2、行列式的性质 (1)

分析：n=1成立，假设对于n－1阶成立。
a11
a12 L a1n
a11
a21 L an1
a21 a22 L a2n O M M an1 an2 L ann
按第1行展开
a12 a22 L an2 O M M a1n a2n L ann
按第1列展开
a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n
a11 a12
例：若 D = a21
a13 a23 = m ，求以下行列式的值： a33
a22
a31 a32
a11 a12 − 2a11 a13 a31 a32 − 2a31 a33
− a11 a11 + a13 2a12 − a31 a31 + a33 2a32 2a
D1 = a21 a22 − 2a21 a23 , D2 = − a21 a21 + a23 2a22
表示第s行乘k加到第i行
注：1.某一行（列）的k倍只能加到“另”一行（列） 上，不可加到本行（列）上。 2.要注意各个运算次序一般不能颠倒，在一次运算 完成后才可以进行第二次运算。
1 2 ×2
如：
3 4 1 2 ×2 3 4
×3
= ×5
10 14 8
= 10
=
1 2 5 8 ×3
16 26 = = −2 5 8
分析：1.互换相邻行 a11 a12 L a1n L L L L ai1 ai 2 L ain ai+1 1 ai +1 2 L ai+1 n L L L L an1 an 2 L ann 按第i行展开
行列式变号。
a11 L
第i行 第i+1行 ai 1
a12 L ai 2 L an 2
L L L L L
a11 L a12 L L L a1n L
a11 a12 L a1n L L L L
a11 a12 L a1n L L L L
bi1 + ci1 bi 2 + ci 2 L bin + cin = bi1 bi 2 L bin + ci1 ci 2 L cin L L L L L L L L L L L L an1 an2 L ann an1 an2 L ann an1 an2 L ann
a11
a12 L a1n L L L L L L asn ai n L ann
L L as1 as 2 ai 1 ai 2 L L an1 an 2
第i行 第i+1行
经过多少次互换相邻行？ 经过s－i次互换相邻行
D经过s－i次互换相邻行，得：
a11
a12 L a1n L L L L L L asn ai n L ann
3
1
−1 3 1 3
2 −4 −1 −3
2. D =
−5 1 1. D = 2 0 1 −5
P15 例3
2 1 3 −5
0 −5 1 1
1 1
−1 −3
−1 2 3 −4
法一：化三角
2 1 D= 3 0 1 −1 1 0 2 −5 3 −3 3 −5 1 =− 1 −1 2 −1 1 3 −5 1 3 −4 3 1 −5 −4 − 1 × (−3) ×1 × (−3) −3 2
a1n L ai n L ann
ai+1 1 ai +1 2 L ai+1 n L an1
按第i+1行展开
ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain
ai1 Ai′+11 + ai 2 Ai′+12 + L + ain Ai′+1n
Aik = (−1) M ik
Aik = − Ai′+1 k
例：对五阶行列式|aij|=m进行以下变换后，求其结果: 交换第一行与第五行，再转置，用2乘以所有元素，再用 －3乘以第二列加到第四列，最后用４除第二行各元素。
三、简单行列式的计算： 1.直接判断为零； 例：下列值一定为零的是（ B、D）
0 a12 a21 0 A. L L an1 an 2
L a1n L a2 n L L L 0
n
(i = s )
(i ≠ s )
D, ∑ 或：a1 j A1t + a2 j A2t + L + anj Ant = k =1 akj Akt= 0,
n
( j = t) ( j ≠ t)
性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用数 k乘此行列式。
a11 a12 L L kai1 kai 2 L L an1 an 2
§2 行列式的性质 一、转置行列式的概念 1.定义：将D的行列互换后所得到的行列式称为D的 转置行列式。记为 D′ 或DT.
a11
a12 L a1n
a11
a21 L an1
a21 a22 L a2n D= O M M an1 an2 L ann
如：D =
a12 a22 L an2 = D′ O M M a1n a2n L ann
× (− 2 )
2
0
1
−1
0
0
1
0
×1
−4 1 = 40 = 5 − 4 1 = −5 12 − 1 − 11 12 − 1
L L L L ai1 ai 2 L ain L L L L as1 as 2 L asn L L L L an1 an 2 L ann
小结：行列式的性质 （一）关于行列式等于零的性质： 1.两行（列） 元相同； 2.两行（列） 元对应成比例； 3.某行（列） 元全为零。 （二）行列式的运算性质： 1.转置值不变； 2.互换两行（列）变号； 3.某行（列）有公因子k，可把k提到行列式外面; 4.某行（列）元素为两项和，可裂项相加； 5.某行（列） 元素乘数k加到另一行（列），值不变。 （三）行列式的展开定理： 1.行列式可按任一行（列）展开。
′ ′ ′ a11 A11 + a12 A21 + L + a1n An1
A1k = (−1)
1+ k
M 1k
′1 = (−1) k +1 M k1 ′ Ak
n－1阶 ,互为转置 ,相等。
′ A1k = Ak1
性质2：互换两行（列），行列式变号。即： a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n L L L L L L L L as1 as 2 L asn 第i行 第i行 ai1 ai 2 L ain L L L L = D1 D= L L L L ai1 ai 2 L ain 第s行 第s行 a s1 a s 2 L a sn L L L L L L L L an1 an 2 L ann an1 an 2 L ann 表示交换D的第i行和第s行 则 D = − D1
思考：
a11 + b11
a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
= ?
a11
a12
a21 a22
+
b11
b12
b21 b22
பைடு நூலகம்
a11 + b11 a12 a11 a12 b11 a12 = + ? a21 a22 + b22 a21 a22 a21 b22
性质5：将行列式某一行（列）的所有元素乘以同一 数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，则行列 式的值不变。
L an1 an 2 L ann
D 按第s行展开： = as1 As1 + as2 As 2 + L + asn Asn
P25 例6
D1= ai1 As1 + ai 2 As 2 + L + ain Asn = 0
综合展开定理和补充定理，可得：
D, ai1 As1 + ai 2 As 2 + L + ain Asn= ∑ aik Ask = k =1 0,
L ai1 L
L ai 2 L
L L L
kai1 kai 2 L L
L L L L L ain ai1 ai 2 L ain L =kL L L L =0 L kain ai1 ai 2 L ain L L L L L L
性质4：若行列式的某一行（列）的元素都是两个数 之和，则此行列式可依该行（列）分拆成两个行列 式之和。
L a1n a11 a12 L L L L L kain = k ai1 ai 2 L L L L L ann an1 an 2
L L L L
a1n L ain L
L ann
注：行（列）的公因子可提出到行列式符号外。
ka11 ka12 a11 a12 思考： = ? ×k a a ka21 ka22 21 22 a11 a12 =k a21 a22
a11 L a12 L a1n L L L a11 L a12 L L L a1n L
ai1 ai 2 L ain L L L L as1 as 2 L asn × k L L L L an1 an 2 L ann
ai1 + kas1 ai 2 + kas 2 L ain + kasn = L L L L as1 L an1 as 2 L an 2 L L L asn L ann
n
∑ 或：a1 j A1t + a2 j A2t + L + anj Ant = k =1 akj Akt = 0
k =1 n
( j ≠ t)
a11
第 i行
a12 L a1n L L L ai 2 L ain L L L L L L
两行相同
L ai1
D1 = L
第 行
s ais1 asi 2 L ain 1 sn
1 3 2 4
= −2
1 2 3 4
= −2 ,则： ′ = D
a11
a12
a13 a23 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a21 a22 a31 a32
二、行列式的性质 性质1：行列式与它的转置行列式相等。
D = D′
注：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质，对 列也成立，反之亦然。
i+k
Ai′+1 k = (−1)i +1+k M i′+1 k
相同
2.互换任意两行（第i行与第s行）:
a11 L ai1 L as1 L
a12 L ai 2 L as 2 L
an1 an 2
D L L L L L L L
a1n L ain 把第s行逐 一与上一 L 行互换， asn 换到第i行 L ann
经过s－i－1次互换相邻行 D经过2s-2i－1次相邻行的互换，得到D1 奇数次 所以D=－D1 .
推论1：若行列式中有两行（列）元素相同，则该行 列式值为零。 补充定理: P21
行列式性质2 推论2：行列式的某一行元素与另一行 （列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
ai1 As1 + ai 2 As 2 + L + ain Asn= ∑ aik Ask = 0 (i ≠ s )
即：不可以把第i行乘一个数加到第s行，同时将原来 的第s 行乘一个数加到第i行。
思考：
a11
a12
L
a1n
a11
a12 L a1n
L L L L kai1 + as1 kai 2 + as 2 L kain + asn ? = L L L L as1 as 2 L asn L an1 L an 2 L L L ann
2
一般地：
ka11 L kai1 L
ka12 L kai 2 L
L ka1n a11 L L L L kain = k n ai1 L L L
a12 L ai 2 L
L L L L
a1n L ain L
kan1 kan 2 L kann
an1 an 2 L ann
推论2：若行列式有两行（列）元素对应成比例，则 此行列式值为零。
1 0 2 −1 1 0 2 −1 0 −5 −5 0 0 1 1 0 × (−1) × (−1) =− =5 0 1 5 1 0 1 5 1 0 1 − 11 − 1 0 1 − 11 − 1 1 0 =5 0 0 0 1 0 0 2 −1 1 0 4 1 = 40 0 2
法二：展开降阶
−5 −5 0 1 −5 3 −3 −5 −5 3 0 = 5 1 1 D= = 3 1 −1 2 5 1 −1 1 − 11 1 − 1 −5 1 3 −4 − 11 1 3 − 1 × (−1)
把第i+1行 逐一与下一 行互换，换 到第s行。
a11 L as1 L ai1 L
a12 L a1n L L L as 2 L asn 第i行 L L L ai 2 L ain 第s行 L L L
L L 第i行 as1 as 2 第i+1行 a ai 2 i1 L L an1 an 2
an1 an 2 L ann
a11 a21 B. L 0
a12 a22 L 0
L L L L
a1n a2 n L 0
an−11 an−1 2 L an−1 n
C. n阶行列式中零元素多于n个。
1 0 0 0 0 1
D.n阶行列式中有n2－n个以上零元素。 0 1 0 = 1
2.降阶法：按多零的行（列）展开 （也可以利用性质 把某一行元素尽可能多化为零）； 3.化为三角行列式。 例：计算以下行列式：