第10讲---速算24点

课题：巧算24

同学们可能都玩过“数学24”的游戏，它把枯燥的基本数字计算变得趣味盎然，能大大提高计算能力和速度，使得思维灵活敏捷，是一种寓教于乐的智力竞赛游戏。

游戏规则：给定四个自然数，通过+，-，×，÷四则运算，可以交换数的位置，可以随意地添括号，但规定每个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算的算式，使最后得数是24。

“数学24”游戏通常是用扑克牌进行的，此时，给定的四个自然数就被限定在1～13范围内了。“数学24”游戏可以1个人玩，也可以多个人玩，比如四个人玩，把扑克牌中的大、小王拿掉，剩下的52张牌洗好后，每人分13张，然后每人出一张牌，每张牌的点数代表一个自然数，其中J，Q，K分别代表11，12和13，四张牌表示四个自然数。谁最先按游戏规则算出24，就把这四张牌赢走。然后继续进行。最后谁的牌最多谁获胜。

要想算得又快又准，这就要靠平时的基本功了。最重要的有两条：一是熟悉加法口诀和乘法口诀，二是利用括号。括号既能改变运算顺序，也可以改变运算符号。

请用下面例题中给出的四个数，按规则算出24。（学生分小组进行讨论，看谁想得又快又准）

基础题型一：（找24的因数进行解题）

例1：3，3，5，6。

方法：3×（5+6-3）=24。 6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。

（6-3）×（3+5）=24。 3×5+3+6=24。 5×6-3-3=24。

例2：2，2，4，8。

方法：8×[（2+4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。 4×（2+8÷2）=24。

2×（2×8-4）=24 8+2×2×4=24或8+（2+2）×4=24。 2×4+2×8=24。

4+2×（2+8）=24。

基础题型二：（以乘法分配律进行解题）

具体玩法很多，在这里特别要注意的是：2×12，3×8，4×6是三个最基本的算式，在玩的过程中，你可以先固定某数为一个因数，看另三个数能否凑成相应的另一个因数。你也可以把每一个因数分别看成由两个数凑成。下面，我们借助“乘法分配律”来玩“数学24”游戏。

例3：1，4，4，5。解法：4×（1+5）=4×1+4×5=24。

例4： 6，8，8，9。 解法：8×（9-6）=8×9-8×6=24。

例5： 5，7，12，12。 解法：12×（7-5）=12×7-12×5=24。

在例3～例5中，我们利用了：a ×（b+c ）=a ×b+a ×c ，a ×（b-c ）=a ×b-a ×c 。 例6： 2，2，6，9。

分析：很明显，我们看到2×9+6=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个2没有用过。根据规则，必须把这个2也用进去，怎样把这个多余的2用到算式里面而又不影响得数呢？

解法：利用“乘法分配律”：24=2×9+6=2×9+6÷2×2=2×（9+6÷2）。

例7： 2，6，9，9。解法： 24=2×9+6=2×9+6÷9×9=9×（2+6÷9）

例8： 2，4，10，10。

解法： 24=2×10+4=2×10+4÷10×10=10×（2+4÷10）。

在例6～例8中，我们利用了：a ×b+c ＝a ×（b+c ÷a ），a ×b-c ＝a ×（b-c ÷a ）。 我们知道，符合“数学24”游戏规则的每个具体算式中，一定要出现四个数和三个运算符号。也就是说，一定要进行三次运算，出现三个运算结果。其中前两次结果是运算过程中的中间结果，第三次即最后一次的运算结果必须是24。

题型、方法延伸：（以分数的计算进行解题）

例9： 1，5，5，5。

分析：假设基本算式已经找到了5×？=24，？=245。用1，5，5三个数能凑出245吗？

解：245=5-15，于是得到5×（5-1×5）=24.

更大胆些，想想这样的三个数可以凑成245呢？其中的45，15，65分别可用810，210，1210替换。

在解题过程中，我们先想到基本算式5×245=24。固定一个因数是5，然后再去想另一个因数245，245恰好由另外三个自然数凑成。这是一条挺有效的思考办法。

24=2×12=3×8=4×6=5×245=6×4=7×247=8×3=9×83=10×125=11×2411=12×2=13×2413=...

由上面的算式可以看出，我们以前接触的仅仅是其中的2×12，3×8，4×6三个整数乘法基本算式。现在我们学了分数以后，乘法基本算式就增加了许多：

5×245，7×247，9×83，10×125，11×2411，13×2413...

在这些分数乘法基本算式中，固定的一个因数只能是5，7，9，10，11，13，另一个因数245，247，83，125，2411，2413恰好由三个数凑成。

至此，应用乘法玩“数学24”游戏的过程才是完整的。

下面，我们再来看看用分数除法来玩“数学24”游戏。

例10 3，3，8，8。

分析：我们有基本算式8÷13=24.被除数8已有，另三个数3，3，8能凑出13吗？

解：13=3-83，于是得到8÷（3-8÷3）=24。

更大胆些，想想这样的三个数可以凑成13呢？

13=1-23=2-53=3-83=4-113=43-1=73-2=103-3=133-4，其中23可以用46，

69，812代替，53可以用106代替，43可以用86，129代替。

例11 1，4，5，6。

解：根据4÷16=24得到4÷（1-5÷6）=24；根据6÷14=24，得到6÷（5÷4-1）=24

在解题过程中，我们先想到基本算式8÷13=24，6÷14=24，4÷16=24，3÷18=24。固定被

除数8，6，4或3，然后再去想除数13，14，16，18恰好由另三个自然数凑成。这是基本的思考办法。

一般地，应用分数除法玩“数学24”游戏的思考过程为：2÷112，3÷18，4÷16，5÷524，6÷14，7÷724，8÷13，9÷83，10÷512，11÷1124，12÷12，...

固定的一个自然数只能是被除数，除数恰好由另外三个自然数凑成。