10关于函数的对称性和周期性

关于函数的对称性和周期性

函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。 一、函数的对称性

1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2

a b x +=

对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2

a b x +=的

对

称

点

（

1

a b x +

-，y 1

），

当1

x a b x =+-时，1

11()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y

+-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数()y f x =图象上。由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线

2

a b x +=

对称。（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。）

2、函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2

a b +，2

c

）

对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点（

2

a b +，

2

c

）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时，

1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-，即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（

2

a b +，

2

c ）对称。

（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。）

3、函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2

b a x -=

对称。

证明：在函数()y f a x =+上任取一点（x 1，y 1），则11()y f a x =+，点（x 1，y 1）关于直线

2

b a

x -=

对称点（1

b a x --，y 1）。由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=，故点（1b a x --，y 1）在函数

()y f b x =-上。由点（x 1，y 1）是函数()y f a x =+图象上任一点，因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2

b a x -=

对称。

二、周期性

1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的

周期。

2、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。

证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=

∴函数()y f x =的一个周期为2A 。

3、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A )()

f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为

2A 。 证明：略。

4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()

f x f x =-

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：略。

三、对称性和周期性之间的联系

1、函数()y f x =有两根对称轴x =a ，x =b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。

已知：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-（a ≠b ），求证：函数

()y f x =是周期函数。

证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-

()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-

∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

2、函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=（a ≠b ）时，函数

()y f x =是周期函数。

（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，

2

c ）、（b ，

2

c ）时，函数()y f x =是周期函数，

且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。） 证明：由()()f a x f a x c ++-=⇒()(2)f x f a x c +-=

()()f b x f b x c ++-

=⇒()(2)f x f b x c

+

-

= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是以2b －2a 为周期的函数。

3、函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =）（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。