北航计算方法复习题

求函数f(x)的三次近似式p3(x)，满足： P3(x0)= f(x0) =y0, P’3(x0)= f’(x0) =y’0, P3(x1)= f(x1) =y1， P’3(x1)= f’(x1) =y’1
余项？？
第一章 插值方法
高次插值可能会产生龙格现象
分段插值
2.5 2
1.5 1
0.5 0
-0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
pn(k) (x0 )
y(k) 0
k 0,1, , n
y0(k) (k 0,1, , n) 为一组已给数据。
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。
第一章 插值方法
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的 n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。
注：L（ag1）ran若g不e多将项多式项式次数限制为 n ，L则a插gr值an多ge项基式函不数唯一。
Pn（(（x2)3））L误iang差0rla估i (nx计g)ey插i 值多项式结构对li称(x，) 形式jni简((x单xi .xxjj))
j0
r(x)
f n1( )
(n 1)!
n
(x xk )
(x xj ) (xi xj )
j0
例：已知单调连续函数 y f (x) 在如下采样点的函数值：
xi
1.0
1.4
1.8
2.0
yi=f(xi)
-2.0
-0.8
0.4
1.2
求 f (1 .5 ) 的值
反插值问题
求方程 f (x) 0 在[1，2]内根的近似值 x 。
第一章 插值方法
•Lagrange插值公式
求积系数全为正时，公式是稳定的
n
求积公式 In( f ) 具A有k f次(xkm)代数精 k0
第二章 数值度的积充要分条件是 f ( x为) 1 、 x、 x2、 x3Lxm
时求积公式精确成立，而 f ( x为) x时m 求1 积公式
机械求积 不能成为等式。
n
一般形式 I(f)In(f) Ai f(xi) i0
求积节点：xi(i=0，1，…，n)
求积系数：Ai(i=0，1，…，n)与f(x)无关；
第二章 数值积分
机械求积
n
一般形式 I(f)In(f) Ai f(xi) i0
一般性问题：
求积系数的特征: 求积公式的收敛性: 求积公式的稳定性:
n
Ak b a
k0
n
b
lni m k0Akf(xk) a f(x)dx
一般性问题：
求积公式的精度：
n
如果求积公式 In( f ) Ak f(xk) k0
对一切不高于m次的多项式都恒成立，而对于某个m+1次 多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。
第二章 数值积分
机械求积
n
一般形式 I(f)In(f) Ai f(xi) i0
Q1、节点已知，系数Ai如何选取 Q2、节点自由选取，怎么选
•Lagrange插值公式
Lagrange多项式
n
Pn(x) li (x)yi i0
Lagrange基函数
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
思考1：令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数多项式和零多项式
构成思的考集2合：，假设函数y=f(x)的已知值(xi，yi) (yi=f(xi)，i=0，1，…， n)，寻找一个多项式Pn(x) R[x]n+1，满足：
几何意义：
代数插值： g( x为) 多项式函数集
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
Hale Waihona Puke Baidu
y f (x)
y g(x)
第一章 插值方法
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的 n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。
利用两个k-1次插值fk-1(xk-1)， fk-1(xi)再做线性插值，结果得到k次插 值fk(xi)的结果
fk (xi )
x xi xk1 xi
f k1 (xk1 )
x xi
xk1 xk1
f k1 (xi )
ik
特点： • 高次插值过程归结为线性 插值的多次重复； • 数据的一致程度可判断插 值结果的精度。
第二章 数值积分
求积节点固定的情况
一般思想：取简单的、便于积分且又逼近于被积函数f(x)的函数φ(x)代替f(x)
来构造求积公式； 典型——插值多项式
n
pn(x) f(xk)lk(x)
k0
b f ( x)dx a
b
a Lpnn(x))ddxx
bn
a lk ( x) f ( xk )dx
•-L0.5-agrange插值公-0式.5-
-0.5-
Lagrange多项式
n
Pn(x) li (x)yi i0
Lagrange基函数
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
满足
与 节点 有关，而与 f 无关 1 i j
li ( x j ) ij 0 i j
第一章 插值方法
• n为偶数时， Newton—Cotes求积公式至少具有n+1次代数精度。 • n为奇数时，Newton—Cotes求积公式至少具有n次代数精度。
第二章 数值积分
求积节点固定的情况
阶数越高越好？
n
Ck
1
1
1
2
2
2
1
2
1
梯形公式
6
3
6
1
3
3
1
3
4
8 7
8 16
8 2
8 16
Simp7 son公式
第二章 数值积分
求积节点固定的情况
设[a，b]为有限区间，取h=(b-a)/n，等距节点 xi=a+i·h(i=0，1，…，n)。
记x=a+t·h(0≤t ≤n)，则：
l i( x ) j j n i 0 ( ( x x i x x j j ) ) j j n i 0 ( ( t i j j ) ) i ( ! ( n 1 ) n i ) i! t ( t 1 ) ( t 2 ) L ( t i 1 ) ( t i 1 ) L ( t n n )
90
45
15
45
90
19
25
25
25
25
19
5
288
96
144
144
96
288
精度？ 稳定性？
复化求积公式
Cotes公式
第二章 数值积分
求积节点可选择的情况
– 高斯求积公式——提高精度
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，求积公式的代数精度最高能达到多少？ ②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
– 共8题，共40分 – 五章的内容基本平均分配
大题——计算、证明等
– 5-6道题，共60分 – 五章的内容基本平均分配 – 其中有1-2道题为作业题或书上的例题（可能改数）
第一章 插值方法
拉格朗日插值（插值余项） 埃特金算法 牛顿插值 埃尔米特插值 分段插值 样条插值 曲线拟合的最小二乘法
第一章 插值方法
高次插值可能会产生龙格现象
分段插值 光滑性问题 样条插值
第二章 数值积分
机械求积 牛顿-柯特斯公式 龙贝格算法 高斯公式 数值微分
第二章 数值积分
为什么研究数值积分： (1) 有些函数的原函数不能用初等函数表现为有限的形式； (2) 原函数的形式复杂； (3) 原函数没有具体的表达式，只有离散点。
j0 jk
差商具有对称性
第一章 插值方法
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
pn(k) (x0 )
y(k) 0
k 0,1, , n
y(k) 0
(k
0,1,
, n)
为一组已给数据。
Taylor插值
Pn (x)
f (x0 )
f ' (x 0)(x x0 )
f
" (x0 2!
)
(
x
x0
k 0
（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，
n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。
第一章 插值方法 给定3个节点及节点上的函数值(xi，f(xi))(i=0，…，2)，按Aitken插值方法 构造插值函数，试在下图中画出任意给定x对应的f2(x2)
•Aitken插值公式
(效率，或临时增加一个节点)
第二章 数值积分
求积节点可选择的情况
– 高斯求积公式——提高精度
不失一般性，由代数精度构造插值型数值求积公式
k0
n
f (xk )
k 0
b
a lk ( x)dx
n
Ak f ( xk )
b
k0 插值型求积公式
Ak a lk(x)dx
第二章 数值积分
求积节点固定的情况 插值型求积公式余项：
Rn(f)ab(fnn 1(1))!i n0(xxi)dx
插值型求积公式的代数精度：
• 插值型求积公式至少具有n次代数精度 • 具有n次代数精度的求积公式必是插值型的
f (x0, x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f (x0 ) f (x1) x0 x1 x1 x0
f (x0 , x1, x2 )
f (x1, x2 ) f (x0 , x1) x2 x0
n
f (x0 , x1, , xn )
f (xk )
n
k0 (xk x j )
代数插值： g( x为) 多项式函数集
•Lagrange插值公式 •Aitken插值公式 •Newton插值公式
给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
y
A
y
B
第1- 一章 插值方1法-
0.5-
0.5-
y
C
1-
0.5-
0 1 2 3 4 56 x 0 1 2 3 4 56 x0 1 2 3 4 56 x
)2
f
n (x0 n!
)
(x
x0
)n
f (x) Pn (x)
f
n1 ( )
n 1!
(
x
x0
)n1
第一章 插值方法
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。 Hermite插值
基函数法
求函数f(x)的二次近似式P2(x)，满足： P2(x0)= f(x0) =y0, P’2(x0)= f’(x0) =y’0, P2(x1)= f(x1) =y1。
余项？
第一章 插值方法
f n ( )
f (x0 , x1, , xn ) n!
•Newton插值公式——具有承袭性的显示插值公式
pn (x) f (x0 ) f (x0, x1)(x x0 ) f (x0, x1, x2 )(x x0 )(x x1) f (x0, x1, , xn )(x x0 )(x x1) (x xn )
计算方法
复习课 2019-12-29
教学内容
引论 （但精度、误差等概念要贯穿于考题中） 第一章 插值方法 第二章 数值积分 第三章 常微分方程的差分方法 第四章 方程求根的迭代法 第五章 线性方程组的迭代法 第六章 线性方程组的直接法
考题形式
填空题——主要考察基本概念，对方法的理解
f(x)=xk(k=0,1P,n…(x,in)=)关f(x于i) 互(i=异0，节1点，x…i(i=，0,n1),…,n)的拉(*)格朗唯日一插性值？公式
第一章 插值方法
•Lagrange插值公式
Lagrange多项式
Lagrange基函数
n
Pn(x) li (x)yi i0
li(x)
n ji
第一章 插值方法
计算函数值 需要计算函数值，但函数关系复杂，没有解
析表达式。 常见的有：由观测数据计算未观测到的点的函
数值。
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的 代替要寻求的函数——插值法。
第一章 插值方法
几个典型问题：
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上 的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。
n
In(f) Aif(xi)
In(f)(ba) Ci f(xi)
i0
i0
Ai (i! (1 n) nii)h!0nt(t1)t(2)(ti1)t(i1)(tn)dt
牛顿-柯特斯公式
C i b A ia n ( i ! ( 1 n ) n ii) !0 n t( t 1 ) ( t 2 ) L ( t i 1 ) ( t i 1 ) L ( t n ) d t
——定积分的数值解法(效率+精度)。
第二章 数值积分
机械求积
一般形式
b
I(f)a f(x)dx
用被积函数f(x)的若干节点xi (a≤x0 < x1< …< xn≤b)处的函数 值f(xi)的线性组合
n
I(f)In(f) Ai f(xi) (数值积分公式，求积公式) i0
作为I(f)的近似值。