复数乘除法公开课优秀教案

§３.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1。理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算； ２.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题;

【重点难点】

重点:复数代数形式的除法运算. 难点:对复数除法法则的运用。

【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到,在学习时注意将2

i 换成1-;除法是乘法的逆运算,所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得,但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数,先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】

1。复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21;

2。复数1z 与2z 的差的定义:()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；

３。复数的加法运算满足交换律：1221z z z z +=+;

4。复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++;

5。复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=。

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导１：乘法运算规则

设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行:

=⋅21z z

其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1,并且 把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

引导２:试验证复数乘法运算律

（1)1221z z z z ⋅=⋅

(２）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅

（3)()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅

点拨:两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商,记为:()()di c bi a +÷+或者

di c bi a ++()0≠+di c 。 引导２：除法运算规则：

利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di

c bi a ++的分母有理化得: 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc a

d i c di c di c di c d

++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d

++-+-==++++. ∴（a +ｂi )÷(c +d ｉ）=i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数di c +与复数di c -,相当于我们初中学习的

23+的对偶式23-,它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数。所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例1计算()()()i i i +-+-24321

引导：可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘。

点拨:在复数的乘法运算过程中注意将2

i 换成－1.

例２计算:(1）()()i i 4343-+ ； （２)()

21i +。

引导:按照复数乘法运算展开即可。

点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数,记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.

例3计算(12)(34i i +÷-

引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式,再将分母实数化,然后化简即可。

点拨:本题可将除法运算转化为乘法运算,但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式,再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结,寻求最佳方法.

例4i

43+ 引导：可先将分子化简,再按照除法运算方法计算,注意计算的准确性.

点拨：对于混合运算,注意运算顺序,计算准确。

【目标检测】

1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭

等于（ ） A ．4i

B.4i -

C.2i

D.2i - 2。设复数z 满足12i i z

+=,则z =（ ) A.2i -+ ﻩB.2i --ﻩ

C ．2i -

D ．2i +

3．复数3

2321⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+i 的值是( )

A.i - Ｂ。i C.1- D 。1

4。已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z 。 提示：复数z 为纯虚数,故可设()0z bi b =≠,再代入求解即可.

5*.（１)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值。

（２)由(1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来。 提示:通过计算,观察计算结果,发现规律．

【总结提升】

复数的乘法和除法运算是复数的基本运算,在学习时注意运算法则和方法,在乘法运算中注意把2

i 换成－１,在除法运算中注意方法的本质依据,计算时注意准确性。

【总结反思】

知识 。

重点 。

能力与思想方法 。

【自我评价】你完成本学案的情况为( ）

A.很好 B 。较好 C 。一般 D 。较差