GPS高程拟合方法的比较分析

GPS 高程拟合法的比较分析

(机械工业勘察设计研究院测量公司)

摘要：工程中需要把GPS 高程测量的大地高转换为正常高。通常的做法是采用拟合法建立研究区域的似大地水准面。本文介绍了两种不同的拟合方法：二次曲面拟合法、多面函数拟合法。并结合某区域一定数量已知GPS 高程异常点来内插和外推研究区域内的任一点的高程异常。通过比较发现多面函数拟合法拟合的精度要比二次曲面拟合的精度高。 关键词：高程转换；二次曲面拟合法；多面函数拟合法

The elevation of GPS fitting to the comparison and analysis

（Machinery industry survey and design institute of measuring company ）

Abstract: GPS height measurement of the earth should be converted to normal high in engineering. It is usually to establish the quasi-geoid of the research area by the fitting method. This article introduces two different fitting methods: quadratic surface fitting and multiple-surface function fitting. Combined with a certain number of a region known GPS elevation anomaly points to the interpolation and extrapolation of the height anomaly at any point within the study area. By comparison, the multiple-surface function fitting to the precision is higher than the quadratic surface fitting.

Key words ：Elevation conversion; Quadratic surface fitting; Multiple-surface function fitting

1.引言

传统的几何水准测量虽然精度高，但耗时长、耗费多、工作效率低。GPS 由于自身测量精度高、速度快、工作效率高等优点被广泛应用于高程测量。GPS 测量的高程坐标是在WGS-84坐标系下的大地高[1]，大地高是地面一点沿参考椭球面的法线到参考椭球面的距离，用符号H 表示。实际应用中需要把GPS 测得的大地高转换为正常高，正常高是地面点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点的距离，用符号r H 表示。似大地水准面到参考椭球面之间的距离称为高程异常，用符号ζ表示。因此大地高与正常高之间的关系为：

r H H ζ=- （1）

由于我国采用的高程系统是相对于似大地水准面的正常高，因此如何进行GPS 高程转换成为当前研究的热点问题。拟合法是GPS 高程转换中比较常用的方法，主要的拟合模型

有二次曲面法、多面函数拟合法。

2.二次曲面拟合法

假设测量区域内任一点的坐标为(,)P x y ，其高程异常为(,)x y ζ。则二次曲面的拟合法的数学模型可以表示为[2]：

22012345(,)x y a a x a y a x a y a xy ζ=+++++ （2）

上式中有六个未知的拟合系数012345,,,,,a a a a a a ，若已知测区内高程异常点的个数大于6个，则可根据最小二乘原理min T

V PV =求出以上未知数[3]，由此测区内任一未知点

(,)Q x y 的高程异常带入（2）式便可求得。再根据（1）式便可求得任意点的正常高。

3.多面函数拟合法

美国Hardy 教授于1977年提出了多面函数拟合的方法[4]，多面函数拟合法的理论基础是，任何一个圆滑的数学表面总可以用一系列有规则的数学表面的总和以任意精度逼近。根据这一思想，假设测量区域内任一点的坐标为(,)P x y ，其高程异常为(,)x y ζ。则多面函数拟合法的数学模型可以表示为：

1

(,)(,,,)u

j j j j x y a Q x y x y ζ==∑ （4）

上式中，j a 为待定系数，(,,,)j j Q x y x y 为核函数，(,)x y 为高程异常未知的点的坐标，

(,)j j x y 为高程异常已知的点的坐标。核函数一般可取[5-8]：

22

(,,,)()()k

j j j j Q x y x y x x y y δ⎡⎤=-+-+⎣⎦

（5）

其中δ称为光滑因子。通常k 取值为1/2，-1/2，3/2。分别对应于以下三种类型： 正双曲面型

1/2

22(,,,)()()j j j j Q x y x y x x y y δ⎡⎤=-+-+⎣⎦

（6）倒双

曲面型

1/2

22(,,,)()()j j j j Q x y x y x x y y δ-⎡⎤⎣⎦

=-+-+ （7） 三次曲面型

3/2

22

(,,,)()()j j j j Q x y x y x x y y δ⎡⎤=+-+-⎣⎦

（8）

式（4）可表示为：

Qa ζ= （9）

待求参数a 可根据已测点的垂直速率值按最小二乘法计算，可得：

1()T T a Q Q Q ζ-= （10）

于是未测点p 的高程异常可求得：

1()T T p p p Q a Q Q Q Q V ζ-== （11）

再根据（1）式便可求得任意点的正常高。

4.实例分析

研究区域内布设有16个GPS 控制点组成的控制网，记为G1-G16。进行平面观测时采用GPS C 级标准，高程采用二等水准观测，利用高精度平差软件解算后获得各点的GPS 大地高，通过水准观测求得各个GPS 点的正常高，进而求得各点的高程异常值。

均匀选取控制网中10个点作为已知点，分别建立二次曲面拟合模型和多面函数拟合模型，本文中多面函数模型选取正双曲面型。通过对剩余的6个点进行高程拟合，分别比较拟合所得的高程与已知的高程，来验证两种方法的拟合精度。

表1 两种拟合方法精度对比

点名

已知高程

二次曲面拟合高程

残差

多面函数拟合高程 残差

G2 19.768 19.7612 0.0157 19.7612 0.0068 G5 20.435 20.5376 -0.1346 20.5376 -0.1026 G8 18.492 18.2458 0.3586 18.2458 0.2462 G11 21.981 22.2979 -0.4281 22.2979 -0.3169 G14 17.865 18.1623 -0.3816 18.1623 -0.2973 G16

17.539

17.3556

0.2561 17.3556

0.1834 从上表可以看出，两种拟合方法都能满足要求，多面函数拟合的精度总体而言要比二次曲面拟合的精度要高。

5.结论

由于GPS 测量自身的优点，GPS 高程拟合在实际工程中得到了越来越广泛的应用，本文介绍了两种GPS 高程拟合的方法，并结合实例进行比较分析，二次曲面拟合与多面函数拟合都能满足实际工程中的应用，但就精度而言，多面函数拟合的精度要高。