结构力学4三铰拱
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章
静定拱
拱的实例
三铰拱的特点
P1
P2
f H
三铰拱的类型、基本参数
H
VA
l
VB
曲线形状：抛物线、园、悬链线……..
f 1 10 l
§ 4-1 概 述
1、三铰拱的定义：在竖向荷载作用下，有水平推力产
生的曲杆结构。
2、三铰拱的各部分的名称
§4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
3.331 1.060 0.600
M图 kN.m
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34
绘制内力图
q=2kN .m
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
N2 Q2 sin2 H cos2 11 23 0.555
7.5 0.832 9.015kN
Q图 kN
N图 kN
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
y
C
q
A
f
Bx
A
ql x
l/2
l/2
2
[解] 由式 yx M x
H
先列出简支梁的弯矩方程
M x q xl x
2
B ql 2
注意
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
*合理轴线对应的是 一组固定荷载；
所以拱的合理轴线方程为：
yx
q 2
xl
x
8f ql 2
4f l2
xl x
*合理轴线是一组。
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。 [证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N.
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
y
34
5
图所示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
y2
0
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
d
a1
b1
P1 a2
b2
D c P2
MA 0
yf
HA
x
HB
MB 0
VA
l1
l2
l
VB
P1
P2
c
V
A
x
VB
P1 d
c
f
H
l1
VA
VB
1 l
P1a1
P2a2
VB VB
VA
1 l
P1b1
P2b2
VA VA
x 0 HA HB H
MC 0
VA l1 P1 d H f 0
M
C
H
f
0
H
M
C
f
二、内力计算 以截面D为例
P1 Qo
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成
x-a1 M
的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
H
来自百度文库
D
y
MD 0
H x
M VA x P1 x a1 H y Ｑo
VA
M M Hy
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
A
7.5kN
x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m
H 7.5kN （1）计算支座反力
6m
VB 9kN
VA
VA
2
698 12
3
11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
x
44 122
312
3
3m
VB
VB
2
6389 12
9kN
H
M
C
11 6 2 6 3
7.5kN
f
4
M2 M2 Hy2 11 3 2 31.5 7.5 3
qc+.f
qc q qc y
y x
f y*
d2y dx 2
1 H
d2M dx2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设
填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。
[解]由拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
M M H y M H f y 0
M y f
H
因事先 M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状
有关。令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q
yx Ach x B sh x
H
H
设其特解 y a, 代入原方程，a qc
yx Ach x B sh x qc
H
H
设 x 0, y 0
A qc
x 0, y 0 B 0
y
qc
ch
x 1
悬链线
H
q
E D
M0 0
dS R d
ND R NE R dR 0
ND NE N
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2N sin d 0
2 N qR
q Rd N d 0
RN q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
静定拱
拱的实例
三铰拱的特点
P1
P2
f H
三铰拱的类型、基本参数
H
VA
l
VB
曲线形状：抛物线、园、悬链线……..
f 1 10 l
§ 4-1 概 述
1、三铰拱的定义：在竖向荷载作用下，有水平推力产
生的曲杆结构。
2、三铰拱的各部分的名称
§4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
3.331 1.060 0.600
M图 kN.m
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34
绘制内力图
q=2kN .m
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
N2 Q2 sin2 H cos2 11 23 0.555
7.5 0.832 9.015kN
Q图 kN
N图 kN
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
y
C
q
A
f
Bx
A
ql x
l/2
l/2
2
[解] 由式 yx M x
H
先列出简支梁的弯矩方程
M x q xl x
2
B ql 2
注意
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
*合理轴线对应的是 一组固定荷载；
所以拱的合理轴线方程为：
yx
q 2
xl
x
8f ql 2
4f l2
xl x
*合理轴线是一组。
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。 [证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N.
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
y
34
5
图所示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
y2
0
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
d
a1
b1
P1 a2
b2
D c P2
MA 0
yf
HA
x
HB
MB 0
VA
l1
l2
l
VB
P1
P2
c
V
A
x
VB
P1 d
c
f
H
l1
VA
VB
1 l
P1a1
P2a2
VB VB
VA
1 l
P1b1
P2b2
VA VA
x 0 HA HB H
MC 0
VA l1 P1 d H f 0
M
C
H
f
0
H
M
C
f
二、内力计算 以截面D为例
P1 Qo
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成
x-a1 M
的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
H
来自百度文库
D
y
MD 0
H x
M VA x P1 x a1 H y Ｑo
VA
M M Hy
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
A
7.5kN
x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m
H 7.5kN （1）计算支座反力
6m
VB 9kN
VA
VA
2
698 12
3
11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
x
44 122
312
3
3m
VB
VB
2
6389 12
9kN
H
M
C
11 6 2 6 3
7.5kN
f
4
M2 M2 Hy2 11 3 2 31.5 7.5 3
qc+.f
qc q qc y
y x
f y*
d2y dx 2
1 H
d2M dx2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设
填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。
[解]由拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
M M H y M H f y 0
M y f
H
因事先 M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状
有关。令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q
yx Ach x B sh x
H
H
设其特解 y a, 代入原方程，a qc
yx Ach x B sh x qc
H
H
设 x 0, y 0
A qc
x 0, y 0 B 0
y
qc
ch
x 1
悬链线
H
q
E D
M0 0
dS R d
ND R NE R dR 0
ND NE N
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2N sin d 0
2 N qR
q Rd N d 0
RN q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。