2019 年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析

第二问，难点同样在于理解题目。甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pipi “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , 8q 表示 “甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，可以很明显发现，在试验过程中，不管 进行几轮试验，甲乙两药的总分之和永远是 8，而要想要得出“甲药比乙药更有效”这个结论当且仅 当“甲的得分比乙多 8 分”时成立，类似的，要想要得出“乙药比甲药更有效”这个结论当且仅当“乙 的得分比甲多 8 分”时成立；因此，甲得分为 0 时，乙得分必为 8，此时肯定能得出“甲药比乙药更有 效”（为了叙述方便，后面把“甲药比乙药更有效”简写为甲胜），即 p0 “ 0，同样地，p8 “ 1。为了减小 理解难度，题目中竟然把这两个结论当作条件白送给考生了；进一步地，当甲得分为 ipi “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q 分时，乙的得分为 p8 ´ iqpi “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q 分，而此时甲 ´ 乙的分差为 p2i ´ 8qpi “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q，分差不 是 8 或者 ´8，也就是说在甲得分为 ipi “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q 分时，根据题目设定，甲乙胜负未定，但是二者 最终肯定要决出胜负，必然也就相应地存在胜负的概率，这也就产生了第二问题目中一个关键的命 题“pipi “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , 8q 表示甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲胜的概率”，关键词在“最终”，也就是 让你根据甲目前的得分 i，“预判”其最终获胜的概率 pi。为了求解 pi，我们考虑这样的场景，在甲得 分为 i 时的下一轮试验中其得分 i 的变化情况，有 PpX “ 1q 的概率变为 i ` 1, 有 PpX “ 0q 的概率依旧 为 i, 有 PpX “ ´1q 的概率依变为 i ´ 1, 故 pi “ api´1 ` bpi ` cpi`1pi “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q，其中 a “ PpX “ ´1q， b “ PpX “ 0q，c “ PpX “ 1q，这一关键的递推关系同样白送了，再次减小了题目的难度。根据这一 递推关系，很容易求解 pi，并且求解这种递推公式也是高中很常见的模型，读者可以在我百度文库 的个人主页找到相关内容“高中求数列通项公式常用方法总结”。
易知 q0 “ 0，qa`b “ 1；
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当 n “ 1, ¨ ¨ ¨ , a ` b ´ 1 时
qn “ pqn`1 ` qqn´1, n “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , a ` b ´ 1
即 q
pqn`1 ´ qnq “ p pqn ´ qn´1q , n “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , a ` b ´ 1 当此随机运动为对称时，即 p “ q，则
“ pp8 ´ p7q ` pp7 ´ p6q ` ¨ ¨ ¨ ` pp1 ´ p0q
48 ´ 1 “ 3 p1
由于
p8
“
1，故
p1
“
3 ，所以 48 ´ 1
p4 “ pp4 ´ p3q ` pp3 ´ p2q ` pp2 ´ p1q ` pp1 ´ p0q
44 ´ 1 “ 3 p1
1 “
257
p4 表示最终认为甲药更有效的概率. 由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为
整体而言，本题非常注重理解能力，只有真正理解了题目，才能解答好本题。 【题目解答】
(1) X 的所有可能取值为 ´1，0，1. PpX “ ´1q “ p1 ´ αqβ ， PpX “ 0q “ αβ ` p1 ´ αqp1 ´ β q， PpX “ 1q “ αp1 ´ β q.
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所以 X 的分布列为
X ´1
0
1
P p1 ´ αqβ αβ ` p1 ´ αqp1 ´ β q αp1 ´ β q
(2) 由（1）得 a “ 0.4，b “ 0.5，c “ 0.1. 因此 pi “ 0.4pi´1 ` 0.5pi ` 0.1pi`1，故 0.1 ppi`1 ´ piq “ 0.4 ppi ´ pi´1q，即
（1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pipi “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , 8q 表示“甲药的累计得分为 i 时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 “ 0，p8 “ 1，pi “ api´1 ` bpi ` cpi`1pi “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q， 其中 a “ PpX “ ´1q，b “ PpX “ 0q，c “ PpX “ 1q. 假设 α “ 0.5，β “ 0.8. （i）证明：tpi`1 ´ piu pi “ 0, 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q 为等比数列； （ii）求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性.
q1 “
q 1´
p
q1
而 q0 “ 0, qa`b “ 1，因此
1 ´ pq{pqn qn “ 1 ´ pq{pqa`b
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【题目分析】 本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。命题人在命 题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上 的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带 一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随 机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。（2）在难度控制上，命题 人又通过各种手段极力控制其难度，把概率这一平常都是送分题的题目放到压轴题的位置上，对考 生的心理压力本身就提出了很大的挑战，为了兼顾大多数的考生，命题人实际已经对题目做出了很 大的简化。（3）在区分度的设计上，作为压轴题，必须具有一定的区分度，而在本题中，命题人更 多的把区分度放在对题目的理解这一环节上，在计算上并没有什么难度。换言之，谁能真正读懂题
pi`1 ´ pi “ 4 ppi ´ pi´1q
又因为 p1 ´ p0 “ p1 ‰ 0，所以 tpi`1 ´ piu pi “ 0, 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 7q 为公比为 4，首项为 p1 的等比数列.
由可得
p8 “ p8 ´ p7 ` p7 ´ p6 ` ¨ ¨ ¨ ` p1 ´ p0 ` p0
0.8
时，认为甲药更有效的概率为
p4
“
1 257
«
0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这
种试验方案合理.
【题目命题背景】
在 x 轴上有一质点，它只停留在在整数点上，初始时刻它位于点 x “ a，之后每经过一个单位时 间，它会受到外力的作用，分别以 p，q（其中 p，q 满足 p ` q “ 1 且 0 ă p, q ă 1）的概率为向右或者 向左方向移动一个单位。同时在 x “ 0 以及 x “ a ` b（a，b 均为正整数）处各有一个吸收壁，当质点 到达吸收壁时，质点被吸收，不再游动。以 qnpn “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , a ` bq 表示该质点在 x “ n 处被 x “ a ` b 处的吸收壁吸收的概率。求 qnpn “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , a ` bq。
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目，谁就能得到高分，这也非常符合大纲中“重理解减计算”的要求。 第一问，考察离散型随机变量的分布列。根据试验要求，在每轮试验，甲治愈而乙未治愈甲得
1 分，乙治愈而甲未治愈甲得 ´1 分，甲乙均治愈或者甲乙均未治愈甲得 0 分。可以很容易看出，一 轮试验中甲药的得分 X 的取值可能为 1，0，´1，根据甲乙两药治愈与否相互独立，可很容易计算 PpX q。相对较为容易。
2019 年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析
【题目叙述】
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药， 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一 种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约 定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 ´1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得 1 分，甲药得 ´1 分；若都治愈或 都未治愈则两种药均得 0 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β ，一轮试验中甲药的得分记 为 X.
qn`1 ´ qn “ qn ´ qn´1 “ ¨ ¨ ¨ “ q1 ´ q0 “ q1
即 qn “ nq1
同时 qa`b “ 1，则
n qn “ a ` b
当此随机运动为非对称时，即 p ‰ q 时
ˆ q ˙n
n´1
ÿ
n´1
ÿ
ˆ
q
˙k
1´ p
qn ´ q0 “ pqk`1 ´ qkq “
p
k“0
k“0