数值分析上机题课后作业全部东南大学

2015.1.9

1.Chapter 1

1.1题目

设S N =∑1

j 2−1

N j=2

，其精确值为

)1

1123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1

1

1311212

22-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1

21

1)1(111222-+

⋯⋯+--+-=

N N S N ，计算S N 的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？

1.2程序

1.3运行结果

1.4结果分析

按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。

可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。

2.Chapter 2

2.1题目

（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。

（2）给定方程03

)(3

=-=x x

x f ,易知其有三个根3,0,3321=

*=*-=*x x x

○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。

○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。

（3）通过本上机题，你明白了什么？

2.2程序

2.3运行结果

（1）寻找最大的δ值。

算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。

可见，在（−∞，−1）区间内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根−√3。

可见，在（−1，−δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3。

可见，在（−δ，δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根0。

可见，在（δ，1）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根−√3

可见，在（1，+∞）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3

3.Chapter 3

3.1题目

对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V，其中

31130

001000013359011000009311000000001079300009000305770500

0007473000000003041000

0005002720009000229R --⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪--- ⎪ ⎪=--- ⎪

-- ⎪ ⎪- ⎪

-- ⎪ ⎪--⎝⎭

()15,27,23,0,20,12,7,7,10T

T V =----

（1）编制解n 阶线性方程组Ax =b 的列主元高斯消去法的通用程序；

（2）用所编程序线性方程组RI =V ，并打印出解向量，保留5位有效数字； （3）本题编程之中，你提高了哪些编程能力？

3.2程序

3.3运行结果

可看出，算得的该线性方程组的解向量为：

[-0.28923 0.34544 -0.71281 -0.22061 -0.4304 0.15431 -0.057823 0.20105 0.29023] 4.Chapter 4

4.1题目

（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；

（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：

端点条件为y010

S(i+0.5)，i=0,1， (9)

4.2程序

4.3运行结果

5.Chapter 5

5.1题目

用Romberg求积法计算积分

∫

1

1+100x2

dx

1

−1的近似值，要求误差不超过0.5×10−7。

5.2程序

5.3运行结果

5.4结果分析

手动化简该定积分并最终求得的值为：0.294225534860747，误差限为：3.486×10−8，可见，程序完成了计算要求。

6.Chapter 6

6.1题目

常微分方程初值问题数值解

（1）编制RK4方法的通用程序；

（2）编制AB4方法的通用程序（由RK4提供初值）；

（3）编制AB4-AM4预测校正方法通用程序（由RK4提供初值）；

（4）编制带改进的AB4-AM4预测校正方法通用程序（由RK4提供初值）；

（5）对于初值问题

{y ′=−x 2y 2y (0)=3

取步长h=0.1，应用（1）-（4）中的四种方法进行计算，并将计算结果和精确解y (x )=3/(1+x 3)作比较；

（6）通过本上机题，你能得到哪些结论？

6.2程序

6.3运行结果（1）RK4法

6.4结果分析

从每一种方法的计算误差可以看出，精度由高到低依次是：RK4法、改进的AB4-AM4法、AB4-AM4法、AB4法。