高等数学教程习题答案

《高等数学教程》第一章 习题答案
习题1-1 (A)
1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-
(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2
Λ±±=+≠k k x π
π (5)),2,1,0()3
52,3
2(Λ±±=+
+k k k πππ
π
(6)]3,1[- 2.2
02
)(6,916,6h x +++ 3.0,2
2,22,
2
1 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数
(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；
当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数
6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数
7.(1)a cx b dx y -+-=
(2)2
arcsin 31x
y = (3)21-=-x e y (4)x
x
y -=1log 2
(5)2
x
x e e y --=
8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,x
w e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====
9.(1)]1,1[- (2)Y z
k k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --
(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若2
1>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，x
x 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，2
2)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a
12.⎪⎩⎪
⎨⎧>-=<=0,10,00
,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1
,1,11,)]([1x e x x e x f g
13.)20(,])2
([22r h h r h V <<-=π
14.πααπααππ20,4)2(242
22
3<<--=
r V 15.),2(,]
)[(3223
2+∞--=
r r r h h r V π
16.(1)⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600
100,01.0)100(901000,
90x x x x p
(2) ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600
100,01.0311000,
30)60(2x x x x x x x x p p
(3)21000=p (元)
习题1-1 (B)
1.)(x f 为偶函数.
2.41
)1(,2)(222-+
=--=x
x x x f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0
,0
,0)]([2
x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0
,0
,0)]([2
x x x x f g
4.2
2123x x ++ 8.⎩
⎨⎧-≤-<<--=-1,10
1,1)(x x e x f x
9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g
10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f
习题1-2 (A)
1.(1)
121
+n ,0 (2)1
1
)1(1
+-+n n ,0 (3)2
+n n
,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限
(5)
222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n Λ,2
1
(6)2
)
2)(1()1(++-n n ,没有极限.
2.(1)17; (2)24; (3)]3
[ε
3.0,]1
[ε
习题1-3 (A)
3.0002.0=δ
4.397≥Z
6.1)(lim )(lim 00==+
-
→→x f x f x x ,1)(lim 0
=→x f x
1)(lim 0-=-
→x x ϕ,1)(lim 0=+
→x x ϕ,)(lim 0
x x ϕ→不存在.
习题1-4 (A)
3.(1)0; (2)0; (3)0
4.0lim 1
=-→y x ; ∞=→y x 1
lim
习题1-4 (B)
3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量； 当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.
习题1-5 (A)
1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)10
3; (5)
2
31a
a -; (6)2
3x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)4
1
-;
(5)503020532⋅; (6) 4
1
-.
3.(1)⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<<1
,11,
010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)2
1-
4.(1)10; (2)
2)(m n mn -; (3)n m
; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)2
1
.
习题1-5 (B)
1.(1)2; (2)2
1-; (3)56
1
-
; (4)2)13(2-a
(5)23; (6)⎪⎩
⎪
⎨⎧<∞=>2
,2,12
,0k k k ; (7)2; (8)0 .
2.1,1-==βα
3.9=a
4.1,1-==b a
5.不一定.
习题1-6 (A)
1.(1)2; (2)3; (3)2
1; (4)-1; (5)a cos ； (6)2
π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .
习题1-6 (B)
1.(1)21; (2)π
2; (3)1; (4)0; (5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)
2
5
1+. 习题1-7 (A)
1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.
2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.
3.2
1=α 4.m =α
6.(1)23; (2)⎪⎩
⎪
⎨⎧>∞=<n
m n m n
m ,,1,0; (3)21;
(4)21; (5)b a ; (6)4
1.
习题1-7 (B)
1.(1)3
2; (2)2
e ; (3)2
1; (4)0; (5)1; (6)4
1-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .
习题1-8 (A)
1.1=a
2.)(x f 在0=x 处连续
3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f
2=x 为第二类间断点
(2)0=x 和2
ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2
(,1)0(=+=π
πk f f ；
)0(≠=k k x π为第二类间断点.
(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.
4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;
(2)0=x 为可去间断点，补充2
1
)0(=f ；
(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π
-=f ；0=x 为第二类间断点；
(4)2=x 为可去间断点，补充4
1
)2(=f ；0=x 为第一类间断点；
2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.
习题1-8 (B)
1. 1±=x 为第一类间断点.
2. 1,0==b a
3. 2
5=a 4. ),2,1,0(2
2Λ±±=-
=n n a π
π
5. 0,=-=b a π
6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .
习题1-9 (A)
1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞ 21
)(lim 0=→x f x ，5
8)(lim 3
-=-→x f x ，∞=→)(lim 2
x f x .
2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.
3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 2
2
-
; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a
习题1-9 (B)
1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.
2. 1,0==b a
3. (1)1
-e ; (2)2
1-e ; (3)a e cot ; (4)0;
(5)0; (6)-2; (7)2
1
; (8)82π.
4.
2
1
总复习题一
一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D
二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0
,0
,)(22x x x x x x f
2. ]2,2[,)1arcsin(2--x
3. －1
4. 必要，充分
5. 必要，充分
6. 充分必要
7.
2
1 8. b a = 9.
5
6 10. 第二类，第一类 三. 1. 11)(-+=
x x x ϕ 2. 2005
1
,20052004=
-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.
a ln 2
1
8. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；
当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续； 当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-
部分习题选解 习题1-2 (B)
1. 根据数列极限的定义证明：
(1))0(1lim 时>=∞
→a a n
n
证明：(ⅰ) 0>∀ε
当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n n
n n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴Λ22
)1(1)1( ε
εa
n n
a h n >
<<
<∴0
∴取1][+=ε
a
N ，当N n >时，
有ε<<
=-n
a
h a n n 1，即1lim =∞→n n a (ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11
>=
a
b ∴11lim lim ==∞
→∞→n n n
n a
b
∴1lim =∞
→n
n a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞
→n
n a . 习题1-6 (B)
3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，2
1n
n n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞
→∞
→=lim lim
证明：2
n
n n n y x y x +≤
Θ ),2,1,0(011Λ=≤≤∴++n y x n n
n
n
n n n n n
n n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2
21
1),2,1,0(Λ=n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少， 又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ΛΛ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.
由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛. 设b y a x n n n n ==∞
→∞
→lim ,lim
由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2
即n n n n y x ∞→∞
→=lim lim . 习题1-10 (B)
3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ， 试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f Θ在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.
又Θ0
)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f Θ 0)1()0(≤-⋅∴l F F
(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，
使0)(0=x F ， 即)()(00l x f x f +=. 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.
总复习题一
三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.
证明：(反证法) 假设)(x f 在],[b a 变号， 即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f Θ)(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。