数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2

1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

{}n b 的通项公式。

③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n

三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5.

在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。

五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解

b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得

c 、)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=

+n a a a n n

n 求.n a 例7 设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n

a a ，设1log 2+=n a n

b ，

则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .

11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n ，12

log 12-=-n a n ， ∴1

21

2--=n n a

变式:

1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝3

2

，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－

求数列｛a n ｝的通项公式； 2、若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。 3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。 4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+⋅=

--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =

2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ． 六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算. 七、待定系数法：

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=

1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =

2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。

练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。 2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．