全国高考立体几何体中与球有关的切接专题

立体几何体中与球有关的切接问题

球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．因为它的直观图比较难画，需要较强的空间想象能力，所以也成为同学们学习的难点。要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是一般过球心和多面体的特殊点和线作截面，把空间问题化为平面问题，再利用平面几何知识去寻找几何体中元素间的关系。主要有以下几种方法：

类型一 四面体的外接球问题

典例1．点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ，则该球的表面积为 A ．7π B ．14π C ．27π D ．3

147π 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．

【举一反三】已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若

4,BC BD ==090CBD ∠=，则球O 的表面积为（ ） A ．11π B ．20π C ．23π D ．35π

【变式训练】已知正三棱锥P ­ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．

类型二 三棱柱的外接球问题

典例2．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A ．48π

B ．32π C.12π D ．8π

【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面

111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．

【举一反三】设正三棱柱'''ABC A B C -中，'2AA =，AB =的表面积是_________________

类型三 四棱锥的外接球问题

典例3．已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆

为等腰直角三角形，PA PD ==P ABCD -外接球的表面积为（ ）

A ．10π

B ．4π C. 16π D ．8π

【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．

【举一反三】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A ．24316

π B ．8116π C.814π D ．274π 2.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．π B ．3π4

C ．π2

D ．π4 类型四 几何体的内切球问题

典例4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．

【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化的目的．

ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --.

则四面体ABCD 的内切球的半径为（ ）A ．1 B 1 D ．

2 【精选好题】

1. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）

A 2．已知C

B A 、、是球O 的球面上三点，2=AB ，32=A

C ， 60=∠ABC ，且棱锥ABC O -的体积为3

64，则球O 的表面积为（ ） A ．π10 B ．π24 C ．π36 D ．π48

3. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料

体积之比的最大值为 （ ）A 4．在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=， 22240BC AC +-=，若将其沿AC 折成直二

面角D AC B --，则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为（ ）

A ．16π

B ．8π

C ．4π

D ．2π

5．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球

心O 恰好在侧棱DA 上，DC= ） A. 254

π B.4π C. 16π D. 8π 6．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为

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π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )

A.

7．已知边长为的菱形ABCD 中，60A ∠=︒,现沿对角线BD 折起，使得二面角

A BD C --为120，此时点A ，

B ，

C ，

D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体

积为( )A.500π3

cm3 B.866π3cm3错误!未指定书签。 C.1372π3cm3

D.2048π3cm3

10．已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，060A ∠=，BC =，ABC PA 面⊥，2=PA ，