捕食者-被捕食者模型稳定性分析
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被捕食者—捕食者模型稳定性分析
【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式:种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律,建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型,分析平衡点的稳定性,进行相轨线分析,并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。
【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性
一、问题重述
在自然界中,存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型,首先根据该两种群的相互关系建立模型,解释参数的意义,然后进行稳定性分析,解释平衡点稳定的实际意义,对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二、问题分析
本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,建立微分方
程,并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察,猜测出它的解析解构造。然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测。
三、模型假设
1.假设捕食者(鲨鱼)离开食饵无法生存;
2.假设大海中资源丰富,食饵独立生存时以指数规律增长;
四、符号说明
)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量;
)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量;
1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率;
2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率;
1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量;
2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量;
1σ——单位数量捕食者(相对于2N )提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍;
2σ——单位数量食饵(相对于1N )提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍;
d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
五、模型建立
食饵独立生存时以指数规律增长,且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ,即
rx x =',而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数量成正比,于是)(t x 满足方程
axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)
比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存,且它独立生存时死亡率为d ,即dy y -=',而食饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比,于是)(t y 满足
bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)
比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系,这里没有考虑种群自身的阻滞作用,是Volterra 提出的最简单的模型。
下面,我们加入种群自身的阻滞作用,在上两式中加入Logistic 项,即建立以下数学模型:
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--='22111111)(1N x N
x x r t x σ (3) ⎪
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-+-='22112122)(2N x N x x r t x σ (4)
六、模型求解
在此,我们采用MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线图形。
设5.11=σ,42=σ,11=r ,4.02=r ,35001=N ,5002=N ,使用MATLAB 软件求解,程序代码如下: 1)建立M 文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';
2)在命令窗口输入如下命令:
[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35]) 得到数值解如下:
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')
图1.数值解)(1t x ,)(2t x 的图形
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
图2.相轨线图形
从数值解及)(1t x ,)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况,随着时间的推移,都趋于一个稳定的值,从数值解中可以近似的得到稳定值为:(1250,214)。
下面对其平衡点进行稳定性分析: 由微分方程(3)、(4)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=-+---2211212222111111),(),(2121N x N x x r N x N x x r x x f x x f σσ
得到如下平衡点:
)0,(11N P , )1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义,所以,对2P 而言要求2σ>0。
按照判断平衡点稳定性的方法计算:
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤-+--
--=⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤=)21()
21(2211221
2
222
1112
2
111121
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ
根据p 等于主对角线元素之和的相反数,而q 为其行列式的值,我们得到下表:
七、模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义:
1) 对)0,(11N P 而言,有p =)1(221--σr r ,q =)1(221--σr r ,故当2σ<1时,平衡点)0,(11N P 是稳定的。
意义:如果)0,(11N P 稳定,则种群乙灭绝,没有种群的共存。 2)对)1)1(,1)1((
212221112σσσσσσ+-++N N P 而言,有p =2
122111)1()1(σσσσ+-++r r ,