分布列与数学期望

离散型随机变量的分布列与数学期望

班级 姓名

1.已知随机变量ξ的分布列

如右表：则x= 。

2.两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，则

A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．

3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的

干部竞选．

（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从

甲、乙两个盒内各任取2个球． （1）求取出的4个球均为黑球的概率； （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ数学期望．

5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （I ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

（II ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.

6.（本题满分12分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.

(1)求该校报考飞行员的总人数;

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.

7．某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为

2

1

,32,32，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

(Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

(Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望。

8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为

，求

的分布列和数学期望；

（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． 9、假定某人每次射击命中目标的概率均为

1

2

，现在连续射击3次。 （１） 求此人至少命中目标2次的概率；

（２） 若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。射击结束。记此人

射击结束时命中目标的次数为X ，求X 的数学期望。

答案：

3.解：ξ的所有可能取值为0，1，2．

依题意，得34

36C 1(0)C 5

P ξ===，

214236C C 3(1)C 5P ξ===， 1242

36C C 1(2)C 5

P ξ===．

∴ξ的分布列为

1

2

∴ 10121555

E ξ

=⨯+⨯+⨯=。

（2）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，

则()2536C 1C 2P A ==，()14

36C 1C 5

P AB ==，

∴()()()2

5

P AB P

B A P A =

=．

故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为

25

． 4.解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，

且 23241()2C P A C ==, 2

4262()5

C P B C ==.

所以取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255

P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=.

（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑

球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，

且154)(2614122423=⋅=C C C C C C P , 5

1

)(2

62

42413=⋅=C C C C D P . 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为

417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. （3）设ξ可能的取值为0,1,2,3.

由（1）、（2）得1(0)5P ξ==, 7(1)15P ξ==,1

322

4611(3)30

C P C C ξ==⋅=.

所以3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.

∴ ξ的数学期望为 1731701235

15

10

30

6

E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.

5、（1）

10

1

EX=0⨯

5+1⨯10+2⨯5+3⨯10

=1 6、解：（1）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件

可得:

⎪⎩⎪

⎨

⎧

=⨯++++==1

5)013.0037.0(32321

1312p p p p p p p 解得375.0,25.0,125.0321===p p p ……4分 又因为n

p 12

25.02=

=，故48=n ……………………………6分 (2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为

8

5

5)013.0037.0(3=⨯++=p p ……8分

所以x 服从二项分布,k k k C k x p -==33)8

3

()85()

(

∴则8

5123512251215120=⨯+⨯+⨯+⨯

=Ex ……………………12分