瞬时变化率—导数

瞬时变化率一导数
学习目标：
⑴理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
(3) 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处
的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想
一、复习引入
1、 什么叫做平均变化率；
2、 曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数 f(x)在区间［X A , X B ］上的平均 变化率
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?
二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(X !，f(x”)，Q(X 0，f(X o ))，则割线PQ 的斜率为k pQ
设 X i — X o = △ X ，贝y X i = △ X + X o ，
•( f (X o
：x) - f (X o )
…k pQ =
z
当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜 率，即当△ x
f (xj - f (X o )
X i 一 X o
无限趋近于0时，k PQ = f(Xo X)一f(Xo)无限趋近点Q处切线斜率。

△x
2、曲线上任一点(x o , f(x o ))切线斜率的求法:
k = f (x °
X )一 f(x °),当厶x
无限趋近于0时，k 值即为(X o , f(x o ))处切线的斜
X
率。

3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度
(3)瞬时速度：当无限趋近于 0时，Sto — ； _S(to)无限趋近于一个常数，这个常数
称为t=to 时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤：
1.
先求时间改变量 讥和位置改变量 As = s(t o •.讥)-s(t o )
A s
2. 再求平均速度V =—
i t
'■■■S 一
、
3. 后求瞬时速度：当-1无限趋近于o ， 无限趋近于常数 v 为瞬时速度
i t
(5)瞬时加速度：当t 无限趋近于o 时，也" FJ 无限趋近于一个常数，
这个
A t
常数称为t=t o 时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
三、数学应用 例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

1
变式：1.求 f (x)
2过点(1,1)的切线方程
x
2. 曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为 ____________
3.
已知曲线f(x)=^x 上的一点P(o,o)的切线斜率是否存在？
例2. 一直线运动的物
体，
从时间t 到时，物体的位移为S ,那么仝为( A.从时间t 到t ： L t 时，物体的平均速度；
E.在t 时刻时该物体的瞬时速度； C.当时间为 氏时物体的速度；
D.从时间t 到t
t 时物体的平均速度
*
一 1 2
(2)位移的平均变化率:
S (t o 迸)-S(t o )
△t
(4)速度的平均变化率:
V (t o • ：t) -V(t o )
例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s= gt2
(1)求t=t o s时的瞬时速度
⑵求t=3s时的瞬时速度
⑶求t=3s时的瞬时加速度
点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了•所以数学是用来解决其他一些
学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景+
导数与导函数的概念
学习目标：
1、 知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；
理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；
2、 过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义,
培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
3、 情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系， 体会数学的美。

的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 教学过程： 一、情境引入
在前面我们解决的问题：
2
1、 求函数f(x)二X 在点(2，4)处的切线斜率。

卫」(2
*x)-f(x)=4rx ，故斜率为4
x
x
、知识点讲解
△V i V
上述两个函数f(x)和V(t)中，当：xC t )无限趋近于0时，」(」)都无限趋
也t 也X
V _ v(t o
：t) —v(t o )
= 2t °
，故斜率为4
近于一个常数。

归纳：一般的, 定义在区间(a , b )上的函数f(x) , x°• (a, b),
于0时”f(X°x)一f(X°)无限趋近于一个固定的常数A，则称
X
处可导，并称A为f (x)在x=x。

处的导数，记作f'(x。

)或f'(x) 当厶x无限趋近f (x)在X = X。

|x =x。

，
上述两个问题中：(1) f '(2)二4，(2)V'(t o) = 2t o
三、几何意义：
我们上述过程可以看出
f (x)在x二冷处的导数就是 f (x)在X = X o处的切线斜
率。

四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
(1) f(X)= X2(2)f (x) = 2x -1， x = 2
(3) f(x) =3，x =2
例2、函数 f (x)满足，则当x无限趋近于0时,
(1) f(1 X)-
(2)
f(1)= 2x
f (1 2x) — f (1)
x
变式：设f(x)在x=x0处可
导,
(3)仏+必“-心0)无限趋近于i,则「ax
Z ---------------------------
(4)f(X° -4心x) - f (X0)无限趋近于i,则 f ・(x0)=
Z
(5)当厶x无限趋近于0, f(X°2：x) - f (X0 - 2 ：x)所对应的常数与f(x0)的
A x
关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若f(X)二(x -1)2，求f ' (2)和(f (2))
注意分析两者之间的区别。

例4:已知函数f(X)- X，求f (x)在X = 2处的切线。

导函数的概念涉及：f(x)的对于区间(a,b )上任意点处都可导，贝U f (x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为 f (x)的导函数，记作f ' ( x )
常见函数的导数
一、学习目标：
掌握初等函数的求导公式；
一、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的流程图。

(1)求函数的改变量：y = f (x ：x) - f (x) +
(2)求平均变化率岂」仪呵-心)
△x Z
二、新授
1、基本初等函数的求导公式:
⑴ (kx b) = k （k,b 为常数） ⑵ （C f-0 （C 为常数）
⑶ (x)二 1
⑷
2
(X ) = x
⑸ (x 3):
=3x 1 2
⑹
1 . 1
(―) x x
⑺ (77)F =^=
由⑶~⑹你能发现什么规律？
x
从上面这一组公式来看，我们只要掌握幕函数、指对数函数、正余弦函 数的求导就可以了。

例1、求下列函数导数。

n:
n
y = log 3 x (5) y=sin( +x) (6) y=sin
2
3
例2:已知点P 在函数y=cosx 上, （0< x < 2n ）,在P 处的切线斜率大于0, 求点P 的横坐标的取值范围。

1
例3.若直线y = -x • b 为函数y =丄图象的切线,求b 的值和切点坐标.
1 (12)(丨 n)x =
x
(11)
(13)
(s i r) x= c o s x
(14)
( c o S x — s i n x
(a x )=a x In
a ( , a0=
” 1
(log a X) log
x 1 ae = (a a 0,且 a 式 1) xlna (1)
y = x (2) y=4x (4) (7) y=cos(2 n — x)
(8) y= f (1)
x
变式1■求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点求导数得斜率
变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程
变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程
变式4:已知直线y =x -1,点P为y=x2上任意一点，求P在什么位置时到直线距离最短.
导数的几何意义
知识与技能目标：
(1)使学生掌握函数f(x)在X=X o处的导数f / x o的几何意义就是函数f(x)的图像在X=X o处的切线的斜率。

(数形结合)，即：
f/x o “m fx o：f(x o)二切线的斜率
⑵会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思
想方法。

(3)通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，
解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力
的目的。

（4）导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

培养学生学数学，用数学的意识。

（一）课题引入，类比探讨：
导数f/（Xo）的本质是函数f（X）在X 处的瞬时变化率，即：
.. f X。

- f（x。

）
f /
f X。

呷
结论：（形）厶x 、0，割线AB >切线AD，
则割线AB的斜率 > 切线AD的斜率。

（口述）
由数形结合，得f/x0]=1血0 ———=切线AD的斜率。

（板
书）
所以，函数f（X）在X二Xo处的导数f / Xo的几何意义就是函数f（X）的图像在
x =Xo处的切线AD的斜率。

（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。

使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解
“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。

）
（二）例题讲解，加强理解
例1 在函数h（t） = -4.9t2• 6.5t 10的图像上，用图形来体现导数
『（1） = -3.3，『（0.5） =1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。

例2 如图表示人体血管中的药物浓度c = f（t）（单位：mg/mL ）随时间t （单位：min ）变化的函数图像，根据图像，估计t =0.2, 0.4, 0.6, 0.8 （min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。

（精确到0.1）
（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”
以直代曲”的思想方法。

）
（五）抽象概括，归纳小结
（先由学生小结）
1.抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念:
f / X o是确定的数（静态），f / x是x的函数（动态）
由 f / x o Jim 。

0 x -f （x °）（特殊――一般）
必A x -------- f / x = lim f x ‘X 空（静态――动态）
A x
（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2 •归纳小结：
由学生进行开放式小结：
（1）函数f （x ）在X=X o 处的导数f / x o 的几何意义就是函数f （x ）的图像在
x =Xo 处的切线AD 的斜率。

（数形结合），即:
f / x o 二啊 f X o 「X -f （
X o ）二切线 AD 的斜率 （2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合” 、“以直代 曲”的思想方法。

（六）作业
1 .习题 P8o.A5,6;B1
2.（给好的学生）请给出求函数y 二f （x ）在x =x °处的切线方程的一个算法, 并小组自编四个求切线的题目
（探索：若把3 .“在点（X o , f （X o ））处”改为“过点（X o , f （X o ）） ”，算法有何 不同？并小组自编四个求切线的题目。

）
2、 直线运动的汽车速度 V 与时间t 的关系是V =t 2 -1，求t= t o 时的瞬时速度。

(3) 取极限，得导数y / = f (x)二lim y -
x -o
本节课我们将学习常见函数的导数。

首先我们来求下面几个函数的导数。

(1)、y=x (2)、y=x 2 (3)、y=x 3
问题： y=x_ , y=x ： , y=x^ 呢？
问题：从对上面几个幕函数求导，我们能发现有什么规律吗？ （3）导函数（简称“导数”）的概念
f X =X - f （X ） △x。