随机变量的数字特征
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第四章随机变量的数字特征
讨论随机变量数字特征的原因
（1）在实际问题中，有的随机变量的概率分布
难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。
（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。
（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松
分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。
§4.1 数学期望
一、数学期望的概念
1.离散性随机变量的数学期望
例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：
求该班同学的平均年龄。
平均年龄
=1
4
8
10
7
2
1
22
4
21
8
20
10
19
7
18
2
17
+
+
+
+
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
把上式改写为：
设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为
定义4.1：设离散型随机变量X的分布列为：
若∑
k
k
k
p
x
绝对收敛（即
+∞
<
=
∑∑k
k k
k
k
k
p
x
p
x
），则称它为
X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即
若∑
k
k
k
p
x
发散，则称X的数学期望不存在。
（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；
（2）要注意数学期望存在的条件：∑
k
k
k
p
x
绝对
收敛；
（3）当X服从某一分布时，也称某分布的数学
期望为EX 。
例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX
EX=p
例4．3：设X?B(n,p)，求EX
EX=np
例4．4：设X服从参数为?的泊松分布，求EX
EX=λ
2.连续型随机变量的数学期望
定义 4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分
⎰+∞∞-dx
x
xf)
(
绝对收敛，（即⎰∞∞
-
+∞
<
dx
x
f
x)
(
），
则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即
)
(
)
(⎰∞∞-
=dx
x
xf
X
E
若⎰∞∞
-
+∞
=
dx
x
f
x)
(
，
则称X的数学期
望不存在。
例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。
EX=
2b
a+
例4.6:设X服从参数为?的指数分布，求EX EX=λ
例4.7:
)
,
(
~2σ
μ
N
X
，求EX
EX=μ
下面分析书上P101---P104例。例1P101
例2P101
例3 P102---103
解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。
例4 P103
3.随机变量函数得数学期望
定理4.1:设随机变量X 的函数为Y =g(X)，
(1) 若离散型随机变量X 的分布律为
)(k k x X P p ==,k =1,2,… ，∑k
k
k p x g )(绝对收敛，则Y 的数学期望
存
在
，
且
)()]([)( ∑==k
k k p x g X g E Y E
(2)
若连续型随机变量X 的概率密度为
f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量，⎰+∞
∞
-dx
x f x g )()(绝对收敛，则Y 的
数学期望存在，且
定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y)
(1)若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
且有∑
j
i
ij
j
i
p
y
x
g
,
)
,
(
绝对收敛，则Z的数学期望存在，且
(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密
度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy
y
x
f
y
x
g)
,
(
)
,
(
绝对收敛，则Z的数学期望存在，且
例5 P106
例6 P107
例7 P107
以下为第一版例。
例4.8:设X?U?0,??，Y=X
sin,求E(Y )。
例4.9:设（X,Y）的联合分布律为
其中
,
,
,1,0
;
,2
,1,0
;1
0;0n
m
n
p
=
=
<
<
>
λ
求E(XY)。