经济类概率统计 条件概率
概率统计公式范文
概率统计公式范文概率统计是一门研究随机事件的发生规律和数学统计方法的学科。
在概率统计中，有许多重要的公式被广泛应用于各种领域，如自然科学、社会科学、经济学等。
本文将介绍一些常用的概率统计公式，并且详细解释它们的含义和用途。
1.概率公式：-概率是表示事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A的概率，其中0≤P(A)≤1-事件的互斥性：如果事件A和事件B互斥（即A和B不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
-事件的相互独立性：如果事件A和事件B是相互独立的（即A的发生不受B的发生影响），则P(A∩B)=P(A)P(B)。
2.条件概率公式：-条件概率是指在已知其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
-条件概率的计算方法为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B已经发生时事件A发生的概率。
3.乘法公式：-乘法公式用于计算多个事件同时发生的概率。
对于独立事件A和B，P(A∩B)=P(A)P(B)。
-对于不独立事件A和B，P(A∩B)=P(A)P(B，A)或P(A∩B)=P(B)P(A，B)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.全概率公式：-全概率公式用于计算一个事件的概率，通过已知该事件在多个互斥事件上的条件概率来计算。
-即P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)，其中B1、B2、..、Bn为事件的所有互斥事件。
5.贝叶斯公式：-贝叶斯公式用于计算在已知其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
-贝叶斯公式为P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
6.期望公式：- 期望是描述随机变量平均值的概念，用E(X)表示，对于离散型随机变量，期望的计算方法为E(X) = ΣxP(X=x)，对于连续型随机变量，期望的计算方法为E(X) = ∫xf(x)dx，其中f(x)为概率密度函数。
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
名词解释条件概率的概念
名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。
概率论与数理统计第一章第四节：条件概率
1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下，事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下， P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间 产品有60件，而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B｜Ai )
n
,
P(Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)
概率的计算方法总结
概率的计算方法总结概率是数学中一个重要的概念，用于描述随机事件发生的可能性。
在许多领域中，概率的计算方法都扮演着重要的角色，如统计学、金融学、工程学等。
本文将总结一些常见的概率计算方法，包括经典概率、条件概率、贝叶斯定理和概率分布函数等。
一、经典概率经典概率又称为古典概率，用于描述在确定条件下，各个可能事件发生的概率相等的情况。
计算经典概率的方法是通过所求事件的对数除以样本空间的对数，即 P(A) = N(A)/N(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，N(A) 表示事件 A 发生的次数，N(S) 表示样本空间的大小。
例如，一枚均匀的硬币抛掷，正面和反面的可能性相等。
则正面朝上的概率为 1/2，反面朝上的概率也为 1/2。
二、条件概率条件概率是指在给定某个条件下，事件发生的概率。
计算条件概率的方法是通过已知条件下所求事件的概率与已知条件的概率之比，即P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
例如，一个骰子，求在投掷的结果为奇数的条件下，投掷结果为3的概率。
已知条件为奇数，即样本空间为{1, 3, 5}，而事件 A 为投掷结果为3。
则条件概率为P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 1/3。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是基于条件概率的一种概率计算方法。
它描述了在得到新的信息后，对之前的概率进行修正的过程。
贝叶斯定理的计算公式为 P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
贝叶斯定理在统计学、人工智能、医学等领域有广泛的应用。
高考数学中的概率统计相关知识点分析
高考数学中的概率统计相关知识点分析高考数学中，概率统计是一道不可忽略的大题，几乎每年都出现在高考试卷中，因此对于概率统计相关知识点的掌握程度直接影响到考生高考成绩的好坏。
要想在高考数学中获得优异的成绩，必须熟练掌握概率统计知识，并了解其相关考点。
本文将从以下几个方面，对高考数学中的概率统计知识点进行分析和总结。
一、概率统计的定义概率统计是数学中的一个重要分支，是一种研究随机现象规律性的数学工具，主要包括概率论和统计学两个方面。
概率论是用来描述随机现象可能发生的概率的数学理论，而统计学则是通过对样本数据的分析，来推断总体的性质和规律的一门学科。
二、常见的概率统计方法在高考数学中，常见的概率统计方法包括概率、期望、方差和标准差等。
其中，概率是指某一事件在所有可能事件中所占的比例，通常用百分数或小数表示。
期望是指一次随机试验中，所期待获得的数值，可以用公式E(X)=∑P(Xi)X i 来表示。
方差是指一组数据与其期望的差的平方值的平均数，可以用公式D(X)=E[X-E(X)]^2来表示。
标准差是方差的平方根，可以用公式σ=sqrt(D(X))来表示，α 和β 之间的数即为随机变量 X 的一个离散分布。
三、高考数学中的概率统计考点1.条件概率条件概率是指在某一事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
在高考数学中，条件概率经常被用来解决概率计算问题，如计算A事件在B事件发生的情况下的概率等。
通常来说，条件概率用公式P(A|B) = P(AB) / P(B) 来表示。
2.独立事件独立事件是指两个或多个事件之间不相互影响，即一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
在高考概率统计中，考生需要掌握如何判定两个事件是否独立，以及如何根据独立事件的性质计算概率。
3.随机变量随机变量是指变量的取值不确定，以概率的形式来描述的变量。
高考概率统计中，随机变量通常用于求期望、方差、标准差等常见的概率统计方法。
四、概率统计的应用概率统计理论在现实生活中有着广泛的应用，在自然科学、社会科学、医学、经济学、政治学等领域都有重要的地位。
《概率论与数理统计》1.4条件概率
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36Βιβλιοθήκη 样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
概率与统计中的事件概率与条件概率
概率与统计中的事件概率与条件概率在我们的日常生活和各种科学研究中，概率与统计这门学科发挥着极其重要的作用。
而其中的事件概率和条件概率，更是理解和解决许多实际问题的关键概念。
首先，咱们来聊聊什么是事件概率。
简单说，事件概率就是某个事件发生的可能性大小。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率就是 05。
那这个 05 是怎么来的呢？因为硬币只有正反两面，而且质地均匀，所以出现正面和反面的机会是均等的，各占一半，也就是 05。
再比如，从一副扑克牌（除去大小王）中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是 1/4。
因为一副牌除了大小王一共有 52 张，其中红桃有 13 张，所以抽到红桃的可能性就是 13÷52 ＝ 1/4。
那事件概率有什么特点呢？它的值总是在 0 到 1 之间。
0 表示这个事件绝对不会发生，1 表示这个事件肯定会发生。
接下来，咱们再看看条件概率。
条件概率是在某个给定条件下，某个事件发生的概率。
举个例子，假设一个班级里，男生有 20 人，女生有 30 人，数学考试及格的有 35 人，其中男生及格的有 15 人。
现在，如果已知抽到的是男生，那么他数学考试及格的概率就是条件概率。
计算条件概率有一个专门的公式，叫做贝叶斯公式。
不过，咱们先不用那么复杂的公式，还是通过例子来理解。
就拿刚才班级的例子来说，条件概率就是在已知是男生的情况下，及格的概率。
男生一共有 20 人，其中及格的有 15 人，所以条件概率就是 15÷20 ＝ 075。
条件概率和事件概率有什么关系呢？其实，条件概率可以看作是对事件概率的一种修正。
当我们知道了一些额外的条件信息后，对原来事件发生的概率就有了新的估计。
比如说，在一个抽奖活动中，总共有 1000 个号码，其中只有 100个号码能中奖。
如果我们不知道任何其他信息，那么随便抽取一个号码中奖的概率就是 100÷1000 ＝ 01。
但是，如果我们知道这个号码是在前 100 个抽取的，那么中奖的条件概率可能就会有所不同。
概率、条件概率
概率、条件概率概率和条件概率是概率论的基础概念，也是数学、统计学、经济学、工程学等许多学科的重要内容。
概率是描述一个事件发生可能性的度量，而条件概率则是指在已知另一事件的前提下，某一事件发生的可能性。
概率是一个介于0和1之间的数值，表示一个事件发生的可能性。
0表示绝对不可能，1表示一定会发生。
例如，丢骰子时，每个面的概率都是1/6，因为每个面出现的可能性都是相等的。
概率的计算可以采用经典概率、几何概率和统计概率三种方法。
经典概率是指均匀随机试验中，某一事件发生的可能性等于有利结果数目除以总结果数目。
几何概率则是指对于连续型随机变量，其概率可以通过求该变量落在某一区间的概率密度函数积分得到。
统计概率则是根据数据进行计算，通过频率估计真实概率。
条件概率是指在已知另一事件的前提下，某一事件发生的可能性。
例如，假设某市场上借款失败的概率为2%，而同时该市场上有70%的人已经成功借到钱。
那么在这样的情况下，成功借到钱的人中有多少人的借款失败了呢？这时需要计算条件概率。
假设成功借到钱的人数是100，则有2%的人失败了，因此，成功借到钱但借款失败的概率就是2/100=2%。
条件概率的计算可以采用贝叶斯公式和全概率公式两种方法。
贝叶斯公式是计算后验概率的公式，全概率公式则是利用关联事件的概率来计算另一个事件的概率。
概率和条件概率应用广泛，例如在金融、医学、物理学等许多领域都有重要的应用。
例如在金融领域中，利用随机过程和概率模型对股票价格变化进行预测，帮助投资者制定投资策略。
在医学领域中，利用概率模型对疾病的传播规律以及疾病与环境、生活等因素之间的关系进行研究。
在物理学领域中，利用概率模型对量子力学中的微观粒子进行描述和预测。
总之，概率和条件概率是概率论的基础概念，也是数学和其他学科的重要内容。
这些概念不仅应用广泛，而且在处理实际问题时也起着关键的作用。
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结概率与统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
它们是研究随机现象的规律性和统计规律的数学方法。
本文将对概率与统计的基础知识点进行总结，并介绍其应用领域。
一、概率1. 概率的基本概念概率是事件发生的可能性大小的度量。
其中，随机试验是指具有不确定性的实验，样本空间是指该实验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集。
2. 概率的计算规则概率的计算通常使用频率来估计，频率是指在大量重复试验中某一事件发生的次数与总试验次数之比。
根据频率计算概率的规则有加法规则和乘法规则。
3. 条件概率与独立事件条件概率是指事件A在事件B发生条件下发生的概率，表示为P(A|B)。
独立事件是指两个事件互不影响，其概率的乘积等于各自概率的积。
4. 事件的组合与排列组合是指从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的方式数，用C(n,m)表示。
排列是指从n个不同元素中按一定顺序取出m个元素（m≤n）的方式数，用P(n,m)表示。
二、统计1. 统计的基本概念统计是指通过收集、整理和分析数据来描述和推断总体的方法。
其中，总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分。
2. 数据的表示与整理数据可以使用表格、图表等形式进行表示。
常用的图表有条形图、饼图、折线图等。
数据的整理包括频数分布、频率分布等。
3. 统计指标统计指标是对数据进行度量和描述的工具，常用的统计指标有均值、中位数、众数、标准差等。
均值是指一组数据的算术平均值，中位数是指一组数据中居于中间位置的数值，众数是指一组数据中出现频次最高的数值。
4. 抽样与推断抽样是从总体中随机抽取样本的方法。
通过对样本的分析，可以对总体进行推断。
常用的推断方法有参数估计和假设检验。
三、概率与统计的应用领域1. 自然科学概率与统计在物理学、化学、生物学等自然科学中有广泛应用。
例如，在物理学中，概率与统计可以用来描述微粒的运动规律；在化学中，可以用来研究物质反应的速率与产率；在生物学中，可以用来研究生物种群的数量与分布。
概率论与数理统计条件概率
C72 2 C10 1 2 C3 2 1 2 C10
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例3.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？ 解: 设A={活到20岁}，B={活到25岁} 则所求概率为 P ( B | A) 由于 A
(2)如果 A、B 相互独立,则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也相互独立。
AB，所以有 证明: 因为A B=B－AB，且 B
P( AB) P(B AB) P(B) P( AB)
P( B) P( A) P( B)
P(B)[1 P( A)] P( A)P(B) ,
解: P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7。
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结束
例5.100个零件中有10次品，每次任取一件，取后不放回。 (1)连取两次，求两次都取得正品的概率； (2)连取三次，求第三次才取得正品的概率。
解：设Ai={第i次取得正品}，i=1，2，3。
结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P( AB) P( A) P( B) P( AC) P( A) P(C ) PBC P( B) P(C ) P( ABC) P( A) P( B) P(C )
解：设A＝{取出1个玻璃球}，B＝{取出1个红球}． (1)P(A)=10/20=1/2
(2)P(B|A)=6/10
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P ( B | A)
自考概率论与数理统计(经管类)自学资料
自考概率论与数理统计（经管类）自学资料第一章随机事件与随机事件的概率1.1 随机事件例一，掷两次硬币，其可能结果有：｛上上；上下；下上；下下｝则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。
引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：｛1，2，3，4，5，6｝则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。
从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。
例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。
（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。
（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A ，记作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。
∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
所以A发生则必然导致B 发生。
显然有（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科，它在自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计主要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
我们通常用大写字母A、B、C 等来表示。
随机事件的关系包括包含、相等、互斥（互不相容）和对立等。
2、概率的定义概率是用来度量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的古典定义是：如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
概率的统计定义是：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定地接近于某个常数 p，就把 p 称为事件 A 的概率。
3、概率的性质概率具有非负性（0 ≤ P(A) ≤ 1）、规范性（P(Ω) ＝ 1，其中Ω 表示样本空间）和可加性（对于互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) ＝ P(A) ＋P(B)）。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为 P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件A 和B 同时发生的概率。
2、乘法公式乘法公式有两种形式：P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 和 P(AB) ＝P(B|A)P(A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B₁，B₂，，Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝1, 2,， n），则对于任意事件 A，有 P(A) ＝Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) 。
2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A) 和 P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)（i ＝ 1, 2,，n），则对于任意事件 Bᵢ（i ＝ 1, 2,， n），有 P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)／Σ P(Bₙ)P(A|Bₙ) 。
概率论与数理统计 第三节 条件概率与独立性
一、条件概率
4. 条件概率的计算
P ( AB ) 1) 用定义计算 P ( A | B ) P( B)
2)用缩减的样本空间计算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 掷骰子
1 P(A|B) = 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
一、条件概率
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少?
一、条件概率
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 P ( AB ) (1) P( A | B) P( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此 点必属于AB. 由于我们已经知 道B已发生, 故B变成了新的样 本空间 , 于是有(1).
A={取到一等品}， B={取到正品} P(A ) =3/10，
3 10 P ( AB ) 3 P(A|B) 7 10 P( B) 7
一、条件概率
A={取到一等品}， B={取到正品}
P(A)=3/10， P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件 产品中一等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上 “事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题.
故抓阄与次序无关.
二、乘法公式
练习3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下 打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落 下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的 概率.
高中数学《统计》与《概率》知识点
高中数学《统计》与《概率》知识点高中数学的《统计》和《概率》是数学领域中的两个重要分支，它们是数据分析、预测和决策制定等实际问题中必不可少的工具。
下面将详细介绍这两个知识点。
一、统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的学科。
统计学的主要任务是从已有的数据中得出结论，进而得到有关总体的信息。
统计学的主要内容包括：1.描述统计：通过数值特征描述数据的中心位置、离散程度等。
描述统计包括以下几个方面：(1)集中趋势：主要有均值、中位数和众数。
均值是一组数据的平均值，中位数是一组数据中处于中间位置的数值，众数是一组数据中出现频率最高的数值。
(2)离散程度：主要有极差、方差和标准差。
极差是一组数据中最大数与最小数的差值，方差是各个数据与均值的差值的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
(3)分布形状：主要有正态分布、偏态分布和峰态分布等类型。
2.探索性数据分析：根据数据特征进行初步探索，主要包括绘制直方图、饼图、箱线图等工具来分析数据分布和异常值。
3.概率论：概率是描述随机事件发生可能性的数值，涉及到概率的计算、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等概念。
(1)概率的定义与性质：概率的定义有经典概率和条件概率等。
经典概率是指在等可能的情况下，一些事件发生的概率。
条件概率是指在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
(2)随机变量与概率分布：随机变量是具有随机性的数值，可分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量取有限或可数个数值，其概率分布函数称为概率分布列；连续随机变量在一些区间上取值，其概率分布函数称为概率密度函数。
(3)大数定律与中心极限定理：大数定律是指随着试验次数的增加，频率逼近概率。
中心极限定理是指多个独立随机变量之和的分布近似于正态分布。
4.统计推断：通过样本数据推断总体特征，主要有参数估计和假设检验。
(1)参数估计：根据样本数据估计总体参数，主要有点估计和区间估计。
点估计是用一个数值来估计总体参数，区间估计是用一个区间来估计总体参数，有置信水平的概念。
概率统计作业02——条件概率与事件独立性
概率统计作业02——条件概率与事件独立性 提要：①条件概率：在条件A 发生的条件下，B 发生的概率：()(|),()0()P AB P B A P A P A =>; ②乘法公式：()()(|),()0P AB P A P B A P A =>；③全概率公式：设12,,,,n A A A 两两互斥，12n B A A A ⊂,()0,1,2,i P A i >=，则 1212()[()]()n n P B P A A A B P A B A B A B == 11()()(|)i i i i i P A B P A P B A ∞∞====∑∑★全概率公式的思想：实质上是将事件B ,用两两互斥一组事件划分成一系列两两互斥的子事件之和，而这些子事件的概率容易求得，达到化难为易的目的.④贝叶斯公式：设12,,,,n A A A 两两互斥，12nB A A A ⊂,()0,1,2,i P A i >=，()0P B >, 则 1()()(|)(|)()()(|)i i i i i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ∞===∑. 独立性：①两事件,A B 相互独立：()()()P AB P A P B = ,【如果()0,P A >则,A B 相互独立⇐⇒()(|)P B P B A =, 这是独立的真正的含义】;②三事件,,A B C 独立⇐⇒任意两个事件相互独立，且()()()()P ABC P A P B P C =；③n 个事件12,,,n A A A 相互独立⇐⇒任意k (2,3,,1)k n =-个事件相互独立，且1212()()()()n n P A A A P A P A P A =；④如果,A B ；,A B ;,A B ;,A B 这四对事件中有一对事件相互独立，则其余各对中两事件也相互独立.⑤如果()0P A =,则A 与任意事件B 独立，即概率为零的事件与其它任意事件都独立.【0()()0()0()()P AB P A P AB P A P B ≤≤=⇒==】★注意：,A B 独立与,A B 互斥的区别！1. 设111(),(|),(|),432P A P B A P A B ===求()P A B . 2. 设袋中有20个白球，10个红球，从中每次取一个球，看后放回，且再放入5个与取出的球同颜色的球. 记i A 表示第i 次取到红球，1,2i =.(1) 1()P A =_____, 1()P A =______, 21(|)P A A =______, 21(|)P A A =______；(2) 求第二次取到红球的概率;(3) 已知第二次取到红球，求第一次取到白球的概率.3. 据经验某种机器使用寿命超过20年的概率为0.8, 超过30年的概率为0.5. 已知一台这类机器已经使用20年，分别求它寿命至少还有10年的概率及在此后10年之内损坏的概率.4. 设某种产品整箱出售，每箱20只. 各箱有0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.15,0.05. 顾客购买前，由售货员任取一箱，顾客从中任取4只，若4只中无残次品，则买下该箱. 求（1）顾客买下了该箱的概率；（2）已知顾客买下了该箱产品，该箱确实没有次品的概率.【提示： 记i A 表示取到的箱中有i 件残次品，0,1,2.i = B 表示顾客买下该箱.】5.【2019-2020（1）】某人赶去某地参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车去的概率.【分别记乘火车、汽车、轮船、飞机为,,,A B C D ,记迟到为E 】6. 设袋中有10个白球，2个红球.(1) 每人从中任取一个球，不放回. A 表示第一人抽到红球，B 表示第二人取到红球，则,A B 相互独立吗？为什么？(2) 每人从中任取一个球，看后放回. A 表示第一人抽到红球，B 表示第二人取到红球，则,A B 相互独立吗？为什么？7. 设事件,,A B C 相互独立，且()0.1,()0.2,()0.3P A P B P C ===,求(1) ,,A B C 至少有一个发生的概率； （2）,,A B C 至多有一个发生的概率.8. 设n 人独立地向某一目标射击，每人一次，命中率均为0.4, 问n 至少多大，才能保证目标被命中的概率超过0.99？9. 设部件,,a b c 的故障率分别为0.1,0.2,0.3，每个部件工作是否正常相互独立，连接方式如图所示. 求系统AB 的可靠性(即系统AB 正常工作的概率).。
自考-概率论与数理统计课件(经管类)
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任何事件A和B，有P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理在统计推断、决策分析和机器学习等领域 有广泛的应用。
贝叶斯定理的推导
贝叶斯定理可以通过条件概率的定义和全概率公式进 行推导。
02 随机变量及其分布
离散随机变量
定义
离散随机变量是在一定区间内取有限个值的随机变量，通 常用整数或离散值表示。
04 数理统计基础
样本与抽样分布
总体与样本
总体是研究对象的全体，样 本是从总体中抽取的一部分 。
随机抽样
随机抽样是从总体中按照随 机原则抽取一部分个体的方 法。
抽样分布
抽样分布是描述样本统计量 的分布情况。
参数估计
点估计
点估计是利用样本数据对总体参数进行估计的 方法。
区间估计
区间估计是基于点估计，给出总体参数可能存 在的区间范围。
性质
随机变量的函数的概率分布可以 通过对原随机变量的概率分布进 行相应的运算得到。
03 数字特征与特征函数
期望与方差
期望
期望是概率论中用来度量随机变量取值的平均水平的数学工具，常用符号E表示。期望的计算公式为 E(X)=∑XP(X)，其中X是随机变量，P(X)是随机变量取各个可能值的概率。
方差
方差是用来度量随机变量取值分散程度的数学工具，常用符号D表示。方差的计算公式为 D(X)=E[(X−E(X))^2]，其中E(X)是随机变量的期望值。
市场调查数据分析
调查问卷设计
基于概率论与数理统计原理，设计有 效的调查问卷，确保数据收集的准确
性和代表性。
数据处理与分析
利用统计分析方法对市场调查数据进 行处理和分析，提取有价值的信息，
概率的计算方法
概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在统计学、经济学、生物学等领域中，概率计算是非常常见和关键的技巧。
本文将介绍一些常用的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。
一、基本概率计算法基本概率计算法是概率计算的基石，通常由两部分组成：事件的可能数和总的可能数。
事件的可能数指的是满足某一特定条件的结果个数，总的可能数指的是所有可能结果的个数。
通过计算事件的可能数与总的可能数的比值，即可得到概率的估计。
例如，求一副扑克牌中从中抽出一张牌的概率。
首先，我们需要确定事件的可能数。
一副扑克牌中共有52张牌，因此抽取一张牌的可能数为52。
接下来，我们需要确定总的可能数，即一副扑克牌中所有抽取1张牌的可能数，也是52。
因此，这个事件的概率为1/52。
二、条件概率计算法条件概率计算法是指在已知某一条件下，事件发生的概率。
条件概率计算通常涉及到条件事件和事件的交集。
条件事件指的是事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。
它的计算方法是计算事件A与事件B的交集的大小除以事件B的大小。
例如，在一个班级中，有30%的学生是女生，而其中有20%的女生戴眼镜。
要求计算一个随机选到的戴眼镜的学生也是女生的概率。
首先，我们需要计算戴眼镜的女生的个数，即将30%与20%的交集乘以总人数。
然后，我们计算所有戴眼镜的学生的个数，将其除以总人数。
最后，将两个数量相除，即可得到概率的估计。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率计算中的重要工具，用于计算一个事件在另一个已经发生的事件下的条件概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
贝叶斯定理在概率计算中有着广泛的应用，包括医学诊断、搜索引擎优化等。
四、排列组合排列和组合是概率计算中常用的方法，用于计算各种可能性的数量。
概率与统计掌握难点与常见题型
概率与统计掌握难点与常见题型概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域中。
然而，对于很多学生来说，概率与统计常常是一个难以掌握的主题。
本文将介绍概率与统计的难点所在，并针对常见的题型给出解题思路和方法。
一、概率与统计的难点概率与统计的难点主要体现在以下几个方面：1. 抽样方法的选择：在统计中，抽样是一项关键步骤，直接影响到数据的可靠性和准确性。
然而，学生常常对于不同的抽样方法选择不当，导致结果失真。
2. 概率的运算：概率的运算是概率与统计中的重点内容，但对于很多学生来说，概率的运算常常是一个困难的问题。
特别是在涉及到复杂事件的概率计算时，学生容易犯错或陷入死胡同。
3. 解读统计图表：在概率与统计中，统计图表是一种常见的数据展示方式。
然而，学生往往在解读统计图表时存在困难，无法准确理解数据的含义，影响到问题的解答。
4. 条件概率的计算：条件概率是概率与统计中的重要内容之一，涉及到事件在给定条件下发生的概率。
然而，学生常常对条件概率的计算方法不熟悉，无法准确应用。
二、常见题型及解题思路1. 概率计算题：概率计算题是概率与统计中的基础题型，通常涉及到单个事件的概率计算。
解题时，可以根据事件的定义和概率的性质进行计算。
例如，计算掷骰子出现奇数的概率，可以将奇数的可能性个数除以总的可能性个数。
2. 条件概率题：条件概率题是概率与统计中的常见题型，要求计算给定条件下事件的概率。
解题时，可以利用条件概率的定义和公式进行计算。
例如，计算在已知某人患病的情况下，某检测结果为阳性的概率，可以将阳性结果所对应的概率除以患病的概率。
3. 抽样与估计题：抽样与估计题是统计中的常见题型，要求通过对样本的观察和分析来对总体进行推断。
解题时，可以利用经验和统计方法进行估计和推断。
例如，通过抽样调查得到的数据，推断全体学生中女生的比例。
4. 统计图表题：统计图表题要求对给定的图表进行分析和解读。
解题时，需要仔细观察图表，理解图表所呈现的数据，并用正确的数据分析方法进行解答。
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1 9 1 7 1 1
3 .
10 10 2 200
条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？
因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是 概率。
条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如 A)发生的概率。条件概率P(A∣B)与P(A)的区别就是在E的条件上增加 了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。
§1.4 条件概率
一、条件概率 对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的。以前的讨论总是假定 除此之外再无别的信息可供使用。可是，有时我们却会碰到这样的情况， 即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。例如考虑有两个 孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子(依大小排列)的性别为(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一样的。若以A记随机选 取的这样一个家庭中有一男一女这一事件，则显然P(A)=1/2，但是如果我 们预先知道这个家庭至少有一个女孩，那么，上述事件的概率便应是2/3。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率满足概率定义中的三个基本性质
⑴非负性：对于件S，有P(S∣A)=1；
⑶可列可加性：设B1 ，B2 ，… 两两互不相容的事件，
即对于i≠j, BiBj= ,i,j=1,2, …,则有
P Bi A P(Bi A).
分别表示事
P( A1A2 A3 A4 ) P( A4 A1A2 A3 )P( A3 A1A2 )P( A2 A1)P( A1) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
例17 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1／2，若第一次落 下未打破，第二次落下打破的概率为 7／10，若前两次落下未打破，第三次落 下打破的概率为 9／10。试求透镜落下三次而未打破的概率。
⑴BiBj=,i≠j,i,j=1,2, …,n; ⑵B1∪B2∪…∪Bn=S, 则称B1,B2, …Bn为样本空间S的一个划分。 全概率公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件， B1,B2，…,Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2, …,n),则 P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+…+P(A∣Bn)P(Bn).
例16 设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放 回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求 第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解 以Ai(i=l，2，3，4)表示事件“第i次取到红球”，则A3 , A4 件第三、四次取到白球，所求概率为
解 以Ai (i 1,2,3)表 示 事 件 “ 透 镜 第 i 次 落 下 打 破 ” ， 以B 表 示 事 件 “ 透 镜 落 下 三次 而 未 打 破 ” 。 因 为B A1 A2 A3， 故 有
P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 )
解 易知
PA 3 , PAB 3 2 1
4
43 2
按条件概率的定义，得条件概率
P(B A) P( AB) 1 2 2 . P( A) 3 4 3
也可以直接按条件概率的含义来求P(B∣A)。我们知道，当A发生以后，
只剩下2只一等品，1只二等品。
P( B A) 2 . 3
练习四 若事件A与B互斥，且P(B) 0，则
条件概率P(A∣B)与积事件概率P(AB)有什么区别？
P(AB)是在样本空间S内，事件AB的概率，而P(A∣B)是在试验E增 加了新条件B发生后的缩减样本空间SB中计算事件A的概率。虽然都是 A、B同时发生，但两者是不同的，有P(AB)＝P(B)P(A∣B)，仅当P(B) ＝P(S)＝1时，两者相等。
P( A B) P( A) 1 P(B).
解 P( A B) P( AB) P(B) P( A AB) P(B)
P( A) P( AB) 1 P(B) P( A) 1 P(B).
二、乘法定理
设P(A)>0，则有 P(AB)=P(B∣A)P(A) 若P(B)>0，则有 P(AB)=P(A∣B)P(B) 上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。 可以把乘法定理推广到任意n个事件之交的场合：设A1,A2,…,An为n个事件， n≥2,且 P(A1A2…An-1）>0，则有 P(A1A2…An）=P(An∣A1A2…An-1）P(An-1∣A1A2…An-2）…P(A2∣A1）P(A1）
三、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的关键是建立 样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组)，然后计算各个概率 和条件概率，最后代入全概率公式。它是求复杂事件概率的有力工具。
样本空间的划分的定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2，…,Bn为E的 一组事件。若
两种情况下算出的概率不同。这是因为在第二种情况下，我们多知道 了一个条件：事件B(这一家庭至少有一女孩)发生，因此我们算得的概率事 实上是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，这个概率我们 将记之为P(A︱B)。
条件概率的定义
设A,B是两个事件，且P(A)>0，称
P(B A) P( AB) P( A)
i1
i1
可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重 要结果都适用于条件概率。例如：
P( B) 0
P( A B) 1 P A B
P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B)
特别当B=S时，条件概率化为无条件概率。
例15 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两 次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为第一次取到的是一等 品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(B∣A)。
全概率公式的证明
证明 因为事件B1,B2，…,Bn时样本空间的一个划分，即Bi两两互不相容， P(Bi)>0(i=1,2, …,n)，而且