弹塑性力学-第3章 应变状态

第三章 应变状态理论

在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，

即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。

位移与线元长度、方向的变化

坐标与位移

设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即

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+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ

上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。 如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程

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+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ

式决定了一条曲线，曲线上各点Λ,,2

1*

*M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标(z y x ,,)末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用),,(ζηξ表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange 法Euler

法。Lagrange 描述法是用变 形前的坐标 (z y x ,,)做自变 量，而Euler 法则是用变形 后的坐标),,(ζηξ做自变量。 在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移u 、v 、

w 和应力ij σ。对于小变形一

般采用Lagrange 坐标法；而 对于大变形有时用Euler 法。 在数值计算中，通常采用矢量 来表示，因为要计算变形前后 两次应变的变化，所以用Euler 法比较方便。在以后的讨论中，

我们采用Lagrange 坐标法。 图 变形表示法

变形体的应变

设物体中变形前相距十分近的两点N M ,，变形后移位至**N M ,。变形前N M ,的坐标分别为),,(z y x M ，),,(dz z dy y dx x N +++，变形后**N M ,的坐标分别

),,(),,,(ζζηηξξζηξd d d N M +++**。那么，矢量MN 所表示的线元在物体变形

后由矢量**N M 表示线元。那么，MN 和**N M 的平方为

2222dz dy dx dS ++== (a)

2222ζηξd d d dS ++==* (b)

根据式，点*N 在x du u dx x d +++=+ξξ (c) 此处du 是因N M ,两点所产生的增量，将其在(z y x ,,)处展开为Taylor 级数，即

Λ+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2222

22222)()()(dz z u dy y u dx x u dz z u dy y u dx x u du (d)

略去(d)式中的高阶微量(2)dx ，…，并将(d)式代入(c)式，则可得 dz z

u

dy y u dx x u u dx x d ∂∂+∂∂+∂∂+++=+ξξ 由式知，u x +=ξ,所以 dz z

u

dy y u dx x u d ∂∂+∂∂+∂∂+=)1(ξ 同理可得

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∂∂++∂∂+∂∂=∂∂+

∂∂++∂∂=

dz z w dy y w dx x w d z v dy y v dx x v d )1()1(ζη

式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算dS 与*dS 之差，于是由(a)式和(e)式可得

)(222222

dzdx dydz dxdy dz dy dx dS dS zx yz xy z y x γγγεεε+++++=-* (f)

式中

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⎪⎪

⎪⎬⎫==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂====∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂====∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

xz zx xz zx

zy yz zy yz yx xy yx xy z y x z w

x w z v x v z u x u x w z u z

w

y w z v y v z u y u y w z v y w

x w y v x v y u x u x v y u z w z v z u z w y w y v y u y v x w x v x u x u εεγγεεγγεεγγεεε222222)()()(21)()()(21)()()(21222222222