且1PQ PF ⊥,若134PQ PF =,则该双曲线离心率e =( )A.B.C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】由1PQ PF ⊥,134PQ PF =,可得1QF 与1PF 的关系,由双曲线的定义可得12122a PF PF QF QF =-=-,解得|1PF ,然后利用12Rt PF F ∆,推出,a c 的关系,可得双曲线的离心率.【详解】设,P Q 为双曲线右支上一点, 由1PQ PF ⊥,134PQ PF =, 在直角三角形1PF Q 中1154QF PF ==由双曲线的定义可得:12122a PF PF QF QF =-=- 134PQ PF =∴ 22134PF QF PF +=可得:111532244PF a PF a PF -+-=1351444PF a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得183a PF =21223a PF PF a =-=在12Rt PF F ∆中根据勾股定理:221282233a a c F F ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得:21723c a =∴ 173c e a ==故选:C.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中,ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,则球O 的表面积为( ) A.53π B. 2πC. 5πD.203π【答案】A 【解析】【分析】由ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直,画出图像,求出此时的三棱锥P ABC -外接球的半径,即可求得答案. 【详解】当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直画出立体图像:设PBC ∆外接圆圆心为M ,ABC ∆外接圆圆心为N ,P ABC -外接球的半径为R , 取BC 中点为Q PBC ∆等边三角形∴ PQ BC ⊥又面ABC ⊥面PBC 垂直∴ PQ ⊥面ABCAQ ⊂面ABC∴ PQ ⊥AQABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形∴ 可得ABC ∆与PBC ∆外接圆半径为即AN PM == 则NQ MQ == 又OM ⊥面PBC ,ON ⊥面ABC∴ 四边形OMNQ 是正方形,NQ MQ OM ON ∴====在Rt PMO △中有:222PO OM PM =+解得: 222512PO =+=⎝⎭⎝⎭故P ABC -外接球的半径为2512R =球的表面积公式为:25544123S R πππ==⨯= 故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 12.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（）A. ()0,1B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,4【答案】A 【解析】【分析】对图中实线部分曲线为函数()y f x =或其导函数()y f x '=的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间的关系进行分析，再结合图象得出不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集.【详解】若图中实线部分曲线为函数()y f x =的图象，则虚线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，由导函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =在区间()0,4上的单调递减区间为()0,2，但函数()y f x =在区间()0,2上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，则函数()y f x =在区间()0,4上的减区间为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为4,43⎛⎫⎪⎝⎭，合乎题意. 由图象可知，不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.第11卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题据要求作答､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________. 【答案】243256【解析】【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算()80P X ≥-. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()443144kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝2224312744128C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝33431274464C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝444318144256C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 14.已知()sin(2019)cos(2019)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为____________【答案】22019π【分析】利用三角恒等变换可得f （x ）=2sin （2019x+6π），依题意可知A=2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，从而可得答案．【详解】∵f （x ）=sin （2019x+6π）+cos （2019x ﹣3π），=12cos2019x+12，=2sin （2019x+6π）， ∴A=f （x ）max =2，周期T=22019π，又存在实数x 1，x 2，对任意实数x 总有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立， ∴f （x 2）=f （x ）max =2，f （x 1）=f （x ）min =﹣2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，又A=2， ∴A|x 1﹣x 2|的最小值为22019π．故答案为22019π．【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．15.设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],21e -∞- 【解析】【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题．【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21xe a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=，由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题． 16.已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】（1）由A 、B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，从而有相等的角，由此可判断11A F B F ⊥；（2）取AB 的中点C ，利用中位线即抛物线的定义可得()1122CM AF BF AB =+=，从而可得AM BM ⊥；（3）由（2）知，AM 平分1A AF ∠，从而可得1A F AM ⊥，根据AM BM ⊥，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取1AA 与y 轴的交点D ，可得1A D OF =，可得出1A F 的中点在y 轴上，从而得出结论；（5）设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，证明出1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于A 、B 在抛物线上，且1A 、1B 分别为A 、B 在准线l 上的射影，根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，则11AA F AFA ∠=∠，11BB F BFB ∠=∠，11//AA BB ，11180FAA FBB ∠+∠=，则1111180AA F AFA BB F BFB ∠+∠+∠+∠=，即()112180AFA BFB ∠+∠=，1190AFABFB ∴∠+∠=，则1190A FB ∠=，即11A F B F ⊥，（1）正确；（2）取AB 的中点C ，则()1122CM AF BF AB =+=，90AMB ∴∠=，即AM BM ⊥，（2）正确；（3）由（2）知，1//CM AA ，1A AM AMC ∠=∠，12CM AB AC ==，AMC CAM ∴∠=∠，1A AM CAM ∴∠=∠， AM ∴平分1A AF ∠，1AM A F ∴⊥，由于BM AM ⊥，11//A F B M ∴，（3）正确；（4）取1AA 与y 轴的交点D ，则12pA D OF ==，1//AA x 轴，可知1A DE FOE ∆≅∆，1A E EF ∴=，即点E 为1A F 的中点，由（3）知，AM 平分1A AF ∠，1A M ∴过点E ，所以，1A F 与AM 的交点的y 轴上，（4）正确；（5）设直线AB 的方程为2p x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则点11,2p A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得，2220y mpy p --=，由韦达定理得212y y p =-，122y y mp +=，直线1OA 的斜率为1221122222OAp y y y p k p p p y ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-=-=-，直线OB 的斜率为22222222OB y y p k y x y p===，1OA OB k k ∴=，则1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线，所以，1AB 与1A B 交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分17.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==. (1)求n a ，n S 与n T ; (2)若n c =:()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)2n a n =，()1n S n n =+，112n n T =-;(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意得，2214a a a =，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求，再将12,a a 代入11221a b a b ==，利用等比数列通项公式求出1b ，q ，进而可得n T ；（2）由n c =，结合10112n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭恒成立，即可得到12n c n <<=+，结合等差数列的前n 项和公式即可证明()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<.【详解】(1)根据定义求解.由题易知()()2111135120a d a a d a d d ⎧+=+⎪+=⎨⎪≠⎩解得122a d =⎧⎨=⎩，故()112n a a n d n =+-=，()()112n n a a n S nn +==+，1122111241a b a b b b q ==⇒==解得112b =，12q =，则1112n n n b b q -==，()11112nn n b q T q -==--，n N +∈.(2)由题可知n c =10112n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，12n <+，121(1)1(2)1232222n n n n nc c c n n n ++∴++⋯+<+++++=+=，即()1222n n n c c c ++++<成立. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =，试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数). 【答案】（1）见解析（2）390次【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-，11,1X k k=+，求出k 个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；（2）由（1）计算出期望()E X ，令2,3,4k =分别计算出均值后可得检验次数，从而可得结论．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq - 依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭所以当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时960人需要化验的总次数为662次，3k =时，31()0.910.60433E X =-+=，此时960人需要化验的总次数为580次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时960人需要化验的次数总为570次即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少而采用方案①则需化验960次，故在三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均减少960570390-=次．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查用样本估计总体，考查了学生的数据处理能力和运算求解能力．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（22．【解析】【分析】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EFBB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设1AB AC ==，12AA a =，根据（1）可知，DE ⊥平面1BCB ，则D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得221d a =+因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =结合线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥．∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =，BD DC ==∴DF ==∴122BDC S BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 距离DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即113232d ⋅=⋅，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ===，解得a =因AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而22DA AF ==，可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，则2cos cos452EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析【解析】【分析】（1）当P 是椭圆短轴顶点时，△12PF F 面积取得最大值，建立方程组可得（2）设直线方程，联立得22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 若22||:||:AN BN AF BF =，则0NB NA k k += ，得12120y y x n x n +=--化简得1n = 【详解】（1）121212PF F P S F F y = ，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大. 由题得： 222121222c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆方程为：2212x y += （2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点，易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y y x n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--=12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++= 22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n = 所以存在点(1,0)N 满足题意.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21.已知函数()2x f x e ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()21f x ax >+，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数()f x '的符号变化，即可求出函数()y f x =的单调区间；（2）问题变形为2210x e ax ax --->，令()221x g x e ax ax =---，由题意得出()()00g x g >=，根据函数()y g x =的单调性确定a 的范围即可．【详解】（1）()2x f x e ax =-，定义域为R 且()22x f x e a '=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，由()0f x '=，得22x e a =，得1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；当1ln 22a x >时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 此时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()21f x ax >+变形为2210x e ax ax --->，令()221x g x e ax ax =---，定义域为()0,∞+，且()00g =， ()()2222x g x e ax a f x a '=--=-.①当0a ≤时，对任意的0x >，()0g x '>，函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数，此时，()()00g x g >=，合乎题意；②当0a >时，则函数()y g x '=在R 上的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （i ）当1ln 022a ≤时，即当02a <≤时，则函数()y g x '=在区间()0,∞+上为增函数，此时()()020g x g a ''>=-≥，则函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数.此时，()()00g x g >=，合乎题意；（ii ）当1ln 022a >时，即当2a >时，则函数()y g x '=在区间10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，()min 1ln ln 0222a a g x g a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，又()020g a '=-<，所以，函数()y g x =在区间10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2cos sin 0m ρθρθ-+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知l 与C 相切，求m 的值.【答案】（1）C 的直角坐标方程为2212y x -=,直线l 的直角坐标方程为20x y m -+=（2）m =【解析】【分析】（1）将11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩化为121x t t t t ⎧=+⎪⎪=-，两式平方相减，消去参数t ，求得C 的普通方程；cos ,sin x y ρθρθ==代入极坐标方程，即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线C 方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，l 与C 相切，0∆=，即可求解.【详解】解：（1）因为()222122x t t =++，22212t t =+-，两式相减，有22424x y -=，所以C 的直角坐标方程为2212y x -=. 直线l 的直角坐标方程为20x y m -+=.（2）联立l 与C 的方程，有221220y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消y ，得222420x mx m +++=，因为l 与C 相切，所以有()222164228160m m m ∆=-⨯+=-=，解得：m =.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,23.已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a ++≥+++++．【答案】（1）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2，进而利用柯西不等式即可证明不等式．【详解】解：（1）解：（1）当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2 所以f （x ）>7⇔2227x x ≤-⎧⎨->⎩或2267x -⎧⎨>⎩＜＜或2227x x ≥⎧⎨+>⎩所以不等式的解集为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为a ＞0，b ＞0，c ＞0所以()()()f x x b x c a x b x c a b c a a b c =-+++≥--++=++=++因为f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2()()()41914192a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ 21189()422a b c ≥==++ 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题．。

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(三)数学

已知是第三象限角，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
19.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）求的单调减区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
20．（本小题满分12分）
如图，在中，，点在边上，
（1）求的度数；
（2）求的长度.
21.（本小题满分12分）
已知函数图象上在点处的切线与直线平行，
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
6．在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）
A．2B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，且对任意的且都有成立，若对恒成立，则实数的取值范围是（）
2．设则“ ”是“ ”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．已知函数，若，则的值为（）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
（2）①若，则恒成立，在上单调递增．
②若，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。请把答案填涂在答题卷相应位置上。

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二)数学

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足，i iiz +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x xA ，{}2<=x x B ，则A∩B=A ．{}12<<-x xB ．{}23<<-x xC ．{}12≤<-x xD ．{}12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.4 6．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅= A ．2 B ．5 C ．3 D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为A ．2 C ．4B ．3 D ．5 9．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为 A ．161 B ．41 C ．1 D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax ex f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或C ．{}e a a a =≤，或0D ．{}10=≤a a a ，或11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k := A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1xy x =+在点P （1，0）处的切线方程为． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。

2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷(附答案详解)

2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|y=√x−2}，B={y|y=√x−2}，C={(x,y)|y=√x−2}，则下列集合不为空集的是()A. A∩BB. A∩CC. B∩CD. A∩B∩C2.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根x1，x2，则“x1⋅x2>4且x1+x2>4”的_____________是“x1>2且x2>2”.()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列{a n}，a n=1f(n)，其中f(n)为最接近√n的整数，若{a n}的前m项和为20，则m=()A. 15B. 30C. 60D. 1104.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π，其中记[x]为不超过x的最大整数)，且过点P(π4,2)，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为5π3，则点M到x轴的距离为()A. 14B. √34C. 12D. √326.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行比赛，假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为()A. 0.24B. 0.25C. 0.38D. 0.57.如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID−19的概率统计表：单独防疫措施戴口罩勤洗手接种COVID−19疫苗感染COVID−19的概率p 145(1−p)p100一次核酸检测的准确率为1−10p.某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID−19疫苗，感染COVID−19的概率都为0.01.这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的.他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测.以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID−19的概率为依据，这10次核酸检测中，有X 次结果为确诊，X的数学期望为()A. 1.98×10−6B. 1.98×10−7C. 1.8×10−7D. 2.2×10−78.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为()A. √55B. 12C. 2√55D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 复数z =3−i 的虚部为−iC. 若z =(1+2i)2，则复平面内z −对应的点位于第二象限D. 已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线10. 函数f(x)的定义域为I.若∃M >0使得∀x ∈I 均有|f(x)|<M ，且函数f(x +1)是偶函数，则f(x)可以是( )A. f(x)=|ln x2−x | B. f(x)=sin(π2x)+cos(2πx) C. f(x)=12x +2−14D. f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q11. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列正确的是( )A. 双曲线的方程为x 29−y 227=1 B. |PF 1||PF 2|=2 C. |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√6D. 点P 到x 轴的距离为3√15212. 将平面向量a ⃗ =(x 1,x 2)称为二维向量，由此可推广至n 维向量a⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n ).对于n 维向量a ⃗ ，b ⃗ ，其运算与平面向量类似，如数量积a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=∑x i n i=1y i (θ为向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角)，其向量a ⃗ 的模|a ⃗ |=√∑x i 2n i=1，则下列说法正确的有( )A. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≤(∑x i n i=1y i )2可能成立 B. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≥(∑x i n i=1y i )2一定成立 C. 不等式n ∑x i 2n i=1<(∑x i n i=1)2可能成立D. 若x i >0(i =1,2，⋯，n)，则不等式∑1x in i=1∑x i n i=1≥n 2一定成立三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设(x −√x )6的展开式中x 3的系数为a ，则a 的值为______ ．14. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，b =2，则△ABC 的面积的取值范围是______ ．15. 如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且a n−1−ana n−1a n =a n −a n+1a n a n+1(n ≥2)，则这个数列的第2021项等于______ ．16. 函数f(x)=(x 2−10x +26)e x ，若∀x 1，x 2∈I ，x 1≠x 2，都有f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2成立，则满足条件的一个区间I 可以是______ (填写一个符合题意的区间即可)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．18. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2=2a n+1+3a n ，设数列b n =a n+1+a n ．(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{94b nS n ⋅S n+1}的前n 项和为T n ，求证：T n <14．19. 某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A 1，A 2，A 3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B 1，B 2中的一个．(1)记事件E n ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐A 1，A 2，A 3玩偶；事件F n ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐B 1，B 2玩偶；求概率P(E 6)及P(F 5)；(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为Q n ． ①Q n ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．20. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD⏜的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面． (1)证明：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为√155，求直线DF 与平面ABF 所成角的大小．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l ：x =1与C 的两个交点和O ，B 构成一个面积为√6的菱形． (1)求C 的方程；(2)圆E 过O ，B ，交l 于点M ，N ，直线AM ，AN 分别交C 于另一点P ，Q ，点S ，T 满足AS⃗⃗⃗⃗⃗ =13SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =13TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值．22. 已知函数f(x)=12e 2x +be x +ax 在x =0处取得极值f′(x)为f(x)的导数．(1)若a >0，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<f′(x)−x ，a 的取值集合是A ，求A 中的最大整数值与最小整数值．参考数据：ln16∈(2.77,2.78)，ln17∈(2.83,2.84)，ln18∈(2.89,2.90)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={y|y=√x−2}={y|y≥0}，C={(x,y)|y=√x−2}，∴A∩B=[2,+∞)，A∩C=⌀，B∩C=⌀，A∩B∩C=⌀，故选：A．求出集合A，B，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】A【解析】解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根，①当x1>2且x2>2时，可得x1⋅x2>4，x1+x2>4，②当x1=10，x2=0.5时，满足x1⋅x2>4且x1+x2>4，此时不满足x1>2且x2>2，∴x1⋅x2>4且x1+x2>4的充分不必要条件为x1>2且x2>2，故选：A．利用不等式的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=2，f(5)=2，f(6)=2，f(7)=3，f(8)=3，f(9)=3，f(10)=3，f(11)=3，f(12)=3，...，可得依次为2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，...，因此a1+a2=2×1=2，a3+a4+a5+a6=4×12=2，a7+a8+...+a12=6×13=2，a13+a14+...+a20=8×14=2，...，由20=10×2，可得m=2+4+6+8+...+20=12×10×(2+20)=110．故选：D．写出f(n)的前几项，求出一些项的和，由等差数列的求和公式，可得所求值．本题考查数列的求和，注意总结规律，考查归纳推理能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，设该数列为{a n}，前n项和为S n，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，设该数列为{b n}，前n项和为T n，则S n=1×(1−2n)1−2=2n−1，T n=1×(1−12n)1−12=2−12n−1，若S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，即2n−12n−1)≥15，又由n≥1且n∈Z，必有n≥4，故选：B．根据题意，分析可得大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，分析可得n的取值范围，即可得答案．本题考查等比数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，∴2=(2−12[2π×π4])|sinπ4ω|，∴2=(2−12[12])|sinπ4ω|，∴|sinπ4ω|=1，即sinπ4ω=±1，∴π4ω=π2+kπ(k∈Z)，∴ω=2+4k(k∈Z)，由图像|y|上下对称可知：T=π4×4=π，∴k=0，ω=2，∴|y|=(2−12[2xπ])|sin2x|(0≤x≤2π)，∵点M到y轴的距离为5π3，∴x=5π3，当x=5π3时，|y|=(2−12[2π×5π3])|sin2×5π3|=(2−12×3)|sin10π3|=12×√32=√34，∴点M到x轴的距离为√34．故选：B．由|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，可求出ω的值，从而得到|y|的解析式，再令x=5π3求出|y|的值即可求出结果．本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了学生的运算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率为：P(E)=0.6×(0.4×0.5×0.5+0.6×C21×0.5×0.5)=0.24，若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率为：P(F)=0.4×(0.6×0.5×0.5+0.4×C21×0.5×0.5)=0.14，∴恰好经过4场比赛分出胜负的概率为：P(D)=P(E)+P(F)=0.38．故选：C．记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，求出甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率；若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，求出A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率．由此能求出恰好经过4场比赛分出胜负的概率．本题考查概率的运算，涉及到相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知p=0.01，3人都落实了表中的三项防疫措施，也被感染的概率为：0.01×145(1−0.01)×0.01100=2.2×10−8，又因一次核酸检测的准确率为1−10×0.01=0.9，所以这3人一次检测能确诊的概率为：2.2×10−8×0.9=1.98×10−8，∴10次检测中确诊的期望为：10×1.98×10−8=1.98×10−7，故选：B．利用题中的条件确定3人落实三项防疫措施任然被感染的概率，进而确定数学期望．本题考查了统计与概率，二项分布的数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意知，水的体积为4×4×2=32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，水的体积为S BCPN⋅CD=32，∴BN+CP2⋅BC⋅CD=32，即BN+32×4×4=32，∴BN=1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，NH=C1P=1，∴B1H=BB1−NH−BN=4−1−1=2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C=∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1=B1C1B1H =42=2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为2．故选：D．由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，此时水的体积为S BCPN⋅CD，从而求得BN=1；在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，故∠HC1C即为所求，再在Rt△B1HC1中，由tan∠HC1C=tan∠B1HC1=B1C1B1H即可得解．本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A正确；对于B：复数z=3−i的虚部为−1，故B错误；对于C：若z=(1+2i)2=1+4i−4=−3+4i，所以z−=−3−4i，则复平面内z−对应的点位于第三象限，故C错误；对于D：复数z满足|z−1|=|z+1|，表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，即z 的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选：AD．直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：当x →0时，x2−x →0，则ln x2−x →−∞，f(x)→+∞，f(x)无界，A 错误； f(x +1)=sin(π2x +π2)+cos(2πx +2π)=cos π2x +cos2πx 为偶函数，且|f(x +1)|≤2，B 正确；因为2x >0，2+2x >2，所以−14<12+2x <14，所以|f(x)|<14，存在符合题意的M ，因为f(x +1)=12x+1+2−14， f(−x +1)=12−x+1+2−14=2x 2+2x+1−14，所以f(−x +1)+f(x +1)=12x+1+2−14+2x2+2x+1−14=1+2x2+2x+1−12=0，故f(x +1)为奇函数，不符合题意； f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q，则|f(x)|≤1，因为−x +1与x +1要么都是有理数，要么都是无理数，所以f(x +1)=f(−x +1)，故f(x +1)为偶函数，符合题意．故选：BD ．结合选项分析各函数的取值范围，然后检验f(x +1)与f(−x +1)的关系进行判断即可．本题以新定义为载体，主要考查了函数的值域的求解及函数奇偶性的判断，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：∵渐近线l 的方程为y =√3x ，∴ba =√3， ∵F 1(−c,0)到l 的距离为3√3，∴3√3=|b a⋅(−c)|√1+(ba )2=b ，∴a =3，∴双曲线的标准方程为x 29−y 227=1，即选项A 正确；∵c =√a 2+b 2=√9+27=6， ∴F 1(−6,0)，F 2(6,0)，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|=84=2，即选项B 正确；由双曲线的定义知，|PF 1|−|PF 2|=2a =6， ∴|PF 1|=12=|F 1F 2|，|PF 2|=6，在等腰△PF 1F 2中，cos∠PF 2F 1=12|PF 2||F 1F 2|=312=14， ∴sin∠PF 2F 1=√1−cos 2∠PF 2F 1=√154， ∴x P =|OF 2|−|PF 2|⋅cos∠PF 2F 1=6−6×14=92， y P =|PF 2|⋅sin∠PF 2F 1=6×√154=3√152，即选项D 正确；∴|OP|=(92)(3√152)=3√6，∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OP|=6√6，即选项C 错误．故选：ABD ．选项A ，易知b =3√3，a =3，从而写出双曲线的标准方程；选项B ，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|；选项D ，结合选项B 中结论和双曲线的定义，可得|PF 1|=12，|PF 2|=6，再利用三角函数，求得点P 的坐标；选项C ，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，角分线定理，三角函数的简单计算，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )，所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b⃗ |⇒|x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n √y 12+y 22+⋯+y n n ⇒(∑x i n i=1y i )²≤∑x i n i=1²∑y i n i=1²，当且仅当x 1y 1=x 2y 2=⋯=xny n 时取“=”，例如(a²+1)(b²+1)≥(ab +1)²，当a =b =1时取“=”，故A 正确；对于B ，由A 的分析过程知，B 正确；对于C ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，知|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒|x 1+x 2+⋯+x n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n ⋅√n ，所以n ∑x i n i=1²≥(∑x i ni=1)²，故C 错误；对于D ，构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒√1x 1+1x 2+⋯+1x n√x 1+x 2+⋯+x n ≥n ⇒∑1x in i=1⋅∑x i ni=1≥n²，D 正确．故选：ABD ．构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项A ，B ；构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，利用平面向量的推广运算即可判断选项C ；构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项D ．本题主要考查类比推理，向量的数量积公式以及向量模的公式，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：二项式(x −√x )6的展开式为：T r+1=C 6r x 6−r ⋅(−2)r ⋅(x)−r2=C 6r ⋅(−2)r ⋅x6−32r ，所以6−32r =3，解得r =2，故x 3的系数为a =15×4=60。

湖南省长沙市长郡中学2021年高考复习数学模拟试卷(选修4-5)

푎
푏
푐
푑
【解答】解：푎 + 푏 + 푐 + 푏 + 푐 + 푑 + 푐 + 푑 + 푎 + 푑 + 푎 + 푏＞
푎
푏
푐
푑
푎+푏+푐+푑+푏+푐+푑+푎+푐+푑+푎+푏+ 푑+푎+푏+푐
푎+푏+푐+푑 = 푎+푏+푐+푑=1
푎
푎
푐
푐
即 S＞1，푎 + 푏 + 푐＜푎 + 푐，푐 + 푑 + 푎＜푎 + 푐，
푏
푏
푑
푑
푏 + 푐 + 푑＜푏 + 푑，푑 + 푎 + 푏＜푑 + 푏
푎
푐
푐
푎
得푎 + 푏 + 푐 + 푐 + 푑 + 푎＜푎 + 푐 + 푎 + 푐 = 1，
푏
+
푏 푐
+
푑
+
푑
+
푑 푎
+
푏＜푑
푑 +
푏
+
푏
푏 +
푑
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1
푎
푏
푐
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即푎 + 푏 + 푐 + 푏 + 푐 + 푑 + 푐 + 푑 + 푎 + 푑 + 푎 + 푏＜2，

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(十)物理

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（十）物理★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题U发生了一次α衰变，生成新的原子核Th，新原子1. 在匀强磁场中，一个静止的原子核23892核Th和α粒子的运动方向与磁场垂直。

若不计衰变后粒子间的作用力，关于新原子核Th和α粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（）A. 运动的速率之比为2 ：119B. 运动的半径之比为2 ：117 C. 运动的周期之比为2 ：117 D. 衰变过程中发生了质量亏损【答案】D 【解析】【分析】根据方程两边质量数，电荷数相等，写出核反应方程式，再结合对应的公式计算速率、半径、和周期之比。

【详解】A．发生α衰变时，新原子核Th和α粒子动量守恒，所以新原子核Th和α粒子的动量大小相等，质量比为117：2，故速率之比为2 ：117，A选项错误；B ．根据公式mv R Bq=又由动量守恒可知，两者mv 相同，则219045Th Th R q R q αα=== B 错误；C ．由周期公式可知2mT Bqπ=可得23421349010Th Th Th T m q T m q ααα⨯===⨯ C 错误；D ．根据能量守恒和质能方程可知，发生α衰变过程中会发生质量的亏损，Ｄ正确。

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(六)数学

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1.设集合{}2560M x x x =-+<，集合{}0N x x =>，则M N ⋃=（）. A.{}0x x > B.{}3x x < C.{}2x x <D.{}23x x <<2.复数z 满足()11i z i +⋅=-+，其中i 为虚数单位，则复数z =（）. A.1i + B.1i -C.iD.i -3.已知2sin 3α=，则()cos 2α-=（）.A.19 B.19-C.3D.3-4.已知向量(),3a k =，向量()1,4b =，若a b ⊥，则实数k =（）. A.12B.12-C.34D.34-5.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则直线1DA 与直线AC 所成角的余弦值为（）A.12-B.2C.12D.26.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线l ：250x y ++=，则双曲线的离心率为（）.A.127.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（）尺. A.47B.1629C.815D.16318.函数()cos f x x x =⋅的部分图象的大致形状是（）.A. B.C. D.9.根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（） A.16B.14C.13D.1210.对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”.若()12423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（）.A.11m ≤≤+B.1m -≤≤C.m -≤≤D.1m -≤≤-二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多相符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 11.下列选项中正确的是（）A.不等式a b +≥B.存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立 C.若a 、b 为正实数，则2b aa b+≥ D.若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥ 12.在空间中，已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（） A.若a b ∥，且，a α⊥，b β⊥，则αβ∥ B.若αβ⊥，且a α∥，b β∥，则a b ⊥C.若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交D.若a b ⊥，且a α∥，b β∥，则αβ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分. 13.函数()ln f x x =在点()1,0的切线方程为______. 14.二项式()721x +的展开式中3x 的系数是______.15.若地物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是______.16.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是______，cos BDC ∠=______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos 2cos b A c a B =-. （1）求角B 的值；（2）若4a =，ABC △ABC △的周长. 19.（本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值； 20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的一个点为)F，且该椭圆经过点12P ⎫⎪⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分12分）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.（ⅰ）采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；（ⅰ）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望. 你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln xf x ax a=-. （1）若0a >，求()f x 的极值；（2）若()2ln 10xxe x mx ex m ++-+≤，求正实数m 的取值范围.数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.1.【解析】由题意可得{}23M x x =<<，{}0N x x =>，所以{}0M N x x ⋃=>，故选A. 2.【解析】11iz i i-+==+，故选C. 3.【解析】()2221cos 2cos212sin 1239ααα⎛⎫-==-=-⨯= ⎪⎝⎭，故选A.4.【解析】由已知得1340a b k ⋅=⨯+⨯=，∴12k =-，故选B.5.【解析】连按1CB ，则11CB DA ∥，可知1ACB △是正三角形，∴11cos ,cos32DA AC π==，故选C. 6.【解析】由题知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，则12b a -=-，∴222222114b c a e a a -==-=，∴2e =，故选D. 7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为{}n a ，首项15a =，30390S =，可得30295303902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，故选B.8.【解析】由()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，排除A ，C ；因为()f x 的大于0的零点中，最小值为2π；又因为cos 0666f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故选D.9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有246C =种选法，再将捆绑后的专家分别派到3个县区，共有336A =种分法，故总共有6636⨯=种派法.其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有336A =种，其概率为61366=.故选A. 10.【解析】由“局部奇函数”可得：22422342230xxxx m m m m ---⋅+-+-⋅+-=，整理可得：()()244222260xx x x m m --+-++-=，考虑到()244222x x x x--+=+-，从而可将22x x -+视为整体，方程转化为：()()2222222280xx x x m m --+-++-=，利用换元设()222x x t t -=+≥，则问题转化为只需让方程222280t mt m -+-=存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论.设()222280g t t mt m =-+-=.（1）若方程有一个解，则有相切（切点x m =大于等于2）或相交（其中交点在2x =两侧），即02m ∆=⎧⎨≥⎩或()20g ≤，解得：m =11m -≤≤+.（2）若方程有两解，则()0202g m ∆>⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得，1112m m m m m ⎧-<<⎪⎪≥+≤-+<⎨⎪>⎪⎩综上所述：1m -≤≤ B.二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.11.【解析】不等式a b +≥0a ≥，0b ≥，故A 不正确；当a 为负数时，不等式12a a+≤成立.故B 正确；由基本不等式可知C 正确；对于()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y =，即12x =，14y =时取等号，故D 正确.故选；BCD. 12.【解析】若a b ∥，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量平行，则αβ∥成立，故A 正确；若αβ⊥，且a α∥，b β∥，则a 与b 互相平行或相交或异面，故B 错误；若a ，b 相交，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量相交，则α，β相交成立，故C 正确；若a b ⊥，且a α∥，b β∥，则α与β平行或相交，故D 错误；故选：AC.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分.）13.1y x =- 14.280 15.9 【注：14题结果写成4372C ⋅不扣分】 13.【解析】()1f x x'=，()11f '=，因此切线方程为1y x =-. 14.【解析】展开式的第1r +项为()71721rrr r T C x -+=⋅，故令73r -=，即4r =，所以3x 的系数为4372280C =.15.【解析】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9.16.【解析】法1：依题意作出图形，如图所示，则sin sin DBC ABC ∠=∠，由题意知4AB AC ==，2BC BD ==，则sin ABC ∠=1cos 4ABC ∠=，所以11sin 2222BDC S BC BD DBC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△，因为222218cos cos 428BD BC CD CD DBC ABC BD BC +--∠=-∠=-==⋅，所以CD =，由余弦定理，得cos4BDC ∠==.答案：2；4法2：如图，作AE 垂直BC ，作DF 垂直BC ，由勾股及相似比可得面积. 由二倍角公式可得目标角度的余弦值.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17.（本小题满分10分）【解析】（1）法1：∵611a =，∴1511a d +=，①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴()()()2111413a d a d a d +=++，化简得212d a d =，②又因为0d ≠且由①②可得，11a =，2d =.【注：只要算出2d =即可给分】 ∴数列的通项公式是21n a n =-法2：∵611a =，2a ，5a ，14a 成等比数列，∴()()()266648a d a d a d -=-+， ∴()()()211114118d d d -=-+，化简得23366d d =，又因为0d ≠ 得2d =.∴()()661126n a a n d n =+-=+- 数列的通项公式是21n a n =- （2）由（1）得()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴12111111123352121n n S b b b n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+ 所以21n nS n =+. 18.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：由已知()cos 2cos b A c a B =-，及正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos C B B A A B =+()2sin cos sin C B A B =+，因为A B C π+=-，所以2sin cos sin C B C =，因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.法2：由已知()cos 2cos b A c a B =-，及余弦定理可得：()222222222b c a a c b b c a bc ac+-+-⋅=-⋅化简得222a cb ac +-= 余弦定理可得2cos ac B ac = 因为0ac ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.（2）由1sin2ABCS ac B=△142c=⨯⨯1c=.又由余弦定理：2222cosb ac ac B=+-，222141241132b=+-⨯⨯⨯=得b=故ABC△的周长为5+.【注：第二问也可过A作BC边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】19.（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD所以DE AC⊥.因为ABCD是正方形，所以AC BD⊥又DE BD D⋂=，DE⊂面BDE，BD⊂面BDE故AC⊥平面BDE.（2）法1：【向量法】因为DA，DC，DE两两垂直，建立空间直角坐标系D xyz-如图所示.因为ED⊥平面ABCD，且EB与平面ABCD所成角为60°，即60DBE∠=︒，所以EDDB=.由已知3AD =，可得DE =AF =. 则()3,0,0A，(F，(E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，所以(0,BF =-，(3,0,EF =-.设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩.令z =(4,2,6n =.因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，()3,3,0CA =-.所以cos ,32n CA n CA n CA⋅===因为二面角为锐角，所以二面角F BE D --的余弦值为13. 法2：【几何法】如图，G 、P 分别为线段ED 、EB 的三等分点，M 、N 分别为线段EB 、DB 的中点，MN GP H ⋂=，连结FH ，AF NH ∥，且AF NH =，所以FH AN ∥，且所以FH ⊥面BDE ，过F 作FQEB ⊥垂足为Q ，连结HQ由三垂线定理知，FQH ∠为二面角F BE D --的平面角.由已知可得FH AN =，所以2FH =因为ED ⊥平面ABCD ，且EB 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，PHQ △为直角三角形，60QPH ∠=︒，142HP GP ==，所以HQ = 由勾股定理得222FQ FH HQ =+，得FQ =所以cos 13FQH ∠==.所以二面角F BE D --. 20.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：【待定系数法】由题意可得2223c a b ==-，又因为点在椭圆上得223114a b+= 联立解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y += 法2：【定义法】设另一个焦点为()1F ，则1F FP △为直角三角形，由勾股定理得172F P ==，所以124a PF PF =+=，即2a =，由222b ac =-得21b =所以椭圆C 的方程为2214x y +=（2）当直线l 为非x 轴时，可设直线l的方程为0x my +-=，与椭圆C 联立，整理得()22410my+--=.由()()()222441610m m ∆=++=+>设()11,A x y ，()22,B x y ，定点(),0Q t （且1t x ≠，2t x ≠）则由韦达定理可得12y y +=，12214y y m-=+. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数.所以12120y yx t x t+=--，即得()()12210y x t y x t -+-=.又110x my +=，220x my +=，得11x my =，22x my =.所以))12210y my t y my t -+--=，整理得)()121220ty y my y +-=.从而可得)2212044t m m m --⋅-⋅=++，即()240m -=，所以当3t =，即3⎛⎫⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x轴时，3Q ⎛⎫⎪⎝⎭也符合题意. 综上，存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 21.（本小题满分12分）【解析】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有3620C =种方法，抽取3名中有感染者的抽法共有1215:10C C =种方法，所以抽到感染者的概率2536101202C P C ===.（2）（ⅰ）按逐一化验法，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，()1116116C P C ξ===，()115126126C C P A ξ===，()215136136A C P A ξ===，()315146146A C P A ξ===，()41515655561115663A C A P A A ξ==+=+=，【5ξ=表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】分布列如下：【注：无列表不给分】所以()111111012345666633E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （ⅰ）平均分组混合化验，6个样本可按()3,3平均分成2组，或者按()2,2,2分成3组. 如果按()3,3分2组，所需化验次数为η，η的可能取值是2，3，()1111111111112323123C C C C P C C C C η==⨯+⨯=，()11111112112112122323233C C C C C C P C A C A η==⨯+⨯=，分布列如下：()12823333E η=⨯+⨯=.如果按()2,2,2分3组，所需化验次数为δ，δ的可能取值是2，3，()1111111111113232123C C C C P C C C C δ==⨯+⨯=，()111121211111323223113C C C C P C C C C η==⨯⨯+⨯⨯=，分布列如下：()12823333E δ=⨯+⨯=【参考回答1】：因为()()()E E E ξηδ>=，所以我认为平均分组混合化验法较好，按()2,2,2或()3,3分组进行化验均可. 【参考回答2】：因为()()()E E E ξηδ>=，按()3,3分2组比按()2,2,2分3组所需硬件资源及操作程序更少，所以我认为平均分组混合化验法且按()3,3分2组更好. 22.（本小题满分12分）【解析】（1）因为0a >，则函数定义域为()0,+∞，()11x af x a x ax-'=-=，若0x a <<，则()0f x '<，()f x 在()0,a 单调递减；若x a >，则()0f x '>，()f x 在(),a +∞单调递增，【注：无列表不得分】所以当x a =时，()f x 的极小值为()12ln f a a =-，无极大值；（2）法1：()2ln 0xe x x mx x m -+++≤，则()2ln 1x e x x xm x --≤+，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()min 11f x f ==，所以ln 1x x -≥，()22ln 11x x e x x x e xx x ---≥++令()21x e xh x x -=+，()0,x ∈+∞，()()()()()()()()2222211111211xxx x e x x e x e x xh x xx⎡⎤--++-+--⎣⎦'==++令()()11x g x e x x =-++，[)0,x ∈+∞，()10x g x e x '=⋅+>恒成立，所以()()()0min 001010g x g e ==-++=所以()0g x >恒成立，所以()()01,h x x '>⇒∈+∞；()()00,1h x x '<⇒∈；()01h x x '=⇒=；则()()12min111112e e h x h --===+所以()22ln 1112x x e x x x e x e x x ----≥≥++，当且仅当1x =时等号成立. 所以，正实数m 的取值范围为10,2e -⎛⎤⎥⎝⎦. 法2：由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()min 11f x f ==，所以ln 1x x -≥，因为()2ln 10xxe x mx ex m ++-+≤，所以()2ln 0xe x x mx x m -+++≤，所以2ln xmx x mx x e ++≤-，（*），令()2xmx x mh x e++=，()0,x ∈+∞，则()()()()22221211x xxxmx e mx x m e mx m x m h x e e+-++-+--+'== ()()()1111x xm m x x mx m x m e e-⎛⎫--- ⎪-+--⎝⎭== 因为0m >，所以111m-<，①若01m <≤，则110m-≤，当01x <<时，则()0h x '>，所以()h x 在()0,1单调递增，当1x >时，则()0h x '<，所以()h x 在()1,+∞单调递减，所以()()max 211m h x h e+==，又因为()1f x ≥，且()h x 和()f x 都在1x =处取得最值，所以当211m e +≤，解得12e m -≤，所以102e m -<≤， ②若1m >，则1011m<-<，当101x m <<-时，()0h x '<，()h x 在10,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；当111x m -<<时，()0h x '>，()h x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 在()1,+∞单调递减，所以()2111m h e+=>，与（*）矛盾，不符合题意，舍去. 综上，正实数m 的取值范围为10,2e -⎛⎤⎥⎝⎦.。

2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷(十)数学

，
.
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，解题的关键是利用对数运算性质对递推式进行变形，得到数列关系，属于中等题.
11.已知实数，满足，若，则的最小值为（）
故选D
点睛：画茎叶图时注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．
(1) ；
（2）；
（3） .
7.已知 , ,若 ,则 , 在同一平面直角坐标系内的大致图像是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，确定，确定与在上的单调性.再判断的奇偶性，即可.
【详解】由
和在上都为减函数.
定义域为关于原点对称
，即为偶函数.
故选：B
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象和性质.属于较易题.
【答案】A
【解析】
由题设“方程x2-x+b=0有实数根”可得，即，故由几何概型的计算公式可得所求事件的概率，应选答案A．
10.在数列中，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件，对式子变形得，即，故是常数数列，所以，即可得到通项公式.
【详解】，
，
，
是常数数列，
一、选择题

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2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（） A ．5BC．D ．22．平面向量a 与b 的夹角为3π，()2,0a =，1b =，则2a b -= （） A． BC ．0D ． 23．不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球。

现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（）A ． 310B ． 25C ． 35D ． 7104．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A ．3600种 B ．1440种 C ．4820种 D ．4800种 5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD - D ．1122AB AD -+6.等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 9的公差为1，若以上述数据x 1，x 2，x 3，…，x 9为样本，则此样本的方差为（） A ．203B ．103C ．60D ．307.已知向量2a =，1b =，()()31a b a b +⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π8.二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（）A ．160-B ．80-C ．80D ．160二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9.已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（） A ．//a bB ．()a b c +⊥C ．a b c +=D ．53c a b =+10.定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在区间()0,4单调递增B ．函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在0x =处取得极小值11.某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（） A ．甲的不同的选法种数为10B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是1412.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（） A ．游客至多游览一个景点的概率14B ．()328P X ==C ．()1424P X ==D ．()136E X = 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．第16题第一空2分，第二空3分.13.已知向量(cos 7)θ=a ，1,tan 3θ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且//a b ，则cos2θ=________.14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．15.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______． 16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量)sin 2,cos 3(x x ωω=，)cos ,cos 2(x x n ωω=，函数3)(-⋅=x f ，其图象的两条相邻对称轴间的距离为π.求函数)(x f 的解析式；18.已知平面向量a =(1，x )，b =(2x +3，-x )，x ∈R . （1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a ∥b ，求|a -b |的值.19．已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）某品牌汽车4S 店，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车4S 店记录了100假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．（1）求A 型、B 型、C 型各车型汽车抽取的数目；（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S 店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系？请说明原因．（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）附表：21.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w 821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()()i ii w w y y =--∑ 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =w =1881i i w =∑．（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．22．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf x x =．（1）求()f x 的最大值；（2）设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值．．数学试卷答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．2.【解析】22222(2)()44()4421cos4143a b a b a a b b π→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯=,∴22a b →→-=,故选D ．3.【解析】60.610P ==,故选C. 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选C ． 6.【答案】A 【解析】由等差数列的性质得样本的平均数为129555555222299x x x x x x x x x +++++++==，所以该组数据的方差为()()()()22222221525952432120993x x x x x x ⨯+++-+-++-==7.【答案】B 【解析】因为向量2a =，1b =，()()31a b a b +⋅-=，所以22231a a b b -⋅-=，即2231a b -⋅-=，即1a b ⋅=-，因此2cos ,22a b a b a b⋅<>===-，所以3,4a b π<>=.8.【答案】A 【解析】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-.二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9.【解析】由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠，A 错；()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.B 正确，C 错误；53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==，D 正确．故选BD10.【解析】根据导函数图像可知，()f x 在区间(),0-∞上，()'0f x <，()f x 单调递减，在区间()0,∞+上，()'0fx >，()f x 单调递增.所以()f x 在0x =处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D 选项正确，C 选项错误，故选ABD11.【解析】A 项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即2510C =种选法，故A 正确；B 项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B 错误；C 项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是142525C C =，故C 错误；D 项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率253612C C =，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是111224⨯=，D 正确，故选AD. 12.解析：记该游客游览i 个景点为事件i A ，0,1i =，则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3211321211511113232224P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⋅⋅-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以游客至多游览一个景点的概率为()()0115124244P A P A +=+=，故A 正确；随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4;()01(0)24P X P A ===， ()15(1)24P X P A ===，213211(2)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭2232113113228C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；23211(3)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭33311713224C ⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3211(4)3212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误；数学期望为：1597()012324242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯2134246+⨯=，故D 正确，故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．第 16题第一空2分，第二空3分. 13.【解析】向量(cos ,7)θ=a ，1,tan 3θ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且//a b ，∴可得7tan cos θθ=，7sin θ∴=， 2275cos212sin 12()9θθ∴=-=-⨯=-．故答案为59-． 14.【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯△ABC设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯= 解得：2r，其体积：3433V r =π=π.. 15.【解析】设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ．由题意可得()22π12π2π22218rhr rh r h ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，解得3r h ==，则该圆柱的体积是2π27πr h =．故答案为:27π.16.【答案】16 23【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23.四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、解：（1）()2•32sin cosf x m n x x x ωωω=-=+)1cos2sin2x x ωω=++2sin 2x x ωω=+ 2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2分）因为相邻对称轴间距离为π，由222T ππω==，得12ω=，（3分） ∴ ()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 18.【答案】（1）1x =-或3x =.（2）2或【解析】（1）若a ⊥b ，则a ·b =(1，x )·(2x +3，-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0 整理得x 2-2x -3=0，解得x=-1或x=3. （2）若a ∥b ，则有1×(-x )-x (2x +3)=0，即x (2x +4)=0，解得x=0或x=-2.当x=0时，a =(1，0)，b =(3，0)，a -b =(-2，0)，∴|a -b |2；当x=-2时，a =(1，-2)，b =(-1，2)，a -b =(2，-4)，∴|a -b |综上，可知|a -b |=2或19．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<．所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-．20.解：（1）A 、B 、C 型汽车抽取数目分别为20404010=210=410=4100100100⨯⨯⨯，，……3分（注：此步骤，算对1个给1分）（2）根据题意，22100(271038258.143135655248K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯）…………5分 22100(271038258.143135655248K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯）…………………………8分8.1431 6.635>， (10)分所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S 店满意度与性别有关系. ……12分（注：K 2计算错误的前提下，K 2＞6.635且结论判断正确，5分点后仍可再给4分，即整个解答过程如果只是K 2计算错误且结果大于6.635，则整道题可得9分）．21．【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8ˆ681.6()iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑． ˆˆ56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668y w =+，因此y 关于x 的回归方程为ˆ100.6y=+ （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值ˆ100.6576.6y=+= 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=．（ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.620.12zx x =+-=-+．13.66.82==，即46.24x =时，ˆz取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．22.解：（1）21ln '()xf x x -=， ……………………………………………………1分令0)(/=x f 得e x = ……………………………………………2分当),0(e x ∈时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(e 上为增函数 ……………3分当),(+∞∈e x 时，0)(/<x f ，)(x f 在),(+∞e 上为减函数 …………4分ee f x f 1)()(max ==∴ ，即()f x 的最大值为1e ． ………………6分（2） 0>a ，由（1）知：)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减。