插值方法

比如对引例1的计算： 解 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 。采 用分段线性插值计算F(2.3456789) 。 取区间[xi-1,xi]=[2.34,2.35] ，被插值函数f(x)=F(x) 。则 yi-1=F(xi-1)=F(2.34)=0.99036; yi=F(xi)=F(2.35)=0.99061. 利用如上分段线性插值公式得到： F(2.3456789)=q(2.3456789)=0.9905。
xi 1 x xi ，i=1,2,…,n
分段线性插值具有良好的收敛性，即
lim q ( x) f ( x)
n
f(x)为被插值函数
用分段线性插值计算时，只用到x左右两个节点，计算量与节 点个数无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。实际上 用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了。
f ( x j ) y j ( j 0,1, n)
* * y f ( x ). 再用 f ( x) 计算插值，即
y
*

y0
y1




x
*
x0 x1
xn
二、一维插值方法
一、拉格朗日多项式插值 从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数。
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。 求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.
2、分段三次埃尔米特插值 除了要求在插值节点的函数值给定外，还要求在节点处的导数 值为给定值 ：
设函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的函数值为 , y1 , , y n 。 y0,y1,…,yn，导数值为 y0 求一个分段( 共 n段)多项式函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, ，i=0,1,…,n.
三、二维插值方法
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点
其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y



0
x
已知n个节点 其中 构造一个二元函数 互不相同， 通过全部已知节点, 即
故令Pn ( x) Li ( x) yi即是我们寻求的插值函数
i 0
n
用matlab编写拉格朗日插值函数：[lagr1.m] function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for k=1:m z=x(k); s=0; for i=1:n p=1.0 ; for j=1:n if j~=i p=p*(z-x0(j))/(x0(i)-x0(j)); end end s=p*y0(i)+s; end y(k)=s; end
m边界 条件 给定两个边界点的一阶导数值m0,mn 即 S (x0)=m0, S (xn)=mn。 M边界条件 给定两个边界点的二阶导数值M0,Mn 即 S (x0)=M0, S (xn)=Mn。 最常用的是自然边界条件：M0=Mn=0
周期性边界条件 对周期函数，在自然满足S(x0)=S(xn)时，令两个边界的一阶 导数和二阶导数分别相等：即 S (x0)=S (xn)， S (x0)= S (xn)
参数个数与方程个数 参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。 方程：1) 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个 2) 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得 出其左右导数相等，因此，每个节点产生2个方程，共 计2(n-1) 个 。
现在得到了4n-2个方程，还差两个。 为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是 所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点 各一个。
q ( xi ) y i
每一小段上应满足四个条件(方程)，可以确定四个待定参数。三 次多项式正好有四个系数，所以可以考虑用用三次多项式函数 作为插值函数，这就是所谓的分段三次埃尔米特插值
, y1 , , y n y0
三、三次样条插值
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数 ( 曲 线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光 滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。三次埃尔 米特插值具有一阶的光滑性。 是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光 滑性的方法？ 三次样条插值就是一个很好的例子。 样条：spline 来源于可变形的样条工具，那是一种在过去造船和工 程制图时用来画出光滑形状的工具。此种工具画出的 曲线具有处处连续的曲率，即连续的二阶导数。
实验四、插值方法
一、插值思想简介
二、一维插值 三、二维插值 四、利用matlab进行插值计算 五、建模实例
一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到了
若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需要计 算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若干已知 的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
再用
计算插值，即
二维插值方法包括最邻近插值法、分 片线性插值、双线性插值、样条插值等一 系列类似的方法，常用于图像处理、温度 场计算、气压等压线和地图等高线的绘制、 计算机模拟和数字信号处理等多种方面。 具体插值方法和应用参考数值逼近， 本课采用matlab自带函数进行计算。
最邻近插值
y
( x1 , y2 )
对引例3利用拉格朗日插值法求解： x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x=0:0.05:15; y=lagr1(x0,y0,x); plot(x,y,x0,y0,'r*') axis([0,15,-17,3]) 得到结果：
三次样条函数的解法在计算方法和数值逼近的内容中 有详细的讨论，在此不做赘述。若我们使用二次多项 式构造样条函数，存在精确程度不够的问题，有时候 误差达不到要求，而高次样条的计算比较复杂，对于 一般的函数，我们采用matlab中自带的三次函数求解 已经足够。 matlab中还设计了样条工具箱（spline toolboxes），提 供了多种样条函数的建立，操作，绘制等功能。
例如，在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用 一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观 测数据与要求的不同而异。
曲线拟合
插值
信息技术中的图象重建、建筑工程的外观设计、化学工程 实验数据与模型分析、地理信息数据的处理、社会经济现象的 统计分析等都要用到插值的方法。
引例1、函数查表问题
求标准正态分布函数值F(2.3456789) 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 2.3456789接近2.35，故F(2.3456789)约等于0.99061 在对精度要求较高时，这种处理方法受到质疑
问题：利用一个表格给出的函数值，计算未给出的函数值
1 例、逼近函数y 1 x2
n=3; x0=linspace(-5,5,n); y0=1./(1+x0.^2); x=-7:0.4:7; y_L=lagr1(x0,y0,x); y_R=1./(1+x.^2); plot(x,y_R,'r*',x,y_L); axis([-6,6,-1.5 2]);
表1. 机翼断面下轮廓线上的部分数据 x 0 3 5 7 9 11 12 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
对每段曲线上的未知函数值，用相应的函数值来代替，并考虑衔接的光滑性
求解插值问题的基本思路：
构造相对简单的插值函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
三次样条函数 记为S(x), 它是定义在区间[a, b] 上的函数， 满足以下两个条件： 1). S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ； 2). 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处 的二阶导数连续。
问题：给定函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一个三次样条函数S (x)，使其满足：S (xi)=yi,i=0,1,…,n. 如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数？
第二片(上三角形区域)：(x, y)满足 y j1 y j y (x x i ) y i x i 1 x i 插值函数为： f ( x, y) f1 (f 4 f1 )( y y j ) (f 3 f 4 )( x x i )
注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区 域内。显然，分片线性插值函数是连续的；
引例2、绘制地图
测绘部门 测量的一组 数据 节点两两 连接
描点
地 图 的 边 界
对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替
引例3、机床加工
待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y)给出（在平面情 况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的 一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的（x, y） 坐标。表1给出的x, y数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得 到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需的数据，画出曲线。

o x0 xj-1 xj

xj+1
xn
x
简单的说，将每两个相邻 节点用直线连接起来，如 此形成的一条折线就是分 段线性插值函数。插值函 数在[xi-1,xi]上的表达式为：