流体力学模型

姜锐模型
姜锐在他的博士论文中，根据他所改进的车辆跟驰模型(全速度差跟驰模型)，经过“连
续化”，建立了一种各向异性流体力学模型。他首先得到如下方程：
1
∆
,
其中，T 为弛豫时间， 为扰动向后传播△距离所需时间，经对式右端的 Taylor 展开， 忽略高阶项，就有
1
其中 ∆⁄ 为小扰动的传播速度。 姜锐据此模型给出了时停时走交通波的解，并分析了交通激波和稀疏波的结构。 张红军模型 2002 年，Zhang H M(张红军)从 Pipes 的车辆跟驰模型出发，建立了另一种各向异性流 体力学模型。Pipes 的模型方程为:
∆k
NN ∆x
∆N ∆x
即车辆聚集数为：
∆N ∆k∆x
因此
∆q∆t ∆k∆x
∆ ∆
∆ ∆
0
假设两站间的车流连续，且允许有限的增量为无穷小，则可取极限得： 0
如果在路段内有车辆的产生和离去，那么守恒方程将采用如下的一般的形式： ,
这里 , 是指车辆的产生（离去）率（单位时间、单位长度内车辆产生或离去数） 在实际中，当交通流受到干扰时，将会考虑车辆的产生和离去（例如，交叉口的进 出口）。 4. 交通波动理论
Δk 前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
基于上述定义，我们可得出： N ⁄∆t q =断面 1 的交通量 ∆N⁄∆t ∆q
N ⁄∆t q =断面 2 的交通量 ∆N ∆q ∙ ∆t
如果 x 足够短，使得该路段内的密度 k 保持一致，那么在 t 内断面 1 和 2 之间的
密度增量 k 可以表示如下：
假设车辆顺次通过断面 I 和 II 的时间间隔为 Δt，两断面的间距为 Δx。
Δx 内没有进出口；
Δt 是断面 1 和 2 开始计数所持续的时间 q,k
N 是在 Δt 时间内通过的车辆数 i；
Δx
q 是在 Δt 时间内通过的交通量；
1
2
设车流在断面 1 的流入量为 q，密度为 k。车流在断面 2 的流出量为(q+Δq)，密度为(k-Δk)。
，其中 c，n 为参数，视不同的交通情况来取值，n 称为交通状态指数 冯苏苇模型
1997 年，冯苏苇在考虑多车道交通问题时，在连续性方程中引进了源汇项，在运动方 程中引进了道路面积(或车道数)变化项，因而控制方程变为：
1 0
其中 为松弛系数， 为调节时间， 为平衡速度， 为等效音速，A 和
为
车道数和改变了的车道数。她用这组方程成功的解决了公交站停靠对交通的影响问题。
物理特性 连续体 离散元素
变量
动量 状态方程 连续性方程
运动方程
流体动力学系统 单向不可压缩流体
分子 质量 m 速度 v 压力 p
mv
0
∙
0
交通流系统 单车道不可压缩流体
车辆 密度 k 车速 u 流量 q
ku
∂u ∂ mv ∂t ∂x
0
du dt
k
du dk
∙
∂m ∂x
0
3. 车流连续性守恒方程的建立
在时间 t 内横穿 S 分界线的车辆数 N 为：
即
令
,
,则
11. 车流波动状态
当q q 、k k 时，产生一个消散 波，V 为正值，消散波在波动产生的那一点， 沿着与车流相同的方向，以相对路面为V 的 速度移动。
当q >q 、k >k 时，产生一个集结波， V 为正值，集结波在波动产生的那一点，沿 着与车流相同的方向，以相对路面为V 的速 度移动。
5. 集结波 车流波由低密度状态向高密度状态转变的界面移动，车流在交叉口遇红灯， 车流通过瓶颈路段、桥梁等都会产生集结波。 6. 疏散波 车流波由高密度状态向低密度状态转变的界面移动，交叉路口进口引道上红 灯期间的排队车辆绿灯时开始驶离，车流从瓶颈路段驶出等都会产生疏散波。 7. 车流的波动：车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆 车向车队后部传播的现象。 8. 波速：车流波动沿道路移动的速度。 9. 车队运行状态变化图
基于双时间尺度的各向异性模型
薛郁在他的博士学位论文中，通过考虑两种不同的延迟时间尺度，建立了另一种各向异
性的流体力学模型。他认为车流中存在两个特征时间，一是松弛时间 ，另一个是驾驶员反
应时间
，
,
对上式进行泰勒展开
移项整理得
,
该黏性项主要用于顺滑 Payne 模型所包含的不连续性。
Kerner-konhauser 模型 Kerner-konhauser 发现，如果将 Kuhne 模型的耗散项稍微改一下，就能再现交通流绝大
多数的特征。于是，他们将 Kuhne 模型修正为:
Kerner-konhauser 模型成功的解释了交通的“幽灵”式阻塞现象，即没有任何原因造成 的交通阻塞。
Kerner-konhauser 还发现逆堆集现象，在交通阻塞中出现局部的交通畅行。 吴正模型
我国学者吴正针对ห้องสมุดไป่ตู้国低速混合型交通提出了一维管流模型，引用了交通压力、交通指 数等新概念，并通过数值模拟分析了交通阻塞的形成和疏导过程，与实测定性相符。其控制 方程如下：
0
0 其中 A 为车道数， 为车流经过单位面积路面所受的阻力，p 为交通流压力，假设为
虚线代表车流密度变化的分界线，虚线 AB 是低密度状态向高密度状态转变的分界， 它体现的车流波为集结波；而虚线 AC 是高密度状态向低密度状态转变的分界，它体现的车 流波为疏散波。虚线的斜率就是波速。 10. 波速公式的推导
假设一分界线 S 将交通流分割为 A、B 两段。A 段 的车流速度为 ，密度为 ； B 段的车流速度为 ，密 度为 ；分界线 S 的移动速度为 ，如图所示。
1. 车流波动理论： 把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流波。当车流因道 路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的 传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤—消散过程。因此， 该理论又可称为车流波动理论。 2. 流体力学系统和交通流系统对比：
0 1
他认为车辆速度遵从运动方程，由周围的车流和内部惯性所决定，内部惯性来自对已知 的交通情况的反应，相应的引入了一个驰豫项。
右边第一项为期望项，v 为期望指数，反应驾驶员对前方交通状态改变的反应过程；第 二项是弛豫项，描述车流在 T 时间内向平衡速度的调整，T 称为弛豫时间。 Kuhne 模型
Kuhne 在动力学方程中引入了黏性项（耗散项）
当 < 、 > 时，产生一个集结波， 为负值，集结波在波动产生的那一点， 沿着与车流相反的方向，以相对路面为 的速度移动。
当 > 、 < 时，产生一个消 散波， 为负值，集结波在波动产生的 那一点，沿着与车流相反的方向，以相 对路面为 的速度移动。
当 = 、 > 时，产生一个集 结波， =0，集结波在波动产生的那一 点原地集结。
其中 、
分别是第 n 辆车的加速度和速度,
是驾驶员的反应时间，它是
车间距的函数。为了得到宏观的动力学方程，必须引进速度场
,:
, 和车间距函数 s , :
, 。而且假设这两个函
数是足够光滑的。这样，方程可以表示成场变量的形式：
,
,
,
展开，忽略高阶项，得到：
应用
, 可得
引入交通声速 0
就可得到交通流动力学方程
上图是有 8 车道路段过渡到 6 车道路段的半幅平面示意图。由图可以看出，在 3 车道和 4 车道路段，车流都是各行其道。而由 4 车道过渡到 3 车道的那段路内，车流出现了拥挤、 紊乱甚至堵塞。这是因为车流在即将进入瓶颈路段时会产生一个反向的波，类似声波遇到障 碍物时的反射，或者管道内的水流突然受阻时的后涌。这个波导致瓶颈路段之前的路段出现 车流紊乱现象。
12. 流体力学模型拓展
一阶模型： 速度梯度模型：Payne 模型、Kuhen 模型、K-K 模型、吴正模型、冯苏苇模型 密度梯度模型：姜锐-吴青松模型、张红军模型、基于双时间尺度的各向异性模型 LWR 模型
0
优点:简单明了,可采用流体力学和应用数学中的成熟工具进行分析 不足：假设了交通流处具有平均速度的均衡状态,不适用于描述本质上处于非平衡态的交通 现象. Payne 模型
车队运行状态变化图为在时间-空间坐标系下表示 的一队 n 辆车的运行状态变化图。图中每根曲线表示一 辆车运行的时间—空间轨迹，曲线间的水平距离表示车 头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚线分隔出 I、 II 和 III 三个时间—空间区域。在区域 I 内，车速最高 而密度最低。进入区域 II 后，车速明显降低而密度明 显升高。进入区域 III 后，速度有所回升而密度有所下 降