随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征
讨论随机变量数字特征的原因
（1）在实际问题中，有的随机变量的概率分布
难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。

（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。

（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松
分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。

§4.1 数学期望
一、数学期望的概念
1.离散性随机变量的数学期望
例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：
求该班同学的平均年龄。

平均年龄
=1
4
8
10
7
2
1
22
4
21
8
20
10
19
7
18
2
17
+
+
+
+
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
把上式改写为：
设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为
定义4.1：设离散型随机变量X的分布列为：
若∑
k
k
k
p
x
绝对收敛（即
+∞
<
=
∑∑k
k k
k
k
k
p
x
p
x
），则称它为
X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即
若∑
k
k
k
p
x
发散，则称X的数学期望不存在。

（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；
（2）要注意数学期望存在的条件：∑
k
k
k
p
x
绝对
收敛；
（3）当X服从某一分布时，也称某分布的数学
期望为EX 。

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX
EX=p
例4．3：设X?B(n,p)，求EX
EX=np
例4．4：设X服从参数为?的泊松分布，求EX
EX=λ
2.连续型随机变量的数学期望
定义 4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分
⎰+∞∞-dx
x
xf)
(
绝对收敛，（即⎰∞∞
-
+∞
<
dx
x
f
x)
(
），
则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即
)
(
)
(⎰∞∞-
=dx
x
xf
X
E
若⎰∞∞
-
+∞
=
dx
x
f
x)
(
，
则称X的数学期
望不存在。

例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。

EX=
2b
a+
例4.6:设X服从参数为?的指数分布，求EX EX=λ
例4.7:
)
,
(
~2σ
μ
N
X
，求EX
EX=μ
下面分析书上P101---P104例。

例1P101
例2P101
例3 P102---103
解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。

例4 P103
3.随机变量函数得数学期望
定理4.1:设随机变量X 的函数为Y =g(X)，
(1) 若离散型随机变量X 的分布律为
)(k k x X P p ==,k =1,2,… ，∑k
k
k p x g )(绝对收敛，则Y 的数学期望
存
在
，
且
)()]([)( ∑==k
k k p x g X g E Y E
(2)
若连续型随机变量X 的概率密度为
f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量，⎰+∞
∞
-dx
x f x g )()(绝对收敛，则Y 的
数学期望存在，且
定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y)
(1)若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
且有∑
j
i
ij
j
i
p
y
x
g
,
)
,
(
绝对收敛，则Z的数学期望存在，且
(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密
度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy
y
x
f
y
x
g)
,
(
)
,
(
绝对收敛，则Z的数学期望存在，且
例5 P106
例6 P107
例7 P107
以下为第一版例。

例4.8:设X?U?0,??，Y=X
sin,求E(Y )。

例4.9:设（X,Y）的联合分布律为
其中
,
,
,1,0
;
,2
,1,0
;1
0;0n
m
n
p
=
=
<
<
>
λ
求E(XY)。

二.数学期望的性质
性质1:若c 为常数，则
E(c)=c 。

性质2:若c 为常数，随机变量X 的数学期望存在，则:cX 的数学期望存在，且E(cX)=cE(X) 性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y 的数学期望都存在，则X+Y 的数学期望存在，且
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
推论:若n 维随机变量（X 1,X 2,...,n X )的分量X 1,X 2,...,n X 的数学期望都存在，则X 1 + X 2
+...+n X 的数学期望存在，且
性质4:若随机变量X,Y 相互独立，它们的数学期望都存在，则X?Y 的数学期望存在，且 推论:若随机变量X 1,X 2,....,X n
相互独立，它们的数学期望都存在，则X 1X 2…X n 的数学期望存在,且
性质5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则E(X)?0。

若
Y X ≤对任何∈ωS ，)(),(Y E X E 存在，则
)()(Y E X E ≤。

特别地，若
b a b X a ,,≤≤为常数，)(X E 存在，则
b X E a ≤≤)(。

例8 P109
例9 P110
第一版例
例4.14：设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件。

今从中任取n （假定n ≤N-M ）件，记这n 件中所含次品数为X ，求E （X ）。

三.综合性的例题（第一版）
例:设X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤+=其它010)(2
x bx
a x f ， 其中a,
b 为常数，且E （X ）=5
3。

求a,b 的值。

注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。

例: 射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的0分，仅中一发得15分，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。

若某射手的命中率为0.6，求他得分的数学期望。

例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。

已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U[1000,2000]。

购进的苹果在一周内售出，1kg 获纯利1.5元；一周内没售出，1kg 需付耗损、储藏等费用0.3元。

问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。

§4-2 方差
一.方差的概念
1、定义4.3:设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在，则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即
D(X)=E(X-E(X))2
称D(X)的算术平方根D X
（）为X的标准差或均方差，记为)
(X
，即
由数学期望的性质5知，若随机变量X的方差D(X)存在，则D(X)?0。

简言之，方差是一个非负实数。

当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)。

2、计算方差
（1）若X是离散型随机变量，其分布律为p i=P(X=x i),i=1,2,...,且D(X)存在，则
（2）若X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),且D(X)存在，则
（第一版）
例1：设X?B(1,p)，求D(X)
例2：设X?N(?,?2)，求D(X)
例3：设X?U[a,b]，求D(X)
(3)D(X)=E(X 2)-(EX)2
证明：P112.
例1 P112 例2 P112
（第一版）
例4：设X??(?)，求D(X)
例5：已知
X )3(~),2,10(~2
πY N ，求)2(2
2
Y X E +
二.方差的性质
性质1:若C 为常数，则
D(C)=0
性质2:若C 为常数,随机变量X 的方差存在，则CX 的方差存在，且
D(CX)=C 2D(X)
证明由自己完成
性质3:若随机变量X,Y 相互独立，它们的方差都存在，则X?Y 的方差也存在，且
D(X?Y)=D(X)+D(Y)
证明：P113
推论:若随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立，它们的方差都存在，则X 1+X 2+...+X n 的方差存在，且
性质4:若随机变量X 的方差存在，对任意的常数C?E(X),则
D(X)=
2
)
(EX X E - ? E(X-C)2
即函数g(C)=E(X-C)2在C=E(X)处达到最小值D(X)。

性质5若D(X)存在，则D(X)=0的充要条件是:
P(X=E(X))=1
例3 P113
第一版例：
例6：X 服从 B(n,p),求D(X).
例7：某种商品每件表面上的疵点数X 服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。

若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。

某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。

已知
)8.0(~πX
设产品价值为
Y V R ..
6.98088.0101898.08)(=⨯+⨯=X E 元
例 ：设随机变量X 的方差D(X)存在,且D(X)?0令
)
()(X D X E X X
-=
*
,其中
E(X)是X 的数学期望，求
)D(X )(*
*
和X E 。

三．契比雪夫不等式(Chebyshev)
契比雪夫不等式：设随机变量X 的方差D(X)存在，则对任意的??0，均有
P{?X-E(X)???} ?
2
)
(ε
X D
或等价地
P{?X-E(X)???}?1-
2
)
(ε
X D
例：P{?X-E(X)??3σ}?0.8889
P{?X-E(X)??4σ}?0.9375
解：P{?X-E(X)??3σ}?1-2
2
)
3(σσ
=1-91 P{?X-E(X)??4σ}?1-16
1
Data;
A=8/9; put a=;
A=15/16; put a=;
Run;
A=0.9375
§4.3 几种生要随机变量的数学期望与方差
P115
这部分结果很重要，要牢记。

P117，关于正态随机变量的三个重要数据：
=
=
=
SAS的两种计算公式：
data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=; p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=; p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=; run;
data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
也可以验证数据，即以μ为中心，需要几倍的标准差σ距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。

Data;
q1=abs(probit((1-)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-)/2));put q3=;
run;
q2=2
data;
q1=probit(1-(1-)/2);put q1=;
q2=probit(1-(1-)/2);put q2=;
q3=probit(1-(1-)/2);put q3=;
run;
q2=2
注意：μ为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差σ距离。

Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=; q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=; q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=; q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
run;
比如，
{}σμσμ96.196.1+≤<-X P
=0.95
=0.9
等的结论也是常用的。

几乎都成常识了。

书示附表1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。

§4.4 协方差及相关系数
一.协方差与相关系数的概念
1.定义
定义4.4：设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X),E(Y)，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称它为X,Y 的协方差，记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
2.计算
(1)用定义计算
若二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律
),,(j i ij y Y x X P p ===i,j=1,2,?，且Cov(X,Y)存在,则
Cov(X,Y)=
∑--j
i ij
j i
p Y E y X E x
,))())(((
若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),且Cov(X,Y)存在，则
（2）、公式
在计算Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便：
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
第一版例：不讲。

例 :设(X,Y)在圆域上服从均匀分布，判断X,Y 是否不相关。

并求Cov(X,Y)。

例 :设(X,Y)的联合分布律为
其中
n
m n p ,,2,1,0,2,1,0,10,0 ==<<>λ
求 Cov(X,Y),并讨论X,Y 的相关性。

说明：
(1)Cov(X,Y)能反映X 与Y 之间某种联系的程度。

(2)Cov(X,Y)是有量纲的量，其值与(X,Y)的取值单位有关。

3.相关系数
定义4.5:若二维随机变量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)?0,D(Y)?0,则称
)
()(),(Y D X D Y X Cov 为X,Y 的相关系数，记为?XY ,即
?XY =
)
()(),(Y D X D Y X Cov
定义4.6：若?XY =0则称X,Y 不相关；
若
0>XY ρ称X,Y 正相关；
若
<XY ρ则称X,Y 负相关。

4.随机变量X,Y 独立性与不相关的关系
(1)一般情况下，设
xy ρ存在，若X,Y 相互独立,
则0=xy ρ，即X,Y 不相关。

反之，X,Y 不相关,但X,Y 不一定独立。

如例 ：（书4.31）（X ，Y ）在{}
2
2
2
:r y x D ≤+上均匀分布。

可知X ，Y 不
相关，但X ，Y 不独立。

(2)特别，对于二维正态分布(X,Y)服从
X,Y 相互独立
⇔=⇔0ρ X,Y 不相关。

二 协方差与相关系数的性质
1.性质
性质1:若X,Y 的协方差Cov(X,Y)存在，则
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
性质2:若(X,Y)两个分量的方差都存在，则
D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2Cov(X,Y)
推论:若(X 1,X 2,,...X n )各分量的方差都存在，则
性质3:设下述各式所出现的协方差都存在，则有
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y)
Cov(X,X)=D(X)
Cov(a,X)=0 其中a 为常数
例3(第一版)：设（X ，Y ）~
2
2222
21),(σπσ
y x e
y x f +-
=
，求
Cov(2X+Y,
Y X 2-)
性质4:若 X,Y 的相关系数
XY ρ存在，则
(1)?
XY ρ??1;
(2)?
XY ρ?=1的充要条件是：存在常数a,b 且a?0,使得概率为1的有Y=aX+b, 即
P(Y=aX+b)=1
证法一见书P-120.
几点说明 :
(1) 由性质的证明可见：
11=XY ρ{}1=+=⇔b aX Y P ，
a>0 ，这时称X 与Y 完全正相关；
21-=XY ρ1
}{=+=⇔b aX Y P ，a<0,这时称X 与Y 完全负相关。

完全正相关和完全负相关统称为完全相关，当X 与Y 完全相关时,(X,Y)可能取的值概率为1的集中在一条直线上。

(2)相关系数XY ρ是用来刻画X,Y 线性相关性程度的一个数量。

当
||XY ρ越接近于1时，X 与Y 之间越近似有线性关系；当
||XY ρ较小时， X 与Y 之间不能认为有近似的线性关系。

(3) 当0=XY ρ时，X,Y 不相关，X,Y 之间没有线
性关系。

这时,X,Y 之间的关系较复杂；可能X,Y 相互独立(如二维正态分布),可能(X,Y)在平面的某个区域内服从均匀分布(如例4.31)，可能X,Y 之间有某种非线性的函数关系(如下面的例4.33)。

例1 P121
§4.5 矩、协方差矩阵
定义4.7:设二维随机变量(X,Y),k,l为非负整数。

若E(X k)存在，则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩；
若E{[X-EX]k}, k=1,2,….存在，则称它为X的k阶中心矩。

=E(X k Y l)；
若E(X k Y l)存在，则称它为X和Y的(k,l)阶混合矩，记作m kl, 即m
kl 若E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]存在，则称它为X和Y的(k,l)阶混合中心矩，记作?kl, 即?kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]。

显然，数学期望E(X)是X的一阶矩，方差D(X)是X的二阶中心矩,协方差Cov(X,Y)是X和Y的(1,1)阶混合中心矩.
关于矩有下述结论：设k为正整数。

(1)若E(X k)存在，则对小于k的一切非负整数
l，E(X l)存在.这由?X??1+?X?k，即得
+
E?X?l?1+E?X?k?∞
(2)原点矩与中心矩可相互表示。

协方差矩阵
P123—125.
略。

本章练习题
5,6,7,8,9,10,15(1),16,17,22,23,26,28.。