2012年四川省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

72

的系数是，计算出答案即可得出正确选项

的系数是=21

3．（5分）（2012•四川）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，

∴每个个体被抽到的概率为

=808

x

B

5．（5分）（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）

B

，CE=

，

CED=

，CE=

7．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充

B

且

⇔⇔与共线且同向⇔

和可能反向，

8．（5分）（2012•四川）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是

解：作出约束条件

9．（5分）（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M

B

=3

10．（5分）（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）

B

PE=

AE=

AP==

，

AOP=AOP=arccos，

11．（5分）（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互

方程变形得

，若表示抛物线，则

种，有种，所以表示抛物线的曲线共有，又因为当

所以重复的抛物线有﹣

12．（5分）（2012•四川）设函数f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，{a n}是公差不为0的等差数列，

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）13．（4分）（2012•四川）函数的定义域是（﹣∞，）．（用区间表示）

结合函数

的定义域为（﹣）

）

14．（4分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．

为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与

，=，•，所以⊥

15．（4分）（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m

与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．

==．

故答案：

16．（4分）（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：

①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；

②若，则a﹣b＜1；

③若，则|a﹣b|＜1；

④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．

其中的真命题有①④．（写出所有真命题的编号）

b=

三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．发生故障的概率为

．

18．（12分）（2012•四川）已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若，求sin2α的值．

化为cos

，由余弦函数的二倍角公式与诱导公

cos﹣

（）﹣

，

cos）

），

+2+

．

19．（12分）（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

OP=

与平面

OP=，

CD=2OC==

==

．

为原点，建立空间直角坐标系．则=），，

的一个法向量为，则由得出

，则，所以=（﹣

的一个法向量为=arccos

OP=，，所以，，

=，））为平面

==

arcsin

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，，，

的一个法向量为，则由得出

，

﹣，所以=（﹣

==

arccos．

20．（12分）（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

时，令，则，结合数列的单

，则=

=

时，

时，令

）可知