第一章概率论的基本概念

主要应用
例4 矿工脱险问题：一矿工在有3个门的矿井 中迷了路，第1个门通到一坑道走3小时可使 他到达安全地点。第2个门通向使他走5小 时后又回到原地点的坑道，第3个门通向使 他走7小时后又回到原地点的坑道。如果他 在任何时刻都等可能地选定其中1个门。试 问他到达安全地点平均要花多少时间？
主要内容
第一部分：概率论 第二部分：数理统计
试验1：一个盒子中有十个完全相同的白球， 搅匀后，从中任意摸取一球。
试验2：一个盒子中有十个形状相同的球， 但5个是白的，5个是黑的，搅匀后，从中 任意摸取一球。
练习1
1 .连续投掷一个骰子，直至6个结果中有一 个结果出现两次，记录投掷的次数。
2. 连续投掷一个骰子，直至6个结果中有一 个结果连续出现两次，记录投掷的次数。
3. 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察 正反面出现的情况。
练习2
设A,B,C是三个事件，以A,B,C的运算关系 表示下列各事件：
（1）A发生，B和C不发生； （2）A,B,C都不发生； （3）
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——研究和揭示随机现象的统计规 律性的科学
P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
例 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数 分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定 甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求 从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.
解: 设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
例 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
概率起源
分赌注问题
1654年法国有个叫De Mere的赌徒向法国的天才数学家帕斯卡提出 了如下分赌注的问题：甲、乙两个赌徒下了赌注后，就按某种方 式赌了起来，规定：甲、乙谁胜一局谁就得一分，且谁先得到某 个确定的分数谁就赢得所有赌注。但是在谁也没有得到确定的分 数之前，赌博因故中止了。如果甲需再得n分才赢得所有赌注，乙 需再得m分才赢得所有赌注，那么如何分这些赌注呢？
主要应用
概率论的应用几乎遍及所有的科学领域。 如：台风预测，质量控制，数控技术。
主要应用
例1 一个n个人（n<365），求至少有两个人 的生日是同一天的概率？（一年以365天计）
主要应用
例2 两人相约12点到1点在某地会面，先到者 等候另一个人10分钟，过时就离去。假设两 个人等可能会在12点到1点内任一时刻到达， 求两人能会面的概率。
例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“两次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}
再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x:1000<x<T(小时）}。
主要应用
例3 某公司在某次招工考试中，准备招工300 名（其中280名正式工，20名临时工），而 报考的人数是1657名，考试满分为400分， 考试后不久，通过当地新闻媒体得到如下 信息：考试总平均成绩是166分，360分以上 的高分考生31名，某考生A的成绩是256分， 问他能否被录取？如被录取能否使正式工？
K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率.
解:设A—取到的数能被2整除; Ｂ—取到的数能被3整除
故
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十 人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和 反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间 的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.
还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系 ，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同 时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。 易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的， 这种关系可以用集合之间的关系来描述。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满 足条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
帕斯卡为解决这一问题，就与当时享有很高声誉的法国数学家费 尔马建立了联系。有意思的是，当时，荷兰年轻的物理学家（约 25岁）惠更斯知道了这事后也赶到巴黎参加他们的讨论。这样一 来，使得当时世界上很多有名的数学家对概率论产生了浓厚的兴 趣，从而使得概率论这门学科得到了迅速的发展。
后来，帕斯卡、费尔马、和惠更斯三个人分别给出三种不同的解 法。
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试 用A、B、C的运算关系表示下列事件：
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1.3 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性
P（A）应具有何种性质？
古典概型中的概率:
设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以 N(S)记样本空间S中样本点总数，则有
P(A)具有如下性质：
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则
P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TT N(A)={HHH,HHT,HTHT,}THH,HTT,TTH,THT}
例 （摸求问题）设合中有3个白球，2个红球，现从合 中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
(二) 频率与概率
某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”， P（A）=？
定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值 nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记 为fn(A). 即
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬 币时，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
•频率的性质:
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
(三) 概率的公理化定义
注意到不论是对概率的直观理解， 还是频率定义方式，作为事件的概率 ，都应具有前述三条基本性质，在数 学上，我们就可以从这些性质出发， 给出概率的公理化定义.
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情 形；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
1.2 样本空间、随机事件
(一） 样本空间
实验E的所有可能结果所组成的集合称
为样本空间，记为S={e}；试验的每一个结 果或样本空间的元素称为一个样本点,记为 e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基 本事件, 记为{e}.
例： 给出E1-E7的样本空间
（二）随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事 件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.
例（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任 取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求 取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被 6整除也能被8整除的概率.
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 N(3)=[200/24]=8 (1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
2.概率的性质
(1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有
P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An);
（三）事件之间的关系
1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为 AB A＝B AB且BA.
2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”， 记作AB
n个事件A1, A2,…, An至少有 一个发生，记作
3.积事件 :A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同 时发生，记作 A1A2…An
例 （分组问题）30名学生中有3名运动员，将这30名学生平 均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名 运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰有ni 个球(i=1,…m)，共有分法：
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
Leabharlann Baidu
(一）古典概型与概率
若某实验E满足 1.有限性：样本空间S＝{e1, e 2 , … , e n }; 2.等可能性：
P(e1)=P(e2)=…=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。
答:取到一红一白的概率为3/5 一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n 个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
例 （分求问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1 ）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至 多有一球的概率是：
概率论与数理统计
任课教师：陈丽燕 联系电话：668456
课程基本情况
学时：48，每周6节，共8周 学分：3 考核方式：考试
教材：
《概率论与数理统计》
杨小平 主编
北京理工大学出版社
参考教材： 1.《概率论与数理统计及其应用》
浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
2.《概率论与数理统计教程》
魏宗舒 编 高等教育出版社
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事 件A发生而B不发生.
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件 ：AB＝
6. 互逆的事件 AB＝ , 且AB＝
（四）事件的运算律
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
第一章 概率论的基本概念
随机试验 随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性
1.1 随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点：
1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可 能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可表为 E