高二上学期数学练习题

[A 基础达标]

1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )

A ．0，π2，π，3π

2，2π B ．0，π4，π2，3π

4，π

C ．0，π，2π，3π，4π

D ．0，π6，π3，π2，2π

3

解析：选B ．令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π

4，π，故选B ．

2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )

A ．重合

B ．形状相同，位置不同

C ．关于y 轴对称

D ．形状不同，位置不同

解析：选B ．根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．

3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同

B ．介于直线y ＝2与直线y ＝－2之间

C ．关于x 轴对称

D ．与y 轴仅有一个交点

解析：选C .函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称．

4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选B ．由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．

5．不等式cos x <0，x ∈ [0，2π]的解集为( )

A .⎝

⎛⎭

⎪⎫π2，3π2 B ．⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤π2，3π2

C .⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2 D .⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，2π 解析：选A .由y ＝cos x 的图象知，

在[0，2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，3π2.

6．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由正弦函数图象得－1≤sin x ≤1， 所以－1≤2m ＋1≤1，所以m ∈[－1，0]． 答案：[－1，0]

7．用“五点法”作函数y ＝5＋3cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，五

个关键点分别是________，________，________，________，________．

解析：分别令x ＝0，π2，π，3π

2，2π得y ＝8，5，2，5，8，故五

个关键点分别为(0，8)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5，(π，2)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2，5，(2π，8)． 答案：(0，8) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5 (π，2) ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π2，5 (2π，8)

8．函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．

解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.

答案：4π

9．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间： ①sin x >0，②sin x <0.

(2)直线y ＝1

2与y ＝－sin x 的图象有几个交点？

解：利用五点法作图．

(1)根据图象，可知图象在x 轴上方时，－sin x >0， 在x 轴下方时，－sin x <0，

所以当x ∈(－π，0)时，－sin x >0，sin x <0； 当x ∈(0，π)时，－sin x <0，sin x >0. (2)画出直线y ＝1

2，由图象可知有两个交点．

10．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象． 解：列表如下：

描点连线，如图所示．

[B 能力提升]

1．在[0，2π]上，满足sin x ≥1

2的x 的取值范围是( ) A .⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π6，56π

C .⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π6，23π D .⎣⎢⎡⎦

⎥⎤56π，π 解析：选B ．在[0，2π]上作出y ＝sin x 和y ＝1

2的图象(如图所示)，

由图知sin x ≥1

2时，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π6，5π6.

2．函数y ＝sin x 的图象和y ＝x

2π的图象交点的个数是________． 解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：

由图可知交点个数是3. 答案：3

3．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R . 解：(1)y ＝|sin x |

＝⎩

⎪⎨⎪⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sin x ，2k π＋π

(2)y ＝sin|x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，

其图象如图所示，

4．(选做题)方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，π上有两个实数根，求a

的取值范围．

解：首先作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π3，π的图象，然后再作出y ＝1－a 2的

图象，如果y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点，方程sin x ＝1－a 2，x ∈⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，π就有两个实数根．

设y 1＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，π，y 2＝1－a 2. y 1＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，π的图象如图．

由图象可知，当32≤1－a

2<1，即－1

⎥⎤

π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π3，π上有两个实根．