信号系统第3章1

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信号与系统第三章

y (4) 3 y (3) 2 y (2) f (4) 10 ...
特点：便于用计算机求解
2、差分方程的经典解
• 若单输入-单输出的LTI系统的激励为 f(k),全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，一般可写为：
a y (k i ) b
例3.1－1
• 解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得
y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
依次迭代可得 y (3) 3 y (2) 2 y (1) f (3) 10
位移单位序列：
运算：
• 加： (k) 2 (k) ＝3(k)
乘：(k) (k) (k)
延时：
0
取样性质：f (k)(k) f (0)(k)
2. 单位阶跃序列： (k)
(1)定义： (2)运算：
3) δ(k)与ε(k)的关系：
δ(k)=△ε(k)= ε(k)-ε(k-1) 差分表示，对应的微分δ(t)=dε(t)/dt ε(k)=
第三章离散系统的时域分析
连续系统与离散系统的比较
时域连续系统
f (t ) y(t )
常系数线性微分方程卷积积分
时域离散系统
f (k ) y (k )
常系数线性差分方程卷积和
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
yzs (t ) f (t ) h(t )
y(k ) yzi (k ) yzs (k )

【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答

3-1 解题过程：（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅立叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn =其中复数频谱F n= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e − jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 04 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE−2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三角形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5T指数形式的 FS 的系数为1n = 0, ±2, ±4,F n = − jb n jE=2 n = 0,−± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = − jE π ej ω1t+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e − j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。

信号与系统第三章：傅里叶变换

bn
n1
sin(n1t)
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
1
2
T
。
16
傅里叶系数如何求得
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
t2
t1
i
2
(t
)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
a0 2
,
1 T
0 T
2
(1)
cos(n1t
)dt
2 T
T
2 0
cos(n1t
)dt
23
0
T
1
n1
2 T
sin(n1t
)
T 2
2 T
1
n1
sin(n1t
)
2 0
1
2
T
an
0
n 0,1, 2,3,L
24
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(n1t)dt
2
2 T
0 T
2
(1)
sin(n1t
)dt
2 T
T
2 0
26
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt

信号与系统信号3-1

2

0
Fn 在 n 有值，称为谱线；
第三章第1讲
14
周期T不变，脉冲宽度变化 ②
情况
2：

T 8
,
Fn

T
Sa( n )
T

1 Sa( n
88
)，
第一个过零点为
n
=8
。
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
1

T

2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 8
第三章第1讲
3
傅里叶系数间的关系
傅里叶系数：
an

2 T
T
2 f (t) cos ntdt

T 2
n 0, 1, 2,
bn

2 T
T
2 f (t)sin ntdt

T 2
n 1, 2,
An an2 bn2 复傅里叶系数。
n

arctg
bn an
An
bn
n
an
Fn
第三章第1讲
22
周期信号频谱的性质

时移特性：
若
f
(t)
Fn ，则
f (t ) Fne jn

Fn

1 T
证：设
f (t )e
f (t )
jn tdt

1 T
Fn
f (x)e
jn

( x
)dx

1 T
e
jn

f (x)e jn xdx Fne jn

信号与线性系统题解第三章

第三章习题答案da3.1 计算下列各对信号的卷积积分()()()y t x t h t =*：(a) ()()()()t tx t e u t h t e u t αβ==（对αβ≠和αβ=两种情况都做）。

(b) 2()()2(2)(5)()tx t u t u t u t h t e =--+-=(c) ()3()()()1tx t eu t h t u t -==-(d) 5,0()()()(1),0tt t e t x t h t u t u t e e t -⎧<⎪==--⎨->⎪⎩(e) []()sin ()(2)()(2)x t t u t u t h t u t π=--=--(f) ()x t 和()h t 如图P3.1(a)所示。

(g) ()x t 和()h t 如图P3.1(b)所示。

图P3.1 解：(a) ()()0()()()(0)t ttty t x t h t eed eed t βτατβαβτττ------=*==>⎰⎰当αβ≠时，()1()()ttey t e u t αβββα----=-当αβ=时，()()t y t te u t α-=(b) 由图PS3.1(a)知，当1t ≤时，252()2()22(2)2(5)021()22t t t t t y t ed ed e e e ττττ----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ 当13t ≤≤时，252()2()22(2)2(5)121()22t t t t t y t ed ed e e e ττττ-----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ 当36t ≤≤时，52()2(5)211()2t t t y t ed e e ττ---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰ 当6t >时，()0y t =(c) 由图PS3.1(b)知，当1t ≤时，()0y t = 当1t >时，133(1)01()13t t y t ed e ττ----⎡⎤==-⎣⎦⎰3(1)1()1(1)3t y t e u t --⎡⎤∴=--⎣⎦(d) 由图PS3.1(d)知：当0t ≤时，11()tt t t y t e d e eττ--==-⎰当01t <≤时，055(1)1014()(2)255t ttt t y t e d e e d e eeτττττ-----=+-=+--⎰⎰当1t >时，555(1)(1)111()(2)2255t tt tt t y t e ed eeeeτττ------=-=-+-⎰(e) 如下图所示：(f) 令()11()(2)3h t h t t δ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦，则11()()()(2)3y t x t h t x t =*-- 由图PS3.1(h)知，11424()()()()(21)333t t y t x t h t a b d a t b ττ-=*=+=-+⎰2411()(21)(2)()3333a y t tb a t b a t b x t ∴=-+---=+= (g) ()x t 是周期信号，由此可推知()()()y t x t h t =*也是周期的，且周期也为2。

信号与系统(第3章)信号与线性非时变系统的傅里叶描述

傅里叶变换表示24lim0lim220??jxtkxkxtkxdtetxtttttjk??????????令可证???ttjkdtetxtkx001???????ktjkekxtx0??连续时间傅里叶变换及系数的确定??????????????????ktjkktjkktjkejkxejkxtekxtx000000211???????周期信号非周期信号t????0k?02t??????d???????????dtetxjxtj???????????dejxtxtj212非周期连续信号
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
n)0t]
sin[(k
n)0t]dt
0, k T , k
n n
T 0
x(t )e
jn0t dt
cnT
傅里叶系数：
ck
1 T
x(t)e jk0t dt
T
16
x(t)
ck e jk0t
k
傅里叶系数
ck
1 T
T x(t)e jk0t dt
0
傅里叶级数的其他形式
• 若x（t）是实信号： x(t)* x(t) ck ck
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；

信号与系统第3章傅里叶变换

sin( k n) x k n
0(k , n 1,2,3,..., k n)
2．级数形式
周期f信 t,周号期 T1,基为波
在满足狄氏条件时，可展成
角 1频 2 T 1 率
为
f(t)a 0 a nco n s 1 tb nsin n 1 t 1 n 1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
3.1 引言
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
以上等式都可以通过计算定积分来验证。
证明：
利用三角学中积化和差的公式
cos kx cos nx＝1 cos(k n) x cos(k n) x
2 当k n时，有
cos kx cos nxdx 1 cos(k n) x cos(k n) xdx
2
1 2
sin( k n) x k n
cos nxdx 0(n 1,2,3,...)
sin nxdx 0(n 1,2,3,...)
sin kx cos nxdx 0(k , n 1,2,3,...)
cos kx cos nxdx 0(k , n 1,2,3,..., k n )
sin kx sin nxdx 0(k , n 1,2,3,..., k n )
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。

信号与系统(王小敏)第3章第1讲线性是不变系统

件，由此可以得出 y(0)。进一步，又可以通过 y(0) 和 y(−1), y(−2),L L , y(−N +1) 求得 y(1),依次类推可求出所有n ≥ 0 时的解。
若将差分方程改写为：
∑ ∑ y(n −
N)
=
1 aN
⎡ ⎢⎣
M k =0
bk
x(n
−
k
)
−
N −1 k =0
ak
y(n
−
k
)⎤⎥⎦
=0
的解。欲求得齐次解，可根
N
据齐次方程建立一个特征方程：∑ a k λ k = 0 求出
k =0
其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解
的形式为：
N
∑ yh (t) = Ckeλkt , k =1
其中Ck 是待定的常数。
要确定系数 Ck ，需要有一组条件，暂且称为附加条件。仅仅从确定待定系数 Ck 的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。
累加器是可逆的LTI系统，其 h(n) = u(n) ，其逆系统是 g(n) = δ (n) − δ (n −1)，显然也有：
h(n) ∗ g(n) = u(n) ∗[δ (n) − δ (n −1)] = u(n) − u(n −1) = δ (n)
但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。
3. 因果性： ∞ 由 y(n) = ∑ x(k)h(n − k)，当LTI系统是因果系统 k =−∞
可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。
一.线性常系数微分方程
（ Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）

信号与系统第三章周期信号的傅里叶级数展开

1 T
2 n 2

T1
f (t ) dt

F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1

三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E

T1

t
2 2
T1
脉冲为，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集

大连理工大学信号第3章_拉普拉斯变换与z变换及信号系统的复频域分析

1 , Re[ s] a 。 sa
在例 3.1 关于拉普拉斯变换的计算中，实际上考虑了 a 0 的条件，从而保证对应的傅里叶变换的收敛性。而 a 0 ，通常表示为：Re[ s] a 。其中 Re[ s] 表示对复变量 s 求实部。使拉普拉斯变换 X ( s) 0 的 s 值称为“零点” （zeros），使普拉斯变换 X ( s) 的 s 值称为“极点” （poles）。在 s 平面内表示零点和极点来表示 X ( s) 及其特性，称为 X ( s) 的零极图（pole-zero plot）。例 3.2 设信号 x (t ) e at u( t ) ，求其拉普拉斯变换 X ( s) 。解
s a
1 lim X ( s) lim [1 e ( s a )T ] lim Te aT e sT T s a s a s a
这样，仍然符合性质 3.3 的规律。
3.2.3 拉普拉斯逆变换式（3.6）给出了拉普拉斯逆变换的定义式，现再次给出如下：
Im[ s] Im[ s]
a
Re[ s]
a
Re[ s]
（a）
（b）
图 3.1 拉普拉斯变换收敛域示意图。（a）例 3.1 的收敛域；（b）例 3.2 的收敛域
3.2.2 拉普拉斯变换收敛域的性质所谓收敛域就是使拉普拉斯变换 X ( s) 收敛的复变量 s 的取值范围。关于拉普拉斯变换收敛域有以下性质，我们不加证明地给出如下：性质 3.1 X ( s) 的 ROC 是由 s 平面内平行于 j 的带状区域所组成。性质 3.2 有理拉普拉斯变换的 ROC 内不包含任何极点。性质 3.3 若信号 x (t ) 是有限时宽（finite duration）的，且绝对可积，则其 ROC 为整个 s 平面。性质 3.4 若信号 x (t ) 的拉普拉斯变换 X ( s) 是有理的，则其 ROC 是被极点所界定或延伸到无穷远处。另外，在 ROC 内不包含任何极点。且若 x (t ) 为右边信号（right sided 性质 3.5 若信号 x (t ) 的拉普拉斯变换 X ( s) 是有理的，

高速铁路信号系统-第三章列车运行控制系统

3.2 ATP概述
点连式 ATP
点连式 ATP 是利用轨道电路传输连续信息，应答器传输点式信息的列控系统。
3.2 ATP概述
连续式ATP
（3）无线方式。无线方式指利用无线通信的方式传输信息。地面编码器生成编码信息，通过轨道天线向车上发送。信号显示控制接口负责检测要发送的信号显示，并从已编程的数据中选出有用数据传送至编码器，同时选出与限制速度、坡度、距离等相关的轨道数据。编码器用高安全度的代码将这些数据编码，经过载波调制，馈送至轨道天线向机车发送。车上接收设备接收限制速度、坡度、距离等数据后，由车载计算机计算出目标速度，并对机车进行监控。
3.2 ATP概述
1. ATP的基本概念 2. ATP分类 3. 分级制动和一级制动 4. 制动优先方式 5. 测速和测距 6. 紧急制动和常用制动
3.2 ATP概述
3.2.1 ATP的基本概念 ATP 的核心是铁路信号速度化，要求信号信息具备明确的速度含义，并根据这些信息对列车运行速度进行实时的连续监控。地面列控信息主要根据进路、线路条件以及前后列车的运行位置，在分级速度控制时，产生不同的出口速度信息；在采用速度-距离模式曲线控制时，产生目标距离、目标速度等信息。 ATP车载设备依据接收到的信息，根据列车构造速度、制动性能计算出控制曲线，对列车是否遵守信号（速度）指令进行实际运行速度的监控。当列车的实际运行速度接近、超过允许速度曲线时，ATP车载设备就会报警、卸载、制动，起到防止“两冒一超”的安全作用。
3.2 ATP概述
3.2.1 ATP的基本概念
我国铁路列车提速后，列车制动距离增加，信号显示距离不足，现行信号显示制式和列车速度控制方式难以满足行车安全的要求。列车运行速度超过 160 km/h 时，司机难以辨认地面信号，以司机为主的列车控制系统难以保证列车的安全运行，为此必须发展 ATP 系统。ATP 的主要功能有：停车点防护、超速防护、列车间隔控制（移动闭塞时）、测速测距、车门控制等。

信号与系统第3章(xin ) 信号的频域分析

3 信号的频域分析
2.基本形式（三角形式）
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。连续周期信号的基本形式可以表示为：
a0 f ( t ) ( ak cos k0 t bk sin k0 t ) 2 k 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
a0 f ( t ) An cos( k0 t n ) 2 t
2 其中：a0 f ( t )dt 是 k 的偶 T

An ak bk
2
2
函数
bk n arctan ak
是k的奇函数
3 信号的频域分析
2.基本形式
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。离散周期信号的基本形式可以表示为：
1 n
f1 (t )
(t nT )
n

重复性、定义域、n、周期等四个要素
3 信号的频域分析
§3.1.1 周期信号的展开（ expansion ）
离散周期信号：
f (n) f (n iN ); n (, ); i 0, 1, 2, ; N C f (n iN )
jk0 t0 jk
有 fT ( t -t0 ) e
C( jk0 ) 2 C( jk ) N
f N ( n n0 ) e
2 n N 0
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
3. 比例特性
若
2 fT ( t ) / f N ( n ) C( jk0 ) / C( jk ) N jk t 0 1 T 2 a
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质

信号与系统课后答案第三章作业答案

u(t1)]
（4） f (t) sin t h(t) u(t1)
f (t) h(t) h '(t)
t
sin
w0
u
(
)
d
(t1)
t 0
sin
w0
d

(t1)
[
1 w0
(1
cos
w0t )] u(t)

1 w0
[1
cos
w0 (t

1 4
(et

e3t
)u(t)

1 2
t
e3tu(t)

[
1 4
et

(
1 2
t

1 4
)e3t
]u
(t)
3-19 一个 LTI 系统，初始状态不祥。当激励为 f (t) 时其全响应为
(2e3t sin 2t)u(t) ；当激励为 2 f (t) 时其全响应为 (e3t 2sin 2t)u(t) 。求
3-1 已知系统微分方程、起始条件以及激励信号分别为
dy(t dt
)

3
y(t
)

4
x(t
),
y
(0
)

2,
x(t
)

e2t
u(t
)
试求解该系统的全响应。
解：由题可知：
dy(t) dt

3
y(t)

4x(t)
的特征方程为

3=0；
=-3
（1）零输入响应：
yx (t) C1e3tu(t)

[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应

、…
n 1 d 、 n1 y(0－ )] dt
齐次方程的解的基本形式为Kest ,且将其代人齐次方程得：
Ksnest Kan1sn1est
消去Kest ,得特征方程：
Ka1sest Ka0est 0 a1s a0 0
(K 0)
sn an1sn1
§3.2 连续时间LTI系统的响应
双零法求系统响应
零输入响应求解零状态响应求解
冲激响应
卷积积分
连续时间系统分析过程(求响应)
完全解＝齐次解+特解
经典法、双零法、卷积积分法属于时域分析法。
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t)
= yzi(t)
+
yzs(t)
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {y(0)}所引起的响应，用yzi(t)表示；
2. 零状态响应
1) 满足方程
y ( n ) (t ) an1 y ( n 1) (t )
a1 y '(t ) a0 y (t ) b1 f '(t ) b0 f (t )
bm f ( m) (t ) bm1 f ( m1) (t )
2)
起始状态 y(k) (0-) = 0 (k= 0,1,… , n-1)
2、冲激平衡法求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时

[工学]信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统1-3章答案

[工学]信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统1-3章答案第一章习题-t1-1 画出下列各信号的波形:(1) f(t)=(2-e)U(t); (2) 1-tf(t)=ecos10πt×[U(t-1)-U(t-2)]。

2答案f(t)1 (1)的波形如图1.1(a)所示.,2T,,0.2sf(t)cos10,t,102(2) 因的周期,故的波形如图题1.1(b)所示.1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。

答案f(t),t[u(t),u(t,1)]，u(t,1)1f(t),,(t,1)[u(t),u(t,1)]2f(t),(t,2)[u(t,2),u(t,3)]31-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

答案11,(t，2),t，1,2,t,0,22f(t),,1110,t,2,(,t，2),,t，122,f(t),u(t)，u(t,1)u(t,2)2,f(t),,sint[u(t，2),u(t,2)]32f(t),u(t，2),2u(t，1)，3u(t,1),4u(t,2)，2u(t,3)421-4 画出下列各信号的波形:(1) f(t)=U(t-1); (2) f(t)=(t-1)U(t-1); 1222(3) f(t)=U(t-5t+6); (4)f(t)=U(sinπt)。

34答案f(t),u(t,1)，u(,t,1)1 (1) ,其波形如图题1.4(a)所示.f(t),(t,1)[u(t,1)，u(,t,1)],(t,1)u(t,1)，(t,1)u(,t,1)2(2)其波形如图题1.4(b)所示.f(t),u(,t，2)，u(t,3)3(3) ,其波形如图1.4(c)所示.f(t),u(sin,t)4(4) 的波形如图题1.4(d)所示.1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T。

,,2(1)f(t),2cos(2t,)(1)f(t),[sin(t,)]1246; ; (3) f(t),3cos2,tU(t)3。

郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(章节题库傅里叶变换)【圣才出品】

(0 )]
1
[e e ] j(0 )t0
j ( 0 )t0
2
1
(e e )e j0t0
j0t0 jt0
2
1
e
jt0
cos(0t0 )
5．设 f（t）的频谱函数为 F（jω），则【答案】2F（-2ω）ej2ω
的频谱函数等于（）。
【解析】
可写为 f[-1/2（t+2）],根据傅里叶变换的尺度变换性质，
图 3-1 【答案】
【解析】由图可以得出 f2 (t) 和 f1(t) 的关系， f2 (t) f1(t) f1(t 1) ，故 f2 (t) 的
傅里叶变换为。
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7．信号
的傅里叶变换为（）。
【答案】
j
【解析】将原式分解，t
e4t
e
2u(
t
1 2
)
，
u(
t
1 2
)
对应信号频域为
e2 j
， e4t 对应频
j 4
j
域频移
e j
2
4
， e2 为常数，直接乘上后频谱变为，
e j
2
4 ，由频域微分特性知，乘以
t
j 4
e2 对应频域求导，即对 j 4 求导，最后得到答案。
8．已知 f（t）的傅里叶变换为 F（jω），则
【答案】Y ( j)
1 2
(e j0t0
e j0t0 )e jt0
1
e jt0
cos(0t0 )
【解析】对于 x1(t) ，傅立叶变换为 e jt0 ，所以

信号与系统第三章(陈后金)3.

离散时间LTI系统的响应
3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应
y[k] yzi [k] yzs [k] yzi [k] x[k]* h[k]
✓ 求解齐次差分方程得到零输入响应
✓ 利用信号分解和线性非时变特性可求出零状态响应
一、零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。
离散时间LTI系统的响应
1. 迭代法
n
m
ai y[k i] bj x[k j]
i0
j0
已知 n 个初始状态{ y[1], y[2], y[2],∙∙∙∙, y[n] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。
n
m
y[k] ai y[k i] bj x[k j]
C2

1 2
解得 C1=1，C2= 2
yzi [k] (1)k 2(2)k k 0
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k1]+4y[k2]=x[k]
解： (2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =x[k]的特解yp[k]
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] Ak2k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
1) 若初始条件不变，输入信号 x[k] = sin0 k u[k]，

信号与系统第三章习题部分参考答案

↔ 2π e−a⎜−ω⎜
（4）单边指数信号 ∵ e−atu(t) ↔ 1 a + jw
∴ 1 ↔ 2π e−a(−w)u(−w) a + jt
即 1 ↔ 2π eawu(−w) a + jt
3.20 求下列各傅里叶变换的原函数
（1） F (ω) = δ (ω − ω0 ) （2） F (ω) = u(ω + ω0 ) − u(ω − ω0 )；
2π
（2）[1 + mf (t)]cos(w0t) = cos(w0t) + mf (t) cos(w0 (t)
↔
π [δ
(w
+
w0
)
+
δ
(w
−
w0
)]
+
m 2
{F[
j(w
+
w0
)
+
F[
j(w
−
w0
)]}
（3） f (6 − 3t) = f [−3(t − 2)] ↔ 1 F (− 1 jw)e− j2w
−τ τ
w
方法二利用时域微分性质
对 f(t)求一阶导数得到
f
′(t)
=
1 τ
G2τ
(t)
−
δ
(t
+
τ
)
−
δ
(t
−
δ
)
F1 (w) = 2sa(wτ ) − 2 cos(wτ )
F1 (0) = 0
F (w) =
F1 (w) jw
+
πF1
(0)δ
(w)
=
j
2 [cos(wτ ) − sa(wτ )] w

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-1

k 0
( n) u( n) u( n 1)
差分关系
u(n)与u(t)比较：
u(n) 在 n 0 处有确定值 u(0) 1 而 u(t ) 在 t 0 处没有确定值
u( t ) 与 ( t ) 的关系： u( t ) ( t )dt

t
(t )
d u( t ) dt
1
E
k
x(n) x(n k )
1/E
例：已知系统的模拟框图，试建立描述该系统输入输出关系的方程。
3 y(n)
x(n)
y(n-1)
1/E
2
＋
1/E
1/E
x(n-1)
y( n) 3 x( n) 2 x( n 1) 4 y( n 1) 5 y( n 2) 即： y( n) 4 y( n 1) 5 y( n 2) 3 x( n) 2 x( n 1)
x1(n) 2 0 5 1 2 k 5 1 1 2 n x1(n-k) x2(n) 3 1 4 2
3.竖式法。右端对齐各点分别乘，分别加不跨点进位结果的起始序号＝两序列起始序号之和
0 1 2 3 4 n x (k) 5 5 5 5 5 2 5 5 4 3 2 22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 k
例：x1 ( n) u( n), x 2 ( n) 1 2 u( n), 求y( n) x1 ( n) * x 2 ( n)。
n
2.图解法。步骤：变量置换、翻转、移位、相乘及累加。
例： x1 (n) 2,1,50 , x 2 (n) 3,1,4,21 , 求y(n) x1 (n) * x 2 (n)。

信号与系统教案第3章离散系统的时域分析

第3-4页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
3.1
LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应
二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解 h(k) 齐次解y 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程为其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λ 称为差分方程的特征根其根 i( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。，，，称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。齐次解的形式取决于特征根。形式为：当特征根λ为单根时齐次解y 形式为当特征根为单根时，齐次解 n(k)形式为： Cλk 当特征根λ为重根重根时齐次解y 形式为：当特征根为r重根时，齐次解 n(k)形式为：形式为 (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
第3-7页
■
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信号与系统电子教案
3.1
LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应
三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以分别用经典法求解。也可以分别用经典法求解。分别用经典法求解 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, …, n –1 激励f(k)在k=0时接入系统，时接入系统，设激励在时接入系统通常以y(–1), y(–2) , …，y(–n)描述系统的初始状态。描述系统的初始状态通常以，描述系统的初始状态。 yf(–1) = yf(–2) = … = yf(–n) = 0 所以 y(–1)= yx(–1) , y(–2)= yx(–2),…，y(–n)= yx(–n) ，然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应初始值y 和的初始值 x(j)和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1)

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傅里叶级数的三角函数形式
傅里叶级数还可表示为：
f
(t)

a0 2

n1
An
cos(nt
n )
An an2 bn2 an An cosn 是 nΩ 的偶函数；
n

arctg
bn an
bn An sin n 是 nΩ 的奇函数
因此，周期信号可以分解为直流分量、基
3
• 首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
• 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
4
§1 傅里叶级数
傅里叶级数
三角函数形式指数函数形式两者关系
周期信号的对称性与傅里叶系数的关系
5
傅里叶级数的三角函数形式
任何正常的周期为T、基波角频率为Ω的函数f(t)，
都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。即
f
(t)

a0 2

a1 cost an 常数项(直流)
cos nt b1 sint bn sinnt Ω为基波频率（一次谐波）

f
(t)

a0 2

n1
an
cos nt

2Ω、3Ω、nΩ为n次谐波频率
bn sin nt
n1
傅里叶
直流分量
a0

2 T
t0 T f (t) d t
t0
级数
余弦分量的幅度
f (t) cos ntdt
0T T
t
-1
2
2
T
T 2
f
(t) cos ntdt
2
0
T
T
T 2
f
(t) cos ntdt

2 T

T 2
0
cos ntdt

T
(1)
T 2
cos
ntdt

0
bn

2 T
T f (t)sin ntdt 2

4

sin
t

1 3
sin
3t

...

1 2k 1
sin
2k
1
t

...

4

k 1

1 2k 1
sin

2k
1
t

奇函数：
傅里叶级数的an为零，
只含正弦项。 11
回忆欧拉公式
e jt cos(t) j sin(t)
0,
n 2, 4,6,

4
n
n 1,3,5,
10
例
试将下图所示的周期性方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
an 0
bn

4 nT
1

cos
n
2

该周期性方波在整个
f (t) 1
-T T
0T T
2T

2
-1 2
区间内可以表示为：
f
(t)
k 1,2,...
波分量和一系列谐波分量之和。
8
例试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里 f (t)
叶级数。f
(t)

a0 2

n1
an
cos
nt

n1
bn
sin
nt
1
a0

2 T
T f (t)dt 2
0
T
T 2
dt

2
0
T
T
(1)dt 0
T 2
an

2 T
T 0
• f(x0-0)和f(x0+0)都存在，但f(x0-0)≠f(x0+0)； • f(x0-0)=f(x0+0)≠f(x0) ； • f(x0-0)=f(x0+0) ，而f(x0)不确定。 2. 在一周期内，有有限个极大值和极小值。
3. 在一周期内，信号绝对可积。即 t1T f (t ) dt 为有限值。 t1 7

e jt cos(t) j sin(t)
scions((tt))2112j
e jt e jt e jt e jt
12
傅里叶级数的指数形式
可以从三角傅立叶级数直接导出，由欧拉公式：
sin nt 1 e jnt e jnt 2j
an

2 T
t0 T t0
f (t) cosn1td t
正弦分量的幅度
bn

2 T
t0 T t0
f (t)sin n1td t
6
傅里叶级数展开条件 ——狄利克雷（Dirichlet）条件
1. 在一周期内，函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断点。
***第一类间断点：设函数f(x)在点x0处的左、右极限都存在，即下列三种情况均称之为第一类间断点。
f2
Frequency
2
Time
信号分解
将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用叠加原理求得总响应。
单元函数选择
时域
冲激函数、阶跃函数
频域
正交函数集：三角函数集、指数函数集
信号域变换
时域↔频域时域↔复频域
•从本章开始由时域转入变换域分析。
cos nt 1 e jnt e jnt 代入三角形傅氏级数中去， 2
f
(t)

a0 2
sin
t

1 3
sin
3t

...

4
1 2k 1
sin
T

2k
1
4
t
...
2
T
nT
cos nt
2 0
n 2
T
(cos n
T
2 91)
例
将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉布斯效应。
0
T
T 2
sin
ntdt

2
0 Ω=2π/ T T
T
(1)sin ntdt
T 2
4 T
T
T
2 sin
ntdt

4

cos nt
2
0
T
n 0

4
2n
1
cos
n

4
n
0
该非周期性方波在区间(0,T)内可以表示为：
当n为奇数当n为偶数
f
(t )

4

第三章
连续时间系统的频域分析
1
信号表示
时域频域
信号时频域关系图
( a)
Time
Amplitude
y1=A1sinω1t+Ø1
Frequency
( b)
y2=A2sinω2t+Ø2
Frequency Domain
( c)
Time Domain
Amplitude
Amplitude
f1