数字信号处理 程佩青 课后习题答案 第六章习题与答案
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1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T
。
为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(02
2n s s A
s H b a s a s s H n
a a -=+++=
分析：
①冲激响应不变法满足
)
()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。这种变
换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式
1!][+=
n n S n t L ,
n a n t s a S S A
s H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=
⇔-=-，
可求出
)
()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，
又
dz z dX z
k kx )
()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)
22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤
+==+⎢⎥+++++-⎣⎦
[]
)( 2
1)()()(t u e e
t h t jb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：
[]()()()() ()2
a j
b nT
a j
b nT a T h n Th nT e
e u n -+--==
+ 110
11() () 211n aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞
------=⎡⎤
==
+⎢⎥--⎣⎦
∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z
e bT z e bT
z e T aT aT aT
(2) 先引用拉氏变换的结论[]
1
!
+=
n n s n t L
可得： n
a s s A
s H )()(0-=
)()!
1()(1
0t u n t Ae t h n t s a -=-则
)()!
1()()()(1
0k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-
dz
z dX z
k kx az
k u a Z
Z
k )()( , 11
)( 1
-−→←-−→
←-且按
)11
()()!1( )()!1( )()(111
1110
00--∞=---∞
=----=-==
∑∑z
e dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k k
T s n n k k
可得
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=-=-=•
••---,3,2)
1(1,1)(11
1
000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：
2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：
2
'
4142136.111
)(s
s s H a ++=
而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用
50
2⨯πs
来代替
4
24
'
108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
分析：
阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，
)
()()(nT g t g n g a nT t a ===,
由模拟系统函数)(s H a 变换成数字系统函数的关系式为：
}]])
([{[1)(1nT t a s s H L Z z z z H =--=
，
还要用到一些变换关系式。
解:
根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：
)
(1
)(s H s s G a a =
)108696044.928830.444(108696044.9424⨯++⨯=
s s s
22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1++++-
=
s s s
由于
[]
2
20
0)()()(sin Ω++Ω=
Ω-a s t u t e L at
[]
2
020)()()(cos Ω+++=Ω-a s a
s t u t e L at
[]s t u L 1)(=
故
[]
)()(1s G L t g a a -=
u(t) )]} 14415.222cos( ) 14415.222[sin(1{ 14415.222t t e t +-=-
则
)
()(nT g n g a =
u(n) )]}T 14415.222cos( )T 14415.222[sin(1{nT 14415.222n n e +-=-
利用以下z 变换关系：
[])()(z X n x Z =