湖北省荆州中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学(理)试题

图2
俯视图
侧视图
正视图
荆州中学高二年级第一次质量检测数学卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.在空间直角坐标系中, 点)3,2,1(P 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)3,2,1(-
B ．)3,2,1(--
C ．)3,2,1(--
D ．)3,2,1(--
2.在空间直角坐标系中, 点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为（ ） A ．6 B ． 6 C ．3 D ．2
3.如图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，
俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）
A ．326+
B ．3224+
C ．314
D ．3232+
4.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥
C ．若l α//，m α⊂，则l m //
D ．若l α//，m α//，则l m // 5.过点)3,2(P 的圆0122:2
2
=+--+y x y x C 的切线方程为（ ）
A ． 3=y
B ．2=x
C ．2=x 或0643=+-y x
D ．0643=+-y x
6.两条直线033=-+y x 与016=++my x 平行，则它们间的距离为（ ）
A ．4
B ．
13132 C ．13265 D ．10207
7.已知实数y x ,满足区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤-+00062y x y x ，若该区域恰好被圆2
22)()(:r b y a x C =-+-覆
盖，则圆C 的方程为（ ）
A ．06322=+++y x y x
B ．0632
2=+-+y x y x
C ．0632
2
=-++y x y x D ．0632
2
=--+y x y x
8.圆1)1()1(:221=-+-y x C 关于直线0=+y x 对称的圆2C 的方程为（ ） A ．1)1()1(2
2
=-++y x B ．1)1()1(2
2
=++-y x
C ．1)1()1(2
2
=+++y x D ．1)1()1(2
2
=-++y x 或1)1()1(2
2
=++-y x 9.圆8)2()1(2
2
=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个
10.不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ） A ．)0,0( B ．)3,2( C ．)2,3( D ．)3,2(-
11.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA ⊥底面ABC ，
SA 3=，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）
A ．34 C D ．34
12.已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：2
2
2
r y x =+内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为2
r by ax =+，则（ ）
A ．m ∥n 且n 与圆O 相离
B ．m ∥n 且n 与圆O 相交
C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离
D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
14.若直线8+=ax y 与b x y +-
=2
1
的图像关于直线x y =对称，则=+b a 15.已知圆系方程5)2()(2
2
=-+-m y m x （m R m ,∈为参数），这些圆的公切线方程为
16.点)2,0(A 是圆16:2
2
=+y x O 内定点，C B ,是这个圆上的两动点，若BA CA ⊥，求BC 中点M 的轨迹方程为
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.（本小题满分10分）已知两点)4,(),1,2(m B A ,求
（1）直线AB 的斜率和直线AB 的方程；
（2）已知]332,32[+-∈m ，求直线AB 的倾斜角α的范围.
18.（本小题满分12分）已知两条直线04:1=+-by ax l 和0)1(:2=++-b y x a l ，求满足下列条件的b a ,的值
（1）21l l ⊥，且1l 过点)1,3(--；
（2）21∥l l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面
ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.
（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；
（2）求三棱锥P MAB -与四棱锥MAC P -的体积之比.
20.（本小题满分12分）（理科）已知圆0342:2
2
=+-++y x y x C （1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆C 外一点),(y x P 向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且PO PM =，
求PO 的最小值以及此时点P 的坐标.
21.（本小题满分12分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点 （1）求证：PB //平面EFG ；
（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为5
4
，若存在，求出DQ 的值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在
x 轴上且在直线l 的上方
（1）求圆C 的方程；
（2）设过点)1,1(P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于32，求直线1l 的方程；
（3）过点)0,1(M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
O
M
N
A B
荆州中学高二年级第一次质量检测数学卷（理科）
参考答案
一选择题
二、填空题
13.3:2 14.2 15.052=±-y x 16.0622
2
=--+y y x
三、解答题
17.解：（1）当2=m 时，直线AB 的斜率不存在，直线AB 的方程为2=x …………2分 当2≠m 时，直线AB 的斜率23-=m k AB ，直线AB 的方程为)2(2
3
1--=-x m y …5分 （2）当2=m 时，2
π
α=
………………………………6分
当2≠m 时，由[]
⇒+-∈332,32m ),3
3
[]3,(23+∞--∞∈-=
m k AB ]3
2,2()2,6[π
πππα ∈⇒…………9分
所以直线AB 的倾斜角α的范围是⎥⎦⎤
⎢⎣⎡32,6ππ……………………10分 18.解：（1）由题意知⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=++-=--2
2
0430)1(b a b a b a a ……………………6分
（2）由题意知⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=220)(4)1(b a b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧
==
2
32b a ……………………12分
19.解：（1）MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ⇒PD ⊥平面ABCD ⇒BC PD ⊥ 正方形ABCD 中，CD BC ⊥,又D CD PD = ,所以⊥BC 平面PDC 又G F ,分别是PB PC ,的中点AD BC
所以⊥GF 平面PDC ，而⊂GF 平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC ………6分 （2）设1=MA ，则2==CD PD
3
2
212213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=-AD S V ABM MAB P ………………8分
3
2
221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==--CD S V V MAP MAP C MAC P ………………11分
所以三棱锥P MAB -与四棱锥MAC P -的体积之比为1:1……………………12分 20.解：（1）若切线过原点，则设切线方程为kx y =，则
6221
22
±=⇒=++k k k
切线方程为x y )62(±=……………………2分 若切线不过原点，则设切线方程为0=++b y x ，则
122
21=⇒=++-b b
或3-=b
切线方程为01=++y x 或03=-+y x ……………………5分
综上知所求切线方程为x y )62(±=或01=++y x 或03=-+y x …………6分 （2）PO PM =03423422222=+-⇒+=+-++⇒
y x y x y x y x …………8分
510316
43min =+=
PO ，此时直线x y OP 2:-=…………10分 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-
=⇒⎩⎨⎧-==+-106
10320342y x x y y x ，所以)106,103(-P …………12分 21.解：（1）取AB 中点H ，连接HG EH ,,
H G F E ,,,分别是AB CD PD PA ,,,中点//EF ⇒AD ,//AD GH //EF ⇒GH ,,,,H G F E ⇒四点共面
又H E ,分别为AB PA ,的中点//EH ⇒PB ,而⊂EH 平面EFG 所以//PB 平面
EFG ………6分
(2）在线段AB 上取a DQ AQ =='
，则211121=⨯⨯=
∆AEF S ,2
121'a
a S S EFQ EFQ =⨯⨯==∆∆
由3
454231121315431312=⇒⨯⨯=+⋅⨯⇒⋅=⋅⇒=∆∆--a a a S HE S V V EFQ AEF EFQ A AEF Q 即存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54,此时3
4
=DQ ……………………12分
22.解：（1）设圆心)0,(a C )2
5
(->a ，则
025
104=⇒=+a a 或5-=a （舍）
所以圆4:2
2
=+y x C ………………………………3分 （2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为1)3(22
2
=-
若直线1l 斜率不存在，则直线1:1=x l ，圆心C 到直线1l 的距离为1…………4分
若直线1l 斜率存在，设直线)1(1:1-=-x k y l ，即01=-+-k y kx ，则
011
12
=⇒=+-k k k ，直线1:1=y l ……………………6分
综上直线1l 的方程为1=x 或1=y ………………………………7分 （3）当直线x AB ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠
当直线AB 斜率存在时设直线AB 方程为)1(-=x k y ，)0,(t N ，),(),,(2211y x B y x A
042)1()
1(4
222222=-+-+⇒⎩⎨
⎧-==+k x k x k x k y y x 1
4
,1222212221+-=+=+k k x x k k x x ……………………9分
若x 轴平分ANB ∠，则0)
1()1(022112211=--+--⇒=-+-⇒
-=t
x x k t x x k t x y t x y k k BN AN 4021
)
1(21)4(202))(1(222222121=⇒=+++-+-⇒=+++-⇒t t k t k k k t x x t x x ………11分
当点(4,0)N ，能使得ANM
BNM ∠=∠总成立. …………12分。