正交多项式 ppt课件

x

(x3, x2
(
x2

1 3
,
x2
1 3
)

1 3
)
(x2

1 3
)
x3
1 x3dx
1 1
Leabharlann Baidu

dx
1
1 x4dx
1
1 x2dx
x

1
1 1
x5

1 3
x 3dx
1 (x2
1

1 3
)2
dx
(x2

1 3
)2

x3

3 5
x
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
( x)dx


Ak
0,
j k.
则称多项式序列 { gn ( x)}0为在 [a, b]上带权 ( x)正交
称 gn ( x)为[a, b] 上带权 ( x)的 n次正交多项式.
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
22
第三章 函数逼近与计算
(x)

dk dxk
( x 1)n ( x 1)n

k i0

k i
(
x
1)ni ( x
1)n(ki )
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx


0, 2
2n
1
,
m n; m n.
证明 令 (x) (x2 1)n，则 (k) (1) 0 (k 0,1,, n 1).
1 1
x
dx
p2 ( x)

x2

( x2 ,1) 1 (1,1)
(x2, x) (x, x)
x
1
x2
1 x2dx
1 1

dx
1 x3dx
1
1 x2dx
x
x2 1 3
1
1
p3( x)

x3

( x3 ,1) (1,1)
1
(x3, x) (x, x)
g1( x)
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
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第三章 函数逼近与计算
例1 求区间[-1,1]上,权函数(x)=1的正交多项式.
解 按Schemite正交化过程有
1
p0(x)=1,
p1( x)

x

( x,1) (1,1)
1

x

xdx
b
(n( x), P( x)) a ( x)n( x)P( x)dx 0.
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
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第三章 函数逼近与计算
(4) 设 { gn ( x 正交多项式，对 n
)}00是成[a立, b关]上系带权

n

1)
x
n

an1 x n1

a0 ,
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)

n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
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第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质 dk 性质1 正交性 dxk
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n

( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
,
(n 0,1,2,).
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
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第三章 函数逼近与计算
3.4.2 勒让德多项式
表达式
[1, 1] ( x) 1 {1, x,, xn ,} 正交化
P0 ( x) 1,
Pn ( x)
1 2n n!
dn dx n
{( x 2
j(x gj(
)) x))
g
j
(x)
(n 1,2,).
g1( x)

x

( x, g0 ( x)) ( g0 ( x), g0 ( x))
g0 ( x)
g2( x)

x2

( x 2 , g0 ( x)) ( g0 ( x), g0 ( x))
g0( x)
( x2 , g1( x)) ( g1( x), g1( x))
这里
n

( gn ( x), ( gn1( x),
gn ( x)) gn1( x))
,
(n 1,2,).
( xgn ( x), gn ( x))
b a
xgn2
(
x)(
x)dx.
(5)
设 {n ( x)}0 是 [a, b]上带权 ( x)的正交多项式，
则 n ( x)(n 1)在区间 (a, b)内有 n 个不同的零点.
1)n }
(n 1,2,),
P1( x) x
P2 (
x)

1 2
(3x2
1)
P3 (
x)

1 2
(5x3

3x)
首项系数
(2n)! an 2n (n!)2 .
由于 (x2 1)n是 2n 次多项式，所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x)

1 2n n!
(2n)(
2n

1)(
第四节 正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
44
第三章 函数逼近与计算
按Schemite正交化方法构造正交多项式的性质
(1) 最高次项系数为1.
(2)
任何
P(
x)

H
均可表示为
n
g0
(
x),
g1
(
x),,
gn
(
x)
的线性组合. 即
n
P( x) c j g j ( x). j0
(3) n ( x) 与任一次数小于n的多项式 P( x) Hn1 正交. 即
设 Q(x)是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部
积分知
1
1
1 Pn ( x)Q( x)dx 2n n!
1 Q( x) (n) ( x)dx
在C[a,b]中构造正交多项式
给定区间 [a, b]及权函数 ( x)，可由一组线性无关的 幂函数 {1, x,, xn ,}, 利用Schemite正交化过程构造 出正交多项式序列 { gn ( x)}0 ：
g0( x) 1,
gn ( x)
xn

n1 j0
( (g
xn, g j ( x),