八年级数学下册1第1课时直角三角形的性质和判定教案湘教版

第1章直角三角形

1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

第1课时直角三角形的性质和判定

1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)

2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)

一、情境导入

在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器

作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．

二、合作探究

探究点一：直角三角形两锐角互余

如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF 交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于( )

A．110° B．100° C．80° D．70°

解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.

方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形

如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形．

解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝1

(180°－∠BCD )，∠

F ＝12

(180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证．

证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝1

2(180°－∠ABF )．同理，

∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12(∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD

＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－1

×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形．

方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是

AB 、AC 的中点．

(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分AD .

解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝

AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线

段的垂直平分线上”证明即可．

(1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝1

2×10＝5，DF ＝AF

＝12AC ＝1

×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18； (2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .

方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点四：直角三角形性质的综合运用

【类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系