初中代数中不等式与函数

同解原理是 f (x) ≥0
√f (x)>√g (x) g (x) ≥0 f (x)>g (x)
√f (x)>g (x)
√f (x)<g (x)
（2）图象法
f (x) ≥0
g (x) ≥0
或
f (x)>[g(x)]2
f (x) ≥0 g (x) ≥0
f (x)<[g (x)]2
f (x) ≥0 g (x) < 0
空集 空集 R
a<0
｛x︱x<b/a｝
ax<b
｛x︱x<b/a｝ R 空集 空集 ｛x︱x>b/a｝
一元二次不等式的解法
设一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根为x1 x2， （x1 < x2 ），判别 ＝b2－4ac，a>0时，一元二次不等式的解 集是：
类型
条件 解集
ax2+bx+c>0
代数不等式
(初等代数中不等式的框架）
1、不等式及其基本概念
定义 用不等号联结两个解析式所成的式子， 称为不等式。
（不等式理论是建立在实数集的顺序性上的，任意两个 实数a,b,那么a<b,a=b,a>b有且仅有一个成立。）
① 按不等号分类
② 按解析式分类
、
严不等式
代数不等式
、
非严不等式
超越不等式
初中数学中的不等式
万家练
世界上没有两片完全相同的树叶， 可见，不等是绝对的。
不等式是研究事物之间数量关系的 重要模型。
几乎每一个经典的初等不等式都体现 着数学的美妙，有着很广泛的应用。
课程标准（2011）对不等式的要求降 低了，但不等式仍然是初中数学重要的 内容。
初中数学中的不等式
❖ 代数不等式 ❖ 几何不等式
超越不等式
不等式代数不等式有理不等式分整式式不不等等式式
无理不等式
2.不等式的性质
❖ 性质1 ❖ 性质2 ❖ 推论 ❖ 性质3 ❖ 推论1 ❖ 推论2
a>b b<a a>b , b>c a>c a<b , b<c a<c a>b a+c>b+c a+b>c a>c-b a>b , c>d a+c>b+d
➢
一元二次不等式的解法
➢
简单的高次不等式的解法
➢
分式不等式的解法
➢
无理不等式的解法
➢
指数不等式、对数不等式的解法
➢
含绝对值的不等式的解法
一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b和ax<b(其中a、b都是已知数） 的解集是：
条件
解集 类型
ax>b
a>0
｛x︱x>b/a｝
a=0
b>0 b＝0 b<0
a4 a3b b4 ab3 a3 (a b) b3 (b a)
a3 (a b) b3 (a b) (a b)(a3 b3 )
(a b)(a b)(a2 ab b2 )
(a b)2 ((a b )2 3b2 )
2
4
Q a b 0(a b)2 0, (a b )2 3b2 0
(a>0)
ax2+bx+c<0
(a>0)
二次函数
y＝ax2+bx+c (a>0)的图象
>0
=0
<0
x︱x< x1 或x< x2 x︱x1 < x< x2
y
x︱x∈R且x ≠-b/2a
空集
y
R 空集
y
x1
x2
x
x1 ＝ x2 x
x
简单的高次不等式的解法
设一元高次不等式为f（x）>0 (或f（x）<0),如果f（x） 在实数范围内能分解成若干个一次因式或不可分的二次因式 的积的形式，则采用列表法或数轴表根法（也叫零点分区间 法）求解较简便。
证明不等式
主要技巧是化简与恒等变形 以及放缩
比如， 用分析法论证, "若A则B "此命题的模式为 : 欲证B的真,只需证命题B1的真,从而又L ,只需证命题A为 现在已知A真, 故B真.
证明的简要形式为:
B B1 B2 Bn A. 但注意分析法不是等价证明,不应写成 :
B B1 B2 L Bn A.
❖ 性质5 a>b>0
n a n b 0
(n∈N , n>1)
开方法则
3 不等式的基本问题
解不等式 证明不等式
不等式的解法
各种类型的不等式，解法各不相同，但代数解法 的思路基本相同。都是根据有关的定义、性质或定理， 把不等式同解变形为一元一次或一元二次不等式（组） 后再求解。
➢
一元一次不等式的解法
（4）若a，b，c∈ R＋， 则a3＋ b3＋ c3 ≥3abc，当且仅当a＝ b＝c时等号成立
2
4
即a4 b4 (a3b ab3 ) 0
a4 b4 a3b ab3
常用的重要不等式
（1）若a∈R，则a2≥0，当且仅当a=0时等号成立
（2）若a，b∈R，则a2 ＋ b2 ≥2ab，当且仅当a＝b等号成立
（3）若a，b ∈R＋，则（a＋b）/2≥√ab ，当且仅当a＝b时 等号成立
对称性 传递性
可加性 移项法则 加法法则（同向不等式
不能相减）
注意双向箭头与单向 箭头
性质4 (1) a>b , c>0 ac>bc (2) a>b , c<0 ac<bc
推论1 a>b>0 , c>d>0 ac>bd
推论2 a>b>0
an > bn (n∈N , n＞1)
可乘性
乘法法则 乘方法则
例子讲解
例1 求证： x2 +3>3x
例2 已知 a > b > 0,求证：a4 + b4 > a3b + ab3
1.证明:x2 3 3x (x 3)2 3 24
Q (x 3)2 0(x 3)2 3 0
2wk.baidu.com
24
x2 3 3x
2.证明：a4 b4 (a3b ab3 )
同解原理是： [f（x）/g(x)]>0（或<0）f(x) ﹡g(x)>0（或<0)
g(x) ≠0 [f（x）/g(x)] ≥0(或≤0)
f(x) ﹡g(x) ≥ 0 (或≤0) （3）解整式不等式（组）
无理不等式的解法
解无理不等式常用两种方法： （1）把无理不等式转化为与它同解的有理不等式组求解。
用数轴表根法解高次不等式时，应注意以下几点： （1）必须将f（x）的最高次项的系数化为正数。 （2） 出现重根时，偶次重根切不可标在数轴上，但要 检验是否为不等 式的解，奇次重根作单根处理。 （3） 在解含“≤”或“≥”号的不等式时，要注意使等 号成立的条件。
分式不等式的解法
解分式不等式一般步骤是： （1）将分式不等式转化为[f（x）/g(x)]>0或[f（x）/g(x)]<0 的标准形式。 （2）把标准形式转化为与它同解的整式不等式（组）。