古典概型与几何概型

法的总数为
C r1 n1
Cr2 n2
…… Crk nk
．
3.一些常用等式
选排列和组合式可推广到 r 是正整数而 n 是任意实数 x 的场合，即有
Axr xx 1x r 1,
Cxr
Axr r!
xx 1
x r 1
r!
n
此外由 11 n Cnr1r1nr 得 Cn0 Cn1 Cnn 2n . r0
概率论与数 理 统 计
§1.3古典概型与几何概型
主要内容
一、古典概型的概念及计算
二、古典概型的计算 三、几何概型
一、古典概型的概念
定义：一个随机试验如果有如下特征：
有限性 样本空间的元素（即基本事件）只有有限个，
, ,
1 , 2
n
等可能性 每个基本事件出现的可能性是相等的，即
P P P
2
n
则称此试验为古典型随机试验，简称为古典概型。
二、概率的古典定义
定义：设古典概型的所有基本事件为：为：
，事
件A含有其,中, 的,k个基本事件 ，则定义事件A的概率为
12
n
P(A)
k n
A包含的基本事件数 基本事件的总数
例：投骰子A=“出现1点”，B=“出现2点” , ,F
“出现6 点”
G=“出现奇数 点” ．
40
（4）设D=“3件全是正品”， 则P(D)C33 0.7864
C3
（5）设E=“3件中至少1件次品”，
40
则 P ( E ) 1 P E 1 P D 0 .2136
（2）分房问题
例1.3.5 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的 任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率：
例1.3.3 一套五册的选集，随机地放到书架上， 试求下列事件的概率： （1）第一卷出现在旁边 （2）第三卷恰好在中央 （3）各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序 （4）某三卷放在一起
解 （1）设A=“第一卷出现在旁边”则 ，P(A)
2A44 A55
2 5
（2）设B=“第三卷恰好在中央”，则P(B) A44 1
（4）恰有 k 个盒子中各有一球；
PG 3 1
62
例：掷两枚硬币，A=“两个都正面朝上”，B=“恰好一个正
面朝上” 。 正 正 , 正 反 , , 反 正 , , 反 反 , ,
P(A) 1 P(B) 21 P(至少一个正面)朝 3上
4
42
4
例．从0至9这10个数中有放回的任取两个数字，试求它们之 和等于5的概率．
全排列 Ann n!
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
取出 r 个排成一排, 不同的排法有
n r 种．
2.组合 (1)从 n 个不同的元素中取出 r 个(不
放 回地）组成一组， 不同的分法共有
Cnr
n! r!(n r)!
种．
(2)多组组合 把 n 个元素分成 k 个不同的组
（组编号），各组分别有 r1,r2,,rk 个元素，
r1r2 rkn, 不同的分法共有
CC C r1 r2
rk
n nr1
rk
r1!r2!n ! rk!种．
（3）若 n 个元素中有 n1 个带足标“1”， n2 个带足标“2”，……， nk
个带足标“k”，且 n1 n2 nk n ，从这 n 个元素中取出 r 个，使得带
足标“i”的元素有 ri 个（ ri ≤ ni ,1≤i≤k），而 r1 r2 rk r ，这时不同取
共有
m1m2 mn
种不同的方法．
乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情
共有
m1m2 mn
种不同的方法．
1.排列 从 n 个不同的元素中取出 r 个 (不放
回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有
A n r n n 1 n 2 n r 1 种．
A55 5
（3）设C=“各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序”，
则P(C)
2 A55
1 60
（4）设D=“某三卷放在一起”则 ，P(D) A33A33 3
A55 10
例1.3.4．设有40件产品，其中有3件次品，现 从中抽取3件，求下列的概率．
（1） 3件中恰有1件次品
（2） 3件中恰有2件次品
很明显这是一个古典概型问题，但如果读者不假思 索地把取出的两个数之和作为基本事件，从而样本空间
为 0 ,1 ,2 ,3 , ,1,1 7 ，8那就错了．
因为对于这19个结果来说，它们不是等可能的。 例如“和等于1”只有取到（0，1）与（1，0）这两种情形； “和等于4”却有取到（0，4），（1，3），（2，2）， （3，1），（4，0）五种情形。
A { 指定的n个房间各有一人住 } B { 恰好有n个房间，其中各有一人}
例1.3.5 (分房模型) 设有 k 个不同的球, 每个
球等可能地落入 N 个盒子中（ k）N, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有m个球；
（3）某指定的一个盒子没有球；(mk)
（3） 3件全是次品
（4） 3件全是正品
（5） 3件中至少1件次品
解 （1）设A=“3件中恰有1件次品”，则P(A)C31C327 0.2022
C3 40
（2）设B=“3件中恰有2件次品”，则P(B)C32C3170.0112 C3
40
（3）设C=“3件全是次品”， 则P(C)C33 0.0001
C3
Cn0Cnn C1nCnn1
CnnCn0 2n 由 Cnk
Cnk n
,上式即Βιβλιοθήκη Cn02Cn1
2
Cnn
2
C2nn
二、古典概率计算的一些例子
（1）、摸球问题
例1.3.1 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中 任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？
例1.3.2 在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2， 3，……，9，10，从中任摸一球，求此球的号码偶数的概率。
显然后者比前者发生的可能性大。
正确的解法为：n=10×10=100
取出的两数之和等于5由 （0，5），（1，4），（2，
3），（3，2），（4，1），（5，0）这6个基本事件组成，
k=6，则
PA 6 3
100 50
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情