捕食者-被捕食者模型稳定性分析

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稳定性模型--食饵捕食者模型

稳定性模型--食饵捕食者模型

Q3 x x2
x
相轨线退化为 P点 P~中心
c ? fm gm 设c ? pgm 令y ? y0 g ( y ) ? g m f (x) ? p? fm
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
Q1(x 1,y0),Q2(x 2,y0)
考察 x ? [x1, x2 ] f (x)g( y) ? pgm f (x) ? p g ( y) ? q ? g m
x(t) 20.0000 21.2406 22.5649 23.9763
… 9.6162 9.0173
… 18.4750 19.6136 20.8311
y(t) 4.0000 3.9651 3.9405 3.9269
… 16.7235 16.2064
… 4.0447 3.9968 3.9587
食饵-捕食者模型(Volterra)
y?(t) ? ?(d ? bx)y ? ?dy? bxy
(2)
a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解
用数学软件 MATLAB求微分方程数值解
t 0 0.1000 0.2000 0.3000 … 5.1000 5.2000 … 9.5000 9.6000 9.7000
( x ed ? bx )( y r e ? ay ) ? c
f (x) g( y)
f(x) fm
相轨线 f ( x ) g ( y ) ? c
在相平面上讨论相轨线的图形
O
x0
x
g(y)
f (0) ? f (? ) ? 0, f (x0) ? fm, x0 ? d / b gm
g(0) ? g(? ) ? 0, g( y0 ) ? gm, y0 ? r / a

稳定性模型--食饵捕食者模型PPT课件

稳定性模型--食饵捕食者模型PPT课件

y(t) (d bx)y dy bxy
(2)
a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解
3
用数学软件MATLAB求微分方程数值解
t
x(t)
y(t)
0
20.0000 4.0000
0.1000 21.2406 3.9651
0.2000 22.5649 3.9405
Q3 x x2 x
相轨线退化为P点 P~中心
设c pgm 令y y0 g( y) gm f (x) p fm
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)
考察x [x1, x2 ] f (x)g( y) pgm f (x) p g( y) q gm
x(t) (r ay)x y(t) (d bx) y
计算结果(数值,图形)
观察,猜测
x(t), y(t)是周期函数,相轨线(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为10.7 xmax 99.3, xmin 2.0, ymax 28.4, ymin 2.0 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值: x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
30 T3
P(d / b, r / a)
25
20 x 0
T2
15 y 0 x 0,y 0
10
P
x 0 x 0,y 0
• T54 y 0 P0
0
0
20 40 60 80
T1
100 120
120
x(t) 的“相位”领先
100

捕食者-被捕食者模型稳定性分析报告

捕食者-被捕食者模型稳定性分析报告

被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式:种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫等。

本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律,建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型,分析平衡点的稳定性,进行相轨线分析,并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中,存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。

下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型,首先根据该两种群的相互关系建立模型,解释参数的意义,然后进行稳定性分析,解释平衡点稳定的实际意义,对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,建立微分方程,并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察,猜测出它的解析解构造。

然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测。

三、模型假设1.假设捕食者(鲨鱼)离开食饵无法生存;2.假设大海中资源丰富,食饵独立生存时以指数规律增长;四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量;)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量;1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率;2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率;1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量;2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量;1σ——单位数量捕食者(相对于2N )提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍;2σ——单位数量食饵(相对于1N )提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍;d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

捕食者与被捕食者模型——logistic-volterra

捕食者与被捕食者模型——logistic-volterra

捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra模型摘要Logistic模型是最常用的模型之一,在其基础上又可以发展出许多其他数学模型,其重要性不言而喻,而Volterra模型则是经典的被捕食者与捕食者模型之一。

本文尝试结合两者,建立一个Logistic-Volterra模型,并做出数值解和分析。

关键词:Logistic模型 Volterra模型数值解一、问题的提出Volterra模型显示的被捕食者与捕食者系统存在着显著的周期振荡,而实际上,多数的捕食者与捕食者系统都是观察不到的。

尝试建立模型,描述这种现象。

二、符号说明r:被捕食者固有增长率d:捕食者固有死亡率a:捕食者掠取被捕食者的能力b:被捕食者供养捕食者的能力N1:被捕食者的最大环境容纳量N2:捕食者的最大环境容纳量三、模型假设1.在没有天敌的情况下,被捕食者数量增加的固有速度与被捕食者数量x和阻滞作用因子(1-x/N1)成正比,即dxdt =rx(1−xN1)2.在没有食物的情况下,捕食者数量减少的固有速度与捕食者数量y和阻滞作用因子(1+y/N2)成正比,即dydt =−dy(1+yN2)3.捕食者与被捕食者在同一环境下生存,它们的种群变化速度互相影响,影响因子应与它们相遇的频率成正比,即捕食导致被捕食者数量减少的速度为-axy,捕食导致捕食者数量增加的速度为bxy四、模型建立与求解1.Volterra模型的分析意大利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型:dxdt=rx−axydydt=−dy+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02,运用matlab的ode45功能函数,做出数值解,并绘图分析。

图1被捕食者与捕食者随时间变化图图2捕食者与被捕食者相图从图形可以看出,捕食者与被捕食者共同生存,数量随时间作周期变化。

2.建立Logistic-Volterra模型在Volterra模型中的物种自身增长率中,考虑自身阻滞作用,即加入Logistic项,得到以下模型:dx dt =rx(1−xN1)−axydy dt =−dy(1+yN2)+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25,运用matlab的ode45功能函数,做出数值解,并绘图分析。

捕食-食饵模型的稳定性和Hopf分支

捕食-食饵模型的稳定性和Hopf分支

中 图分 类 号 :O 7 .4 15 1
文 献 标 识 码 :A
文 章 编 号 :10 07 09— 4 9一(00 0 —06 0 2 1 ) 1 0 5— 5
On Ho fBi r a in a d S a i t fP e a o - r y M o e p f c to n t b l y o r d t rp e d l u i
( =([ a 一 r x) ) -(
y )= Y2 t ()= D 1 t y ()一r 2 t 。 2 ( ) Y
] ,
㈩ ,
式 ( ) 中 : ()表示 食饵 种群 密度 , 。 )和 Y ()分别 表示 幼年 和成年捕 食 者 的密 度 。 表示食 饵种 群 1 t Y( :t r
捕 食 一食饵 模 型 的稳 定 性 和 H p 分 支 of
马 战 平
( 大理学 院 数学与计算机学 院,云南 大理 6 10 ) 7 0 3

要 : 究 了具 有 B d i t — e n es 能反 应 函数 的 阶 段 结 构 捕 食 一食 饵 模 型 。 通 过 对 模 型 正 平 衡 点 处 特 研 edn o D A gl 功 gn i
的内禀增长率 , 表示食饵种群的种内作用系数 , r分别表示幼年和成年捕食者的死亡率 , >0表 a r和 2 D
示 捕食者 从幼 年 向成年 的转化 率 ,它与幼 年捕食 者 的密 度成 正 比 , 表 示成 年捕 食者 的妊 娠期 。该 模 型
假 设幼年 捕食 者不 以食饵 为食 物且没 有捕食 能力 。 在捕 食 一 饵模 型 中 ,捕食 者 的功能反 应 函数是 很有 生物 意义 的 ,它 深刻地 反 映了捕食 行为 的 内在 食 规 律 。B d ig n—D A gl 以后 称 为 B—D) 功能 反应 函数 与 比例 依 赖 功 能反 应 函数有 一 些 相 似 的 e dn t o e nei s(

微分方程在生态系统稳定性分析中的应用

微分方程在生态系统稳定性分析中的应用

微分方程在生态系统稳定性分析中的应用微分方程是数学中的一种重要工具,可以描述时间和空间上的变化规律。

在生态系统研究中,微分方程经常被用来描述物种数量或密度随时间的变化,从而帮助我们理解生态系统的稳定性。

本文将介绍微分方程在生态系统稳定性分析中的应用,并探讨其在生态学研究中的意义和挑战。

一、物种数量和密度的变化生态学研究中常常需要探究不同物种数量或密度随时间的变化情况。

为了描述这种变化,我们可以使用微分方程来建立数学模型。

假设我们研究一种食草动物的数量变化,以时间t为自变量,物种数量N为因变量。

根据实际情况和研究目的,我们可以选择适当的微分方程模型。

常见的模型包括logistic方程和Lotka-Volterra方程。

二、Logistic方程模型Logistic方程是描述生物种群增长的经典模型之一,被广泛应用于生态系统的稳定性分析中。

该模型假设物种增长速率与其种群数量成正比,并受到种群容量的限制。

Logistic方程可以用以下微分方程表示:dN/dt = rN(1 - N/K)其中,N是物种数量,t是时间,r是物种增长速率,K是种群容量。

这个方程表达了物种数量随时间变化的速率。

通过求解这个微分方程,我们可以得到物种数量随时间的变化规律。

当物种数量接近种群容量时,增长速率减小,直到最终趋于稳定。

这种模型能够帮助我们预测物种数量的长期趋势,并评估生态系统的稳定性。

三、Lotka-Volterra方程模型Lotka-Volterra方程是描述捕食者和被捕食者之间相互作用的经典模型,也常用于生态系统稳定性分析。

该模型假设捕食者和被捕食者的数量变化受到彼此之间的相互作用影响。

Lotka-Volterra方程可以用以下两个微分方程表示:dN/dt = rN - aNBdB/dt = baN - cB其中,N表示被捕食者数量,B表示捕食者数量,r表示被捕食者的自然增长率,a表示捕食者对被捕食者的捕食率,b表示捕食者通过捕食被捕食者而增长的速率,c表示捕食者的自然死亡率。

稳定性模型食饵捕食者模型课件

稳定性模型食饵捕食者模型课件

m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导,直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况, 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度,以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型,用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成, 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性,可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的,用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量,表示在理想 环境下,食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数,表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率,表示 在没有环境限制的情况下,食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率,表示单位时间内, 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ,可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察,对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整,以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性,调整食饵 和捕食者的死亡率,使模型更符 合实际情况。

稳定性模型食饵捕食者模型课堂PPT

稳定性模型食饵捕食者模型课堂PPT

Volterra模型 x(t) (r ay)x y(t) (d bx) y
改写
x (t) 1
r 1
x 1
1
1
x2 N2
加Logistic项
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x (t) 2
r 2
x 2
1
2
x1 N1
x2 N2
有稳定平衡点
计算结果(数值,图形)
观察,猜测
x(t), y(t)是周期函数,相轨线(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为10.7 xmax 99.3, xmin 2.0, ymax 28.4, ymin 2.0 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值: x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
(19)
结论:
若方程(17)的特征根不为零或实部不为零,
则点对于方程(6)的稳定性与对于近似方程(17)
的稳定性相同。对于方程(6)的稳定性也由准则
(12)、(13)决定。
18
表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性
1, 2
平衡点类型 稳定性
稳定结点
稳定
不稳定结点 不稳定
鞍点
不稳定
稳定退化结点 稳定
r 0
A P 0
d
q<0 P´ 不稳定
P点稳定性不能用近似线性方程分析 5
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
x(t) (r ay)x y(t) (d bx) y
消去dt
dx x(r ay) dy y(d bx)

几类捕食-食饵模型的稳定性与Hopf分支分析

几类捕食-食饵模型的稳定性与Hopf分支分析

摘 要在自然界中,很多现象都可以用数学模型来描述,如用于研究种群增长的Logistic模型、描述捕食者与被捕食者生长情形的捕食-食饵模型、研究传染病传播规律的SIR模型等。

同时这些数学模型还可以探讨物理、化学、生物等各学科中的各种系统并取得了广泛应用,其研究的内容和方法是多种多样的。

借助数学模型这一工具,我们能够有效地刻画和描述现实世界中很多事物的发展规律,进而对生产和实践进行理论的指导,其研究结果具有重要的理论和实际意义。

本论文研究了几类具有实际背景的捕食-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

首先考虑了一类具时滞的Holling III型的捕食-食饵模型,由特征根分析法来判别正平衡点的局部稳定性;借助Hopf分支定理、中心流形定理和规范型理论来判别Hopf 分支的性质;最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。

其次考察了一类带herd行为的捕食-食饵模型,通过选取适当的参数给出了正平衡点的稳定性;并分别以所选的参数和时滞作为分支参数,用Hopf分支定理,中心流形定理以及规范型理论来判别Hopf分支的性质;最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。

最后讨论了一类具有食饵捕获项的捕食-食饵模型,通过分析特征方程,分别得到了正平衡点的稳定性和分支周期解的存在性和稳定性;应用迭代技巧,得出了扩散模型的唯一正常数平衡态的全局渐近稳定性;最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。

关键词:捕食-食饵模型;Hopf分支;时滞;中心流形定理;规范型理论Stability and Hopf Bifurcation Analysis of SomePredator-Prey ModelsLi Sanyun (Mathematics)Directed by A.P. Zhi Hongyan and Li YanAbstractMany phenomena can be described by mathematical models in the natural sciences and social sciences, such as, the Logistic model for studying population growth, the predatory-prey model for describing the growth of predatory and prey fish, and the SIR model for studying the spread of infectious diseases. At the same time, these mathematical models can also study a variety of issues in physics, chemistry, biology and other disciplines, and the content and methods of their research are varied. By using the mathematical model of this tool, we can effectively describe the development of things in real life, and then can guide the practice of production through the research and application of mathematical models, the research results have important theoretical and practical significance. In this paper, we consider the stability and Hopf bifurcation of some reaction-diffusion predator-prey models.Firstly, a time-delay predator-prey model with Holling III is considered. By analyzing the corresponding characteristic equations, we judge the local stability of the positive equilibrium point. The properties of Hopf bifurcation are given by using Hopf bifurcation theorem, the center manifold theorem and normal form theory.Numerical simulations are carried out to illustrate our results.Next, we investigate a predator-prey model with herd behavior, the stability of the positive equilibrium point is given by choosing the appropriate parameters. The properties ofs and the delay as bifuacation parameter. Hopf bifurcation are obtained by choosingNumerical simulations are carried out to illustrate our results.Finally, we discuss a predator-prey model with prey harvesting. The stability of the positive constant and the existence, stability and bifurcation direction of the periodic solution are obtained respectively by analyzing the corresponding characteristic equations, the global asymptotical stability of positive constant equilibrium of the diffusive model is obtained byiterative technique. Numerical simulations are carried out to illustrate our results. Keywords: predator-prey model; Hopf bifurcation; delay; the center manifold theorem; normal form theory目 录第一章绪论 (1)1.1 课题研究背景和发展状况 (1)1.2 本文的主要工作 (4)第二章具时滞Holling III型的捕食-食饵模型的Hopf分支 (5)2.2 ODE的Hopf分支分析 (6)2.3 PDE的Hopf分支分析 (9)2.4 数值模拟 (12)第三章带Herd行为的捕食-食饵模型的动力学行为 (15)3.1 模型背景 (15)3.2 ODE的Hopf分支分析 (17)3.3 时滞微分方程的分析 (21)3.4 PDE的Hopf分支分析 (23)3.5 时滞PDE的Hopf分支分析 (26)3.6 数值模拟 (29)第四章具食饵捕获项的反应扩散捕食-食饵模型 (34)4.1 模型背景 (34)4.2 ODE的Hopf分支分析 (35)4.3 PDE的Hopf分支分析 (37)4.4 正平衡点的全局渐近稳定性 (42)第五章结论与展望 (48)5.1 主要结论 (48)5.2 展望 (48)参考文献 (49)攻读硕士学位期间取得的学术成果 (52)致谢 (53)iv中国石油大学(华东)硕士学位论文第一章 绪论1.1 课题研究背景和发展状况自然界中的捕食-食饵模型是一类特别重要的种群模型,也是生物数学研究的热门模型之一。

一类具有Holling Ⅴ型功能性反应捕食模型的定性分析

一类具有Holling Ⅴ型功能性反应捕食模型的定性分析

一类具有Holling Ⅴ型功能性反应捕食模型的定性分析一类具有Holling V型功能性反应捕食模型的定性分析摘要:本文基于Holling V型功能性反应捕食模型,对一类具有该模型的捕食系统进行了定性分析。

首先,通过对模型中各参数的解释和理解,明确了模型中各项参数的物理意义及其对捕食系统稳定性的影响。

其次,通过分析捕食者和被捕食者种群间的相互作用机制,揭示了不同参数取值对捕食系统稳定性的影响。

最后,通过数学推导和图示分析,验证了Holling V型功能性反应捕食模型的有效性,并讨论了模型的局限性和扩展性。

关键词:Holling V型功能性反应,捕食模型,物理意义,稳定性引言捕食和被捕食是生态系统中常见的生物相互作用。

研究捕食系统的动力学特性对于理解生态系统稳定性和物种多样性维持机制具有重要意义。

Holling在20世纪50年代提出了几种功能性反应捕食模型,其中以Holling V型功能性反应模型最为广泛应用。

本文将对一类具有Holling V型功能性反应捕食模型的定性分析进行研究,并探讨其在生态系统中的应用前景。

一、模型描述及参数解释Holling V型功能性反应捕食模型由两个基本方程组成,分别描述了捕食者(P)和被捕食者(V)的种群动态变化。

(1)被捕食者的种群动态被捕食者种群的动态由Logistic方程描述:dV/dt = rV(1 - V/K) - αVP其中,dV/dt表示被捕食者种群的增长速率;r表示被捕食者自身增长速率;K表示被捕食者的环境容量;α表示捕食者对被捕食者的捕食率;P表示捕食者种群。

(2)捕食者的种群动态捕食者种群的动态由Holling V型功能性反应描述:dP/dt = βαVP - μP其中,dP/dt表示捕食者种群的增长速率;β表示捕食者的出生率;μ表示捕食者的死亡率。

二、参数的物理意义及对系统稳定性的影响1. β:捕食者的出生率捕食者的出生率反映捕食者种群的增长能力。

一类捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析

一类捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析

则有 L> . 4 式及 文[ ] 0 由( ) 9 引理 2 5 3得 ..
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堕 ! ± 堕 竺 竺 二
’ h; uu
J“ “ n- d (一 ) x
(一‘d=・ u “ 0 z2x )
令 A= , 则 ( A)= 当 。 ∞时
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什么条件下 问题 的( ) 1 的正平衡点稳定.
由上 、 解 方 法 知 : 任 意 非 负 光 滑 的 初 始 函 数 下 对
。 。 2u 了 “ - e[一 _ =

a2 = 1

,z 一 _ 。 =



()i ,, X ,:1 2 问题 ( ) 1 存在 唯 一 非负 整体 解 ( u,
=, , 0 ∈ n}
衡点 , 则相应 于( ) 1 的常微 分方程组存在唯一稳定 的 极限环. 若正平衡点存在 唯一且局部 稳定 , 则该正 平
衡点全局 渐近稳 定. 意到 ( ) 注 1 的常微 分方程组形式 的解是反 应扩散 问题 ( ) 1 的特解. 因此 , 当常微 分方 程组 形式 的( ) 1 的正 平衡 点不稳定时 , 它仍 是反应扩 散问题 ( ) 1 的不稳 定平衡 点. 本文 的主要 问题 是 : 故
正平衡点 的局 部渐 近稳定 性 和全 局渐 近稳 定性 , 其
中 n是 R 中边界光滑 的有 界 区域 , 是 0 上的单 7 7 1 2 位外 法向量, =aa , X t , ( ,) d / u ( ,) X t 分别是食 饵 种群和捕食者种群 的密度 函数 , , I,, W都 是 a b cd h和 正常数. 由文 [ ,] , ( ) 在唯 一的不稳 定 的正 平 12 知 若 1 存

具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性

具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性

具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性摘要:捕食者—食饵模型是生态学中重要的研究对象之一,在不同环境条件下的稳定性对于理解生态系统中相互依存关系的演化具有重要意义。

本文以具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型为研究对象,通过系统动力学的分析方法探讨了模型中参数对系统稳定性的影响。

研究表明,庇护所的存在可以提高食饵种群的存活率,从而间接影响了捕食者种群的稳定性;而非线性收获效应则对模型中捕食者的生存能力产生直接影响,从而影响了系统的稳定性。

本研究为理解生态系统中复杂的相互作用关系提供了一定的理论支持。

关键词:捕食者—食饵模型;庇护所;非线性收获效应;稳定性1. 引言捕食者—食饵模型是生态学中常用的研究工具,通过描述捕食者和食饵之间的相互关系,可以帮助我们理解和预测生态系统的动态变化。

在现实生态系统中,捕食者和食饵之间的相互作用通常包含了多种因素,如庇护所的存在和非线性收获效应等。

这些因素的引入使得捕食者—食饵模型更加接近真实生态系统的情况,但也增加了模型的复杂性和稳定性分析的困难。

2. 模型描述与方程建立我们考虑一个具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型,其中捕食者和食饵之间的相互作用可以用以下方程描述:食饵的增长率方程:$$\frac{dR}{dt} = rR - aRP$$捕食者的增长率方程:$$\frac{dP}{dt} = -mP + \beta RP^2$$在上述模型中,R表示食饵的数量,P表示捕食者的数量。

r表示食饵的自然增长率,a表示捕食者对食饵的捕食效率,m 表示捕食者的死亡率,而β表示非线性收获效应的强度。

这个模型中的庇护所效应可以通过引入抑制项(aRP)来表示,该项表示由庇护所提供的保护使得食饵种群的消耗速率减慢。

3. 稳定性分析为了分析模型的稳定性,我们需要求解系统的平衡点以及线性稳定性。

模型中的平衡点满足以下条件:$$rR - aRP = 0$$$$-mP + \beta RP^2 = 0$$求解以上方程组得到的平衡点为:$$R^* = \frac{m}{\beta a}$$$$P^* = \frac{r}{a}$$平衡点的线性稳定性可通过计算雅可比矩阵的特征值来判断。

具有多时滞捕食-被捕食流行病模型的稳定性

具有多时滞捕食-被捕食流行病模型的稳定性

PY ( N
这 里 。 捕食 者幼年 到成 年 的成 熟 时期 , , 是 捕食 者种 群 的消化 时间 , 为环 境容纳 量 , 是 常数 a( > a 0 )为 内禀增 长率 ,N, 为 双线性 被捕食 者 的传染 率 , 为染病 者食 饵 的死 亡 率 , ( >0 o e cC )为捕 食者 l , 的死亡 率 , 、 P P。P ( 。>0, >0 P )是其对 于 易感者食 饵 、 染病 者食饵 的 捕食 系数. 健康 被捕食 者 到捕 从
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, 。

许 多例子 表 明 , 捕食者 更容 易捕 到染病 的食 饵 , 类食 饵 在 以后 的一段 时 间 里会 引起 捕 食 者致 病 , 这
即传染 病在 捕食 者被 捕食者 之 间流行 . 基于 以上 考虑 , 文 考 虑 两种 群 的传 染病 数学模 型 ( IS模 型 ) 本 SR
系统 () I
摘 要: 考虑传染 病对捕食 一被捕食者都具有致病 作用 的一类 时滞捕 食 一被捕食模 型 , 分析了系统 由稳定 变为不稳定 , 系统在 附近发 生 H p 分支 ; of 当时滞 r 。+
的非负不变性 、 边界平衡点 的性质和全局稳定性 , 明了当时滞 / 证 L=r +r 适 当小时 , 。 : 边界平衡点 是 局部渐近稳定 的 , 随着时滞的增 加 ,
其 中

捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra

捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra

捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra模型摘要Logistic模型是最常用的模型之一,在其基础上又可以发展出许多其他数学模型,其重要性不言而喻,而Volterra模型则是经典的被捕食者与捕食者模型之一。

本文尝试结合两者,建立一个Logistic-Volterra模型,并做出数值解和分析。

关键词:Logistic模型 Volterra模型数值解一、问题的提出Volterra模型显示的被捕食者与捕食者系统存在着显著的周期振荡,而实际上,多数的捕食者与捕食者系统都是观察不到的。

尝试建立模型,描述这种现象。

二、符号说明r:被捕食者固有增长率d:捕食者固有死亡率a:捕食者掠取被捕食者的能力b:被捕食者供养捕食者的能力N1:被捕食者的最大环境容纳量N2:捕食者的最大环境容纳量三、模型假设1.在没有天敌的情况下,被捕食者数量增加的固有速度与被捕食者数量x和阻滞作用因子(1-x/N1)成正比,即dxdt =rx(1−xN1)2.在没有食物的情况下,捕食者数量减少的固有速度与捕食者数量y和阻滞作用因子(1+y/N2)成正比,即dydt =−dy(1+yN2)3.捕食者与被捕食者在同一环境下生存,它们的种群变化速度互相影响,影响因子应与它们相遇的频率成正比,即捕食导致被捕食者数量减少的速度为-axy,捕食导致捕食者数量增加的速度为bxy四、模型建立与求解1.Volterra模型的分析意大利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型:dxdt=rx−axydydt=−dy+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02,运用matlab的ode45功能函数,做出数值解,并绘图分析。

图1被捕食者与捕食者随时间变化图图2捕食者与被捕食者相图从图形可以看出,捕食者与被捕食者共同生存,数量随时间作周期变化。

2.建立Logistic-Volterra模型在Volterra模型中的物种自身增长率中,考虑自身阻滞作用,即加入Logistic项,得到以下模型:dx dt =rx(1−xN1)−axydy=−dy(1+y2)+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25,运用matlab的ode45功能函数,做出数值解,并绘图分析。

捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题

捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题

捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题 章栋恩为了说明标题中出现的数学模型的重要性,我在这里首先引用MCM 评阅人的一段话。

2009 MCM Judges’ Commentary—Problem BBy Marie Vanisko, Carroll College, Helena, MontanaGeneral Remarks………..The Problem and Selected Modeling Approaches…………Interesting models were constructed for the transitional phase of the cell phone “takeover.” Some teams considered the spread of cell phones as the spread of a disease and used the Verhulst model for logistic growth , using the population of the United States as the carrying capacity and estimating the rate of growth of cell phones from published reports on the growth of cell phone use in the United States. Other teams generalized this to an SIR model or used the Lotka Volterra p redator‐prey model , with cell phones as the predators and landline phones as the prey. A few used the competing species model . The judges looked very favorably upon models for which sufficient rationale was given as to why that model might be appropriate in this circumstance. Interpretation of the parameters and solutions as they applied to the problem at hand was essential.因为捕食者—被捕食者、共生、竞争三种模型都属微分方程组建模问题,在美国微积分教科书和数学建模教材中都有研究。

自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析[1]

自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析[1]

具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型简单分析【摘要】种群之间的食饵—捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作用,种群自身也会阻滞自身的增长,从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。

对其进行平衡点的稳定性分析,验证在自然界中的两种种群构成食饵—捕食者系统的相互关系。

【关键字】食饵—捕食者自身阻滞作用平衡点稳定性一、问题重述对于V olterra模型,多数食饵—捕食者系统观察不到那种周期动荡,而是趋于某种平衡状态,即系统存在稳定的平衡点。

在V olterra模型中考虑自身阻滞作用的Logistic项建立具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型,并对模型的稳定性进行分析。

二、问题背景和分析自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式:种群甲靠丰富的自然资源生长,而种群已靠捕食种群甲为生,食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。

生态学称甲为食饵(Prey),种群已为捕食者(Predator),二者构成了食饵—捕食者系统。

然而在自然界中由于资源有限和其他作用,种群自身也会阻滞自身的增长,从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。

三、模型假设食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存,自身增长符合Logistic 增长,而捕食者在离开食饵没有其他的食饵,在有食饵的情况自身增长亦符合Logistic增长。

五、模型建立、求解与分析5.1模型建立当某个自然环境中只有一个种群生存时,可以同Logistic模型(阻滞增长)述这个种群的演变过程,即:.(1)xx rx N=-。

对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为:.11111()(1)x x f x r x N ==-, 在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食,故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减小,在此情况下食饵的增长为:.12111112()(1)x xx f x r x N N σ==--。

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被捕食者—捕食者模型稳定性分析
【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式:种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫等。

本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律,建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型,分析平衡点的稳定性,进行相轨线分析,并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性
一、问题重述
在自然界中,存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。

下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型,首先根据该两种群的相互关系建立模型,解释参数的意义,然后进行稳定性分析,解释平衡点稳定的实际意义,对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析
本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,建立微分方
程,并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察,猜测出它的解析解构造。

然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测。

三、模型假设
1.假设捕食者(鲨鱼)离开食饵无法生存;
2.假设大海中资源丰富,食饵独立生存时以指数规律增长;
四、符号说明
)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量;
)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量;
1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率;
2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率;
1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量;
2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量;
1σ——单位数量捕食者(相对于2N )提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍;
2σ——单位数量食饵(相对于1N )提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍;
d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

五、模型建立
食饵独立生存时以指数规律增长,且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ,即
rx x =',而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数量成正比,于是)(t x 满足方程
axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)
比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。

由于捕食者离开食饵无法生存,且它独立生存时死亡率为d ,即dy y -=',而食饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增长。

设这种作用与食饵数量成正比,于是)(t y 满足
bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)
比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。

方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系,这里没有考虑种群自身的阻滞作用,是Volterra 提出的最简单的模型。

下面,我们加入种群自身的阻滞作用,在上两式中加入Logistic 项,即建立以下数学模型:
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--='22111111)(1N x N
x x r t x σ (3) ⎪

⎭⎫ ⎝
⎛-+-='22112122)(2N x N x x r t x σ (4)
六、模型求解
在此,我们采用MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线图形。

设5.11=σ,42=σ,11=r ,4.02=r ,35001=N ,5002=N ,使用MATLAB 软件求解,程序代码如下: 1)建立M 文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';
2)在命令窗口输入如下命令:
[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35]) 得到数值解如下:
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')
图1.数值解)(1t x ,)(2t x 的图形
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
图2.相轨线图形
从数值解及)(1t x ,)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况,随着时间的推移,都趋于一个稳定的值,从数值解中可以近似的得到稳定值为:(1250,214)。

下面对其平衡点进行稳定性分析: 由微分方程(3)、(4)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎛=-+---2211212222111111),(),(2121N x N x x r N x N x x r x x f x x f σσ
得到如下平衡点:
)0,(11N P , )1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义,所以,对2P 而言要求2σ>0。

按照判断平衡点稳定性的方法计算:
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥

⎥⎥⎦
⎤-+--
--=⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤=)21()
21(2211221
2
222
1112
2
111121
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ
根据p 等于主对角线元素之和的相反数,而q 为其行列式的值,我们得到下表:
七、模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义:
1) 对)0,(11N P 而言,有p =)1(221--σr r ,q =)1(221--σr r ,故当2σ<1时,平衡点)0,(11N P 是稳定的。

意义:如果)0,(11N P 稳定,则种群乙灭绝,没有种群的共存。

2)对)1)1(,1)1((
212221112σσσσσσ+-++N N P 而言,有p =2
122111)1()1(σσσσ+-++r r ,
q =
2121211)1)(1(σσσσ+-+r r ,故当2σ>1时,平衡点)1)
1(,1)1((2
12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。

意义:如果)1)
1(,1)1((2
12221112σσσσσσ+-++N N P 稳定,则两物种恒稳发展,会互相依
存生长下去。

3)对)0,0(3P 而言,由于21r r p +-=,21r r q -= ,又有题知1r >0,2r >0,故q <0,即)0,(11N P 是不稳定的。

2.平衡点的检验:
对于平衡点)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P ,把前面给出的初始值带入,在这使
用MATLAB 软件进行简单的求解,在命令窗口输入如下代码: >> x(1)=(3500.*(1+1.5))./(1+1.5.*4); >> x(2)=(500.*(4-1))./(1+1.5.*4); >> [x(1);x(2)] ans =
1.0e+003 * 1.2500 0.2143
把此处求解出的解和前面得出的数值解进行比较可知,平衡点
)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。

八、模型的评价与推广
1.模型的评价
自然界中,任何物种即使是捕食者也有自身的阻滞作用,该模型从原始的没带自身阻滞作用模型中加入了阻滞项,使得此模型更接近于生态平衡系统。

从此模型中,我们知道两物种同时灭绝是不稳定的,也就是不太可能的,但两种群有一种灭绝一种生存是完全有可能的,两种群共存的可能也是可能的。

2.模型的推广
本文只考虑两物种模型,我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。

自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的,即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后,其内部制约作用会使系统自动回复原状,如恢复原有的周期和振幅,而Volterra模型描述的周期变化状态却不是结构稳定的。

要得到能反映周期变化的结构模型,要用到极限环的概念
参考文献
[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型,高等教育出版社.2003年
[2] 冯杰,黄力伟,王勤.《数学建模原理与案例》科学出版社,2007年1月。

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