材料力学课件2-3章讲解

l
l
在弹性范围内剪应力与剪应变成正比关系
= Gg
切应力方向-右手定则
切应力互等定理-在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都 垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线
圆轴扭转时横截面上的应力 1平面假设
弧长：G1G = g dx = dj
g
=
dj
dx
距圆心为 任一点处的g与到圆心的距离
圆轴扭转时的变形
受扭圆轴的相对扭转角
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
dj = T dx
GI P
沿轴线方向积分，得到
j = T dx
l GIP 38
受扭圆轴的相对扭转角
l 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相 对扭转角为：
j
j = Tl
GI P
对于各段扭矩不等或截面积惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转 角为：
B
解：（1）建立静力平衡方程
Mx = 0,M A Me Me MB = 0
Me
Me
a
a
a
MA = MB
设AC，CD与DB段的扭 矩分别为T1，T2，T3
T1 = M A
MA Me
Me MB
T2 = M e M A
T3 = M B
（2）建立几何方程：横截面A和B为固定端，截面A和B 间的相对转角即扭转角为0，所以轴的变形协调方程为：
j AB = j AC jCD jDB = 0
（3）建立物理方程及补充方程：
j AC
=
T1a GI p
=
M Aa GI p
jCD
=
T2a GI p
=
(Me M A)a GI p
M Aa GI p
(Me M A)a GIP
MBa GI p
=
0
jDB
=
T3a GI p
=
MBa GI p
2M A Me MB = 0
成正比。
dj
dx
—
扭转角沿长度方向变化率。
2. 物理方面
根据剪切胡克定律, 当切应力不超过材料的剪切比例极限时
胡克定律： = G g
代入上式得：
=
G g
=
G
dj
dx
切应力方向垂直于半径
圆柱静力学关系：
dA
微面Βιβλιοθήκη BaidudA上的微剪力对圆
心的力矩： dA
O
T = A dA
=
A
G
2
dj
（4）联列求解：
MB
=
Me 3
MA
=
MB
=
Me 3
例4 图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该
轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知 MA＝180N·m， MB＝320 N ·m， MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m ，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。
n
τ τ τ
s---b---u----
扭转屈服极限 扭转强度极限 扭转极限应力
——塑性材料 ——脆性材料 ——τs和τb的统称
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
= Tmax Wp
[ ]
②
设计截面尺寸：
Wp
Tmax
[ ]
Wp
③ 计算许可载荷： Tmax Wp[ ]
实： d 3 16
空：1D63（1 4）
2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB
段的扭转角变化率为：
=
dj dx
T
=
1
GI
180N m
180
= (80 109 Pa)(3.0 105 1012 m4 ) π
= 0.430 /m θ
可见，该轴的扭转刚度符合要求。
3.6 非圆截面杆扭转
2-3章-习题课
2-2 图示结构中，1，2两杆的横截面直径分别为10 mm和20 mm，求两杆内横截面上的应力。设两根横梁皆为刚体。
AB C
D
2-3 求图a所示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴 力图。如横截面面积A1 = 400mm2 ， A2 = 300mm2 ， A3 = 100 mm2求各 横截面上的应力。
3.6 非圆截面杆扭转
非圆截面杆在扭转时有两种情形:
1. 自由扭转或纯扭转 在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任 意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面 只有切应力,而没有正应力。
√
例3 图示等截面圆轴AB，两端固定，在截面C和D处承受外力
偶矩Me作用，试绘该轴的扭矩图。
ACD
2. 约束扭转 扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘 曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲 程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。
对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转 产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于 薄壁杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。
3.6 非圆截面杆扭转
＝2 （／m）。
41
3.6 非圆截面杆扭转
3.6.1 自由扭转与约束扭转
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。
对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面 ，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现 象称为截面翘曲。
因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面 杆均不适用。
3.6 非圆截面杆扭转
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
利用截面法, 得AB段BC段的扭矩分别为:T1＝180 N·m， T2＝-140N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
jAB
Tl
=
1
GI
=
(80
(180N m)(2m) 109 Pa)(3.0 105
1012 m4 )
=
1.50
102 rad
jBC
Tl
3.6.2 矩形截面杆的扭转 在横截面的边缘上各点的切应力均与周边平行,且 截面的四个角点上切应力均为零。最大切应力发生 在长边中点处。
1
max
2-4 图示拉杆承受轴向力 F = 10 kN ，杆的横截面面积 A = 100 mm 。 如以 α 表示斜截面与横截面的夹角，求当 α = 0 °、30 °、45°、 60 °、90 ° 时各斜截面上的正应力和切应力。
2-6图示硬铝试件，其中 a = 2 mm ，b = 20 mm ，l = 70 mm 。在轴 向拉力 F = 6 kN作用下，测得试验段伸长 Δl = 0.15 mm，板宽缩短
Δ b = 0.014 mm，试计算硬铝的弹性模量 E 和泊松比μ
(b)
F2
（a）
a1
a2
a
剪切 拉伸 挤压
拉伸 挤压
扭转
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
扭转角（j）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪（切）应变（g）：直角的改变量。 g=BB’/l
=
2
GI
=
(80
(140N m)(2m) 109 Pa)(3.0 105
1012 m4 )
=
1.17
102 rad
由此得轴AC的总扭转角为
jAC = jAB jBC = 1.50 102 rad - 1.17 10-2 rad = 0.33 10-2 rad
各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。
j = Tili GI Pi
39
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形 的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形， 即扭转角的变化率：
= dj = T
dx GIp 扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范 围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：
dx
dA
=
G
dj
dx
A
2dA
令 Ip = A 2dA 横截面的极惯性矩
T
=
GI
p
dj
dx
dj
dx
=
T GIp
代入物理关系式
=
G
dj
dx
得：
=
T
Ip
横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式
最大扭转切应力和强度条件
1. 最大扭转切应力：
由
=
T
Ip
知：当
= R , max
max
=
TR Ip
= dj = T
dx GIP
40
受扭圆轴的刚度设计准则
= dj = T
dx GIP
的单位为rad/m
—工程中（°/m）
其中， [] 为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工 作要求而定。例如，精密机械的轴 [] ＝(0.25~0.5) (／m ) ； 一般传动轴 [] ＝(0.5~1.0) (／m ) ；刚度要求不高的轴 [ ]
薄壁圆筒扭转-切应力
r dA = T
A
r 2r = T
=
T
2 r 2
剪切胡克定律
切应变的定义
单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的 直角改变量，定义为 角应变或切应变，用γ表示。
g = bb ' / ba
φ很小，sinφ = tan φ = φ
tan φ= x/r = φ
x
x=rφ
g = rj
=
T Ip R
=T Wp
(令 Wp = I p R )
max
=
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面：
Wp
=
d3
16
对于空心圆截面：
Wp
=
(D4
16
d4)
=
D3 (1 4 )（α=
16
d/D）
强度条件
强度条件：
max
=
Tm a x Wp
[ ]
许用切应力
= u