(完整版)北师大版反比例函数知识点总结及例题

知识点及考点：
(一) 反比例函数的概念: 知识要点：
k
1、一般地，形如 y = - ( k 是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。

x
注意：(1)常数k 称为比例系数，k 是非零常数;
x 的反比例函数的有：_
(2)下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有(
C . 4个
D . 2 或一2
(5)
如果y 是m 的反比例函数， m 是x 的反比例函数，那么 y 是x 的( )
A •反比例函数
B •正比例函数
C . 一次函数
D •反比例或正比例函数
1
(6) 若函数y =7(m 是常数)是反比例函数，则 m= ______________ ，解析式为 _________ .
x
2
(7)__________________________________________________________ ( 2013安顺)若y=(a+1) x a 2是反比例函数，则 a 的值是 __________________________________________________________ ，该反比例函数为 ________________
(二) 反比例函数的图象和性质： 知识要点：
1、 形状：图象是双曲线。

2、 位置：(1)当k>0时，双曲线分别位于第 _______ 象限内；(2)当k<0时，双曲线分别位于第 ___________ 象限内。

例题讲解：
反比例函数
(2) 解析式有三种常见的表达形式: k y =
(k z 0) ,
(B ) x
例题讲解：有关反比例函数的解析式
(A ) xy = k (k z 0)
(C ) -1
y=kx ( k z 0)
(1)下列函数，①x(y 2)
1②.y
—⑤y
2x
3x
;其中是y 关于
① y= —L •，② y=
15
x 1 :③y= —3 :④
x
y=
y=- 2 :⑦
3
y= —:⑧-2xy=1
2x
1
(3)关于函数y=^—
x 2
A . y 是x 的反比例函数
以下说法正确的是(
B . y 是x 的正比例函数
y 是x-2的反比例函数
D .以上都不对
2
(4)函数 y (a 2)x a
2
是反比例函数，则 a 的值是(
(1) ( 2013邵阳)下列四个点中，在反比例函数y= 6的图象上的是( )
x
A . ( 3, -2)
B . (3, 2) C. (2, 3) D . (-2, -3)
1 k
(2) __________________________________________________________ 反比例函数y^—的图象经过点(-2, 3),则该图象经过__________________________________________________________ 象限
x
2 c
(3)已知函数y (m 1)x m 5是反比例函数，且图像在第二、四象限内，贝y m 的值是( )
A . 2 B. 2C. 2
1
D. -
2
叶1
k
(4)反比例函数y=^在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是( ) 2…匕
X11二
_ _ 1 | |
A . 1 B. 2 C. 3 D . 4
(5)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限012 K
(6)若反比例函数y (2m八m22
1)X
的图象在第二、
四象限，贝U m的值是( )例4
A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1；D、不能确定
2
3、增减性：(1 )当k>0时, ____________________ ,y随x的增大而_________
(2 )当k<0 时, __________________ ,y 随x的增大而_______ 。

例题讲解：
(1)已知点(一1, yj, (2, y2), (3, y)在反比例函数y k21
x 的图像上, F列结论中正确的是
()
A. y1 y2y3
B.y1 y y2
C.y3
(2)在反比例函数y 1
的图像上有三点X1
,y1 X
式正确的是( )
A. y y1y2 B . y y2 y1 C . y1y2
y1 y2 D. y2 y3 y1
X2 , y , X3 , y。

若X1 X2 0 X3 则下列各y3 D . y1 y3 y?
(3)已知(X1, y i), y a的大小关系是()(X2, y2),(X3,
y
①是反比例函数y
A. y3 < y1 < y2
B.y2< y1< y3
C. y1 < y2< y3
(4)下列函数中，当X0时，y随x的增大而增大的是
A. y 3x 4 B . y^x 2 C .
3
(5)已知反比例函数y
2
的图象上有两点 A (为, X
则y1 y2的值是( )
A.正数 B . 负数 C .非正数
4
—的图象上的三个点，且xy X2V 0, X3> 0,则y1, y2, X
( )
41
y -D . y2x
.
X
y1), B ( X2, y2), 且X1 X2,
D .不能确定
D. y s< y2< y1
2
(6)若点(x1, yj、( x , y2 )和(x3, y3)分别在反比例函数y —的图象上，且
x
X i X2 0 X3，则下列判断中正确的是( )
A - y i y2 y
B - y yi %
C 牡衣屮
D - w y? y i
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交
(1)下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是( )
1 2
A .尸一一
B . y=2x+1 C. y= - x D. y= - x +1
I
5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点 ___________________ ; (2)对于k取互为相
反数的两个反比例函数(如：y = 6和y = —6)来说，它们是关于x轴，y轴_____________________ 。

x x
(三)反比例函数与面积结合题型。

知识要点：
1、反比例函数与矩形面积：
k
若P(x, y)为反比例函数y (k诧))图像上的任意一点如图
x
求矩形PMON的面积.
分析：S矩形PMON = PM PN |y x xy
k -y —,
x /• xy=k,/• S = k .
(1)如图，占
八B在反比例函数图象上，矩形ABCO面积为8，则反比例函数的
表达式为( ) A 880
(A) y(B) y -
x x c
(C) y 8x (D) y 8x
1 3
(2)如图，点A在双曲线y= 1上，点B在双曲线y=3上，且AB// x轴，C D在x轴上，若矩形ABCD勺面积为
x x
2、反比例函数与三角形面积:
1所示，过
反比例函数y =—匕一点P (x0. y0),过点
P作PA丄y轴，PB±X轴，垂足分别为入
B,则四边形AO日F的面积为____________ :且
®AAOP---------------- ®ABOP --------------------- °
(1 )、如图，反比例函数y £k0在第一象限内的图象如图，点
X
MP垂直x轴于点P,如果△ MOP勺面积为1,那么k的值是
1
(2)、在y —的图象中，阴影部分面积
X
X
个反比例函数的解析式为
2 、
y 的图象相交于
X
过点A作AB丄X轴于点B，连结BC .则△ ABC的面积等于(
A . 1
B . 2
C . 4
D .随k的取值改变而改变.
不为1的是(
A
6(X v 0、的图象上任取一点
X
P，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为
N.如果S MON=2，这(3、在反比例函数y
M是图像上一点,
(5)如图，正比例函数y kx(k 0)与反比例函数A、C两点,
2
(6)如图，A、B是函数y 的图象上关于原点对称的任意两点，BC // x轴,
x
S，则( )
(四)一次函数与反比例函数
例题讲解:
⑵一次函数y kx k(k
k
0)和反比例函数y (k
B. S 4
C. 2 S 4
D. S 4
(1)一次函数y= - 2x+1和反比例函数y=错误味找到引用源。

的大致图象是(
x 2
(4) 正比例函数y 和反比例函数y 的图象有
2 x
(5) 正比例函数y=k1X(k& 0)和反比例函数y=且
个交占
I
八
、、♦
(k 2工0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为
x
(6)平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B且与反比例函数图象分别交于C、D两点，过
点 C 作CM 丄x 轴于M , AO=6 ,
BO=3 ,
AB的解析式和反比例函数解析式.
AC // y轴，△ ABC的面积记为
(k你2工0的
0)在同一直角坐标系中的图象大致是(
D、x v—2 或0v x v 1
C、x v- 2 或x > 1
(五) 反比例函数的应用: 例题讲解:
1•一个水池装水12立方米，如果从水管中每小时流出
x 立方米的水，经过 y 小时可以把水放完，那么
y 与x 的
函数关系式是 ________ ，自变量x 的取值范围是 __________ •
2 .三角形的面积为6cm 2，如果它的一边为ycm ，这边上的高为xcm ，那么y 与x 之间是 _________________ 函数关系，以 x 为自变量的函数解析式为 __________ 3•长方体的体积为 40cm 3,此长方体的底面积 y(cm 2)与其对应高x(cm)之间的函数关系用图象大致可以表示为下 面的(
).
(A)
小明完成百米赛跑时，所用时间 t(s)与他的平均速度
(B) 长方形的面积为24,它的长y 与宽x 之间的关系
(C) 压力为600N 时，压强p(Pa)与受力面积S(m 2)之间的关系
(D) 一个容积为25L 的容器中，所盛水的质量 m(kg)与所盛水的体积 V(L)之间的关系 5.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体 对汽缸壁所产生的压强，如下表:
体积
x(ml) 100
80 60 40 20 压强y(kpa)
60
75
100
150
300
则可以反映y 与x 之间的关系的式子是( )•
(A) y = 3000x
(B) y = 6000x
(C) y
x
6•甲、乙两地间的公路长为 300km , 一辆汽车从甲地去乙地，
汽车在途中的平均速度为
V(km/h)，到达时所用的时间为
t(h),
那么t 是V _______ 的函数， V 关于t 的函数关系式为 __________ •
4 •下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是
v(m/s)之间的关系 ( )•
(D) y
6000
7 •农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房
(如图所示)，则需要塑料布y(m2)与半径R(m)的函数
关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分) _______ .
8.有一面积为60的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为x,高为y,则y关于x的函数关系式是().
45 30 90
(A) y (X 0) (B) y (x 0) (C) y (x 0)
XXX (D) y % 0)
x
9 .一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm)，宽是5cm, 高是x(cm).
(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围;
(2)画出(1 )中函数的图
象;
(3)当高是3cm时，求长.
10 .一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
例函数，其图象如图所示.
(1) 写出这一函数的解析式；
(2) 当气体体积为1m3时，气压是多少？
p(kPa)是气体体积V(m3)的反比
(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少?。