热力学统计物理第八章玻色统计和费米统计备课讲稿
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§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al
e l
l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l0
el
l
l0
al ea
e N Z1
Z1 V(2h2m )3/2
eV N(2m h2 k)3T /2 1 eV N(2h m 2kT)3/2n31
热统
1
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
el 1
U lal
g 2 h V 3( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2m h 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
热统
13
内能
U D()a()d 0
2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
由开系的热力学公式 dU Yd ydN TdS
( d U Y d y d N ) d ( l n ) l n d y d ( l n )
y
*
*
*
d ( l n ) l n d l n d d y ( l n ) l n d
y
d( ln )d( ln )d(*l n )
d(l n ln ln )
TdS
热统
6
(dUYdydN)
d(l n ln ln ) TdS
1 kT
kT
熵 dSkd(ln ln ln )
Sk(l n ln ln )
Sk(lnUN)
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 Skln
热统
7
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
l
l
l
Sk (l n U N )
？ k l n F . D k ( ll n l a ll n a l (l a l ) l n (l a l ) )
l
l
l
热统
10
al
l
e l
1
el l al
al
l
lnl al
al
1el l l al
ln l
lln(1el)
l
ln
l
Байду номын сангаас
l
e l 1
N
对比玻耳兹曼分布
N ln
NZ1e
热统
3
2 内能
U lal
l
l
ll
el1
ln lln 1 (el)
l
ln l
lln 1 (e l)
l
el( l) l 1e l
l
ll
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
4
3 广义力
Y
又
N g(2m h 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
两式相除得到
U3NkT(1 1 e)
l
l
l
热统
8
al
l
e l
1
el l al
al
l lnlal al
1e l l l al
ln l
lln(1el)
l
ln l l al
U lal
N al
U N la la a la l( a l) a ll n (la la l)
kln S k ( l n U N ) k ( ll nl la la ll n (la la l) )
1exe2x
热统
12
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数 D ()dg2h V 3 (2m )3/21/2d 6.2.17式
总粒子数
N
0
D()a()d
g2h V 3 (2m )3/2
0
1/2d
el1
g 2 h 3 V (2 m )3 /20 1 /2 e l(1 m e l)d
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
e
l
l
1
一、 弱简并气体
e 1
al
e l
l
e 虽小但不可忽略
1
1
el1el(1el)
1 1el
1mel
al
l
e l
1
1
le l(1m e l)1ex
l l
al
U lal N al
U N la la a la l( a l) a ll n (la la l) S k ( l n U N ) k ( ll nl la la ll n (la la l) )klnF.D
热统
11
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
B.E
热统
9
对于费米分布
F.D
l
l ! al!(l al)!
l n F .D ll n la ll n a l (l a l) l n (l a l)
l
l
l
S k l n F . D k (ll n l a ll n a l ( l a l ) l n ( l a l ) )
l
l
ll
el1
l (1e l) l ln lln 1 (el)
l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
Z1
e l l
l0
2
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
el 1
ln lln 1 (el)
l
ln l lln 1 (e l)
l
l
e l(1) 1e l
l n B .E (l a l) l( n l a l) lln la lla l n
l
l
l
S k l n B . E k ((l a l ) l n (l a l ) ll n l a ll n a l )
l
l
l
Sk (l n U N )
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yl
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l
l 1e e l(l1)yl
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Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 lnZ1
y
压强
p 1 ln
V
p N lnZ1
V
热统
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4 其它热力学函数
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al
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l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l0
el
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Z1 V(2h2m )3/2
eV N(2m h2 k)3T /2 1 eV N(2h m 2kT)3/2n31
热统
1
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
el 1
U lal
g 2 h V 3( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2m h 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
热统
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内能
U D()a()d 0
2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
由开系的热力学公式 dU Yd ydN TdS
( d U Y d y d N ) d ( l n ) l n d y d ( l n )
y
*
*
*
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y
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d(l n ln ln )
TdS
热统
6
(dUYdydN)
d(l n ln ln ) TdS
1 kT
kT
熵 dSkd(ln ln ln )
Sk(l n ln ln )
Sk(lnUN)
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 Skln
热统
7
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
l
l
l
Sk (l n U N )
？ k l n F . D k ( ll n l a ll n a l (l a l ) l n (l a l ) )
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3
2 内能
U lal
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ln lln 1 (el)
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lln 1 (e l)
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对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
4
3 广义力
Y
又
N g(2m h 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
两式相除得到
U3NkT(1 1 e)
l
l
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热统
8
al
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1
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U lal
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U N la la a la l( a l) a ll n (la la l)
kln S k ( l n U N ) k ( ll nl la la ll n (la la l) )
1exe2x
热统
12
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数 D ()dg2h V 3 (2m )3/21/2d 6.2.17式
总粒子数
N
0
D()a()d
g2h V 3 (2m )3/2
0
1/2d
el1
g 2 h 3 V (2 m )3 /20 1 /2 e l(1 m e l)d
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
e
l
l
1
一、 弱简并气体
e 1
al
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l
e 虽小但不可忽略
1
1
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1 1el
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al
l
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1
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U N la la a la l( a l) a ll n (la la l) S k ( l n U N ) k ( ll nl la la ll n (la la l) )klnF.D
热统
11
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
B.E
热统
9
对于费米分布
F.D
l
l ! al!(l al)!
l n F .D ll n la ll n a l (l a l) l n (l a l)
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S k l n F . D k (ll n l a ll n a l ( l a l ) l n ( l a l ) )
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l (1e l) l ln lln 1 (el)
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对比玻耳兹曼分布
热统
Z1
e l l
l0
2
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
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对比玻耳兹曼分布 Y N 1 lnZ1
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V
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V
热统
5
4 其它热力学函数