插值方法

xi 1 x xi ，i=1,2,…,n
分段线性插值具有良好的收敛性，即
lim q ( x) f ( x)
n
f(x)为被插值函数
用分段线性插值计算时，只用到x左右两个节点，计算量与节 点个数无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。实际上 用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了。
实验四、插值方法
一、插值思想简介
二、一维插值 三、二维插值 四、利用matlab进行插值计算 五、建模实例
一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到了
若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需要计 算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若干已知 的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
三次样条函数 记为S(x), 它是定义在区间[a, b] 上的函数， 满足以下两个条件： 1). S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ； 2). 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处 的二阶导数连续。
问题：给定函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一个三次样条函数S (x)，使其满足：S (xi)=yi,i=0,1,…,n. 如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数？
解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 构造拉格朗日插值基函数：
( x x0 )( x x1 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) Li ( x) ( xi x0 )( xi x1 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn ) 1，i j 易知n次多项式Li ( x)满足Li ( x j ) ，i，j 0， 1， ...n 0，i j
故令Pn ( x) Li ( x) yi即是我们寻求的插值函数
i 0
n
用matlab编写拉格朗日插值函数：[lagr1.m] function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for k=1:m z=x(k); s=0; for i=1:n p=1.0 ; for j=1:n if j~=i p=p*(z-x0(j))/(x0(i)-x0(j)); end end s=p*y0(i)+s; end y(k)=s; end
再用
计算插值，即
二维插值方法包括最邻近插值法、分 片线性插值、双线性插值、样条插值等一 系列类似的方法，常用于图像处理、温度 场计算、气压等压线和地图等高线的绘制、 计算机模拟和数字信号处理等多种方面。 具体插值方法和应用参考数值逼近， 本课采用matlab自带函数进行计算。
最邻近插值
y
( x1 , y2 )
比如对引例1的计算： 解 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 。采 用分段线性插值计算F(2.3456789) 。 取区间[xi-1,xi]=[2.34,2.35] ，被插值函数f(x)=F(x) 。则 yi-1=F(xi-1)=F(2.34)=0.99036; yi=F(xi)=F(2.35)=0.99061. 利用如上分段线性插值公式得到： F(2.3456789)=q(2.3456789)=0.9905。
引例2、绘制地图
测绘部门 测量的一组 数据 节点两两 连接
描点
地 图 的 边 界
对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替
引例3、机床加工
待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y)给出（在平面情 况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的 一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的（x, y） 坐标。表1给出的x, y数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得 到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需的数据，画出曲线。
表1. 机翼断面下轮廓线上的部分数据 x 0 3 5 7 9 11 12 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
对每段曲线上的未知函数值，用相应的函数值来代替，并考虑衔接的光滑性
求解插值问题的基本思路：
构造相对简单的插值函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1, n)
* * y f ( x ). 再用 f ( x) 计算插值，即
y
*

y0
y1




x
*
x0 x1
xn
二、一维插值方法
一、拉格朗日多项式插值 从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数。
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。 求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.
对引例3利用拉格朗日插值法求解： x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x=0:0.05:15; y=lagr1(x0,y0,x); plot(x,y,x0,y0,'r*') axis([0,15,-17,3]) 得到结果：
n=3时 n=9时 n=15时
二、分段多项式插值 由于高次插值多项式的振荡缺陷，促使人们转而寻求简单的低 次多形式插值。分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干 个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值。 1、分段线性插值 设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知， 为 y0,y1,…,yn 。 要求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, i=0,1,…,n. 这n+1个点 x0,x1,…,xn 称为节点，q(x) 称为插值基函数 y
参数个数与方程个数 参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。 方程：1) 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个 2) 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得 出其左右导数相等，因此，每个节点产生2个方程，共 计2(n-1) 个 。
现在得到了4n-2个方程，还差两个。 为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是 所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点 各一个。
m边界 条件 给定两个边界点的一阶导数值m0,mn 即 S (x0)=m0, S (xn)=mn。 M边界条件 给定两个边界点的二阶导数值M0,Mn 即 S (x0)=M0, S (xn)=Mn。 最常用的是自然边界条件：M0=Mn=0
周期性边界条件 对周期函数，在自然满足S(x0)=S(xn)时，令两个边界的一阶 导数和二阶导数分别相等：即 S (x0)=S (xn)， S (x0)= S (xn)
2、分段三次埃尔米特插值 除了要求在插值节点的函数值给定外，还要求在节点处的导数 值为给定值 ：
设函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的函数值为 , y1 , , y n 。 y0,y1,…,yn，导数值为 y0 求一个分段( 共 n段)多项式函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, ，i=0,1,…,n.
( x2 , y2 )




( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )



O
x
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求。 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
y
(xi, yj+1) (xi+1, yj+1) (xi, yj) (xi+1, yj)
第二片(上三角形区域)：(x, y)满足 y j1 y j y (x x i ) y i x i 1 x i 插值函数为： f ( x, y) f1 (f 4 f1 )( y y j ) (f 3 f 4 )( x x i )
注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区 域内。显然，分片线性插值函数是连续的；
例如，在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用 一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观 测数据与要求的不同而异。
曲线拟合
插值
信息技术中的图象重建、建筑工程的外观设计、化学工程 实验数据与模型分析、地理信息数据的处理、社会经济现象的 统计分析等都要用到插值的方法。
三次样条函数的解法在计算方法和数值逼近的内容中 有详细的讨论，在此不做赘述。若我们使用二次多项 式构造样条函数，存在精确程度不够的问题，有时候 误差达不到要求，而高次样条的计算比较复杂，对于 一般的函数，我们采用matlab中自带的三次函数求解 已经足够。 matlab中还设计了样条工具箱（spline toolboxes），提 供了多种样条函数的建立，操作，绘制等功能。







x
O
将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次 简记为： f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4
分两片的函数表达式如下：
第一片(下三角形区域)： (x, y)满足
插值函数为： f ( x, y) f1 (f 2 f1 )( x x i ) (f 3 f 2 )( y y j )
1 例、逼近函数y 1 x2
n=3; x0=linspace(-5,5,n); y0=1./(1+x0.^2); x=-7:0.4:7; y_L=lagr1(x0,y0,x); y_R=1./(1+x.^2); plot(x,y_R,'r*',x,y_L); axis([-6,6,-1.5 2]);
q ( xi ) y i
每一小段上应满足四个条件(方程)，可以确定四个待定参数。三 次多项式正好有四个系数，所以可以考虑用用三次多项式函数 作为插值函数，这就是所谓的分段三次埃尔米特插值
, y1 , , y n y0
三、三次样条插值
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数 ( 曲 线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光 滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。三次埃尔 米特插值具有一阶的光滑性。 是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光 滑性的方法？ 三次样条插值就是一个很好的例子。 样条：spline 来源于可变形的样条工具，那是一种在过去造船和工 程制图时用来画出光滑形状的工具。此种工具画出的 曲线具有处处连续的曲率，即连续的二阶导数。

o x0 xj-1 xj

xj+1
xn
x
简单的说，将每两个相邻 节点用直线连接起来，如 此形成的一条折线就是分 段线性插值函数。插值函 数在[xi-1,xi]上的表达式为：
x xi x xi 1 q ( x) y i 1 yi xi 1 xi xi xi 1
引例1、函数查表问题
求标准正态分布函数值F(2.3456789) 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 2.3456789接近2.35，故F(2.3456789)约等于0.99061 在对精度要求较高时，这种处理方法受到质疑
问题：利用一个表格给出的函数值，计算未给出的函数值
三、二维插值方法
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点
其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点源自文库即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y



0
x
已知n个节点 其中 构造一个二元函数 互不相同， 通过全部已知节点, 即