高中数学 数列及数列的极限试题及答案

数列
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）．
A ．6
B ．7
C ．10
D ．11
（2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）．
A ．n
n a )1(1-+= B ．
2π
)1(sin 22
-=n a n
C ．π)1cos(1+-=n a n
D ．1
)1(1--+=n n a
（3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且
*)()1(1
221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）．
A ．365
B ．21
C ．17
D ．10
（4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列
C ．是公比为31
的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列
（5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152
（6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中，
n n a n ++=
11
，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）．
A ．9
B ．10
C ．99
D ．100
（8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则
n c
m a +的值为（ ）．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 （9）数列}{n a 中，已知
n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等
于（ ）．
A ．25
B ．50
C ．100
D ．150
（10）等比数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）．
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20 （11）在50到350之间的所有个位数字是1的整数的和为（ ）． A ．5 880 B ．5 539 C ．5 208 D ．4 877
（12）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）．
二、填空题：
（13）n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且05=S ，729=S ，则++++13121110a a a a
20a + ＝__________．
（14）在10到2000之间形如*)(2N ∈n n 的各数的和为__________．
（15）数列}{n a 中，1
)97(+⋅=n n n a ，则此数列的最大项为__________．
（16）已知数列}{n a 满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列}{n a 的前n 项和的公式为n S ＝__________．
三、解答题：
（17）在4与64之间插入三个正数a 、b 、c ，使4，a ，b 与b ，c ，64都成等比数列，且使a ，b ，c 成等差数列，求a 、b 、c 的值．
（18）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为n S ，5502=k S ． （Ⅰ）求a 和k 的值；
（Ⅱ）求数列}1{
n S 的前n 项和n T ．
（19）数列}{n a 为正项的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6 560，且在前n 项中数值最大的项为54．求这等比数列的首项1a 与公比q ．
（20）已知α 、β 、γ 都是锐角，
2tan 2
tan
3
γ
α
=，且2tan β ＝tan γ ，求证：α ，β ，
γ 成等差数列．
（21）在等比数列}{n a 中，1531=+a a ，前4项和为45．设
3log )5(1
22
+-=n n a n C ，试
问数列}{n C 中有没有最小值？若有，求出这最小项，并指明项数；若没有，说明理由． （22）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（Ⅰ）已知与A 型进口车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？
参考答案
一、选择题：
（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）C （9）B （10）B （11）A （12）B 提示：
（1）给出数列的一个通项公式是13-=n a n ．令5213=-n ，得n ＝7．
（3）在已知递推公式中令n ＝1，可得83=a ．再令n ＝2得
3654=
a ．
（4）n
n S 3=故31=a ，当n ≥2时，132-⋅=n n a ．
（5）由已知可求得
74=
d ，760
1=a ．
（6）由已知可得36)1(22821=+q q a ．故6)1(2
41=+q q a ，而
)1(24175q q a a a -=+． （7）n n a n -+=1，故11-+=n S n ．
（8）由已知有
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+==.2,2,
2c b n b a m ac b 消b 得（2m －a ）（2n －c ）＝ac ．
（9）由
211
0211≤
⇔≥-n n ．故当n ＝1，2，3，4，5时0>n a ，n ≥6时0<n a ．
（10）由11)1(41=--q q a 、31)1(81=--q q a 可得3114
8
=--q q ．故
24=q ，11-=q a ．
因此
)1)(1)(1()1)(1(2
16216120191817q q q q q q q a a a a a ++-=++=+++ ＝
16)1()()1)(1()(4442244=-=+-q q q q q ． （11）这些数可组成51为首项，341为末项的等差数列，且共有30个数．
（12）n 层的正三角钢管垛总共用钢管数为2)1(+n n ，这里求使100
2)
1(≤+n n ，
*N n ∈，且n 尽量大，经估算知n ＝19．
二、填空题：
（13）528 （14）2032 （15）54)97(4=a （16）)
3(232
n n +．
提示：
（13）
n n S n 1022
-=．所求为920S S -． （14）这些数组成以4
2为首项，2为公比，共7项的等比数列．
（15）
927)97(11n a a n n n -⋅
=-++，故n ＝1，2，3时，n n a a >+1；n ≥4时，n n a a <+1． （16）由)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，则1321)1(32--++++n a n a a a ＝ （n －1）n （n ＋1）（n ≥2）．
两式相减得()233≥+=n n a n ，且61=a ．于是
)(33*
Ν∈+=n n a n ． 三、解答题：
（17）设a ＝b －d 、c ＝b ＋d ．则
⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.64)(,4)(22
b d b b d b 解得d ＝15． 代入可得0225342
=+-b b ，故b ＝25，b ＝9（舍去）．
于是a =10，b =25，c =40． （18）（1）依题意有3a ＋a ＝8，故a ＝2．于是等差数列前三项为2，4，6，其首项为2，公差为2．
又由5502=k S ，得
550222)
1(2=⋅-+
k k k ．解得k ＝50．
（2）由（1）)1(22)1(2+=⋅-+=n n n n n S n ．111)1(11+-=+=n n n n S n ．
1111)111()3121()211(+=
+-=+-++-+-=n n
n n n T n ．
（19）若q ＝1，则有n n S S 22=与题意不符，故q ≠1．于是依题意有
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=--=--.
56061)1(,801)
1(211q
q a q q a n
n 两式相除，并化简可得081822=+-n n q q ．故81=n q 或1
=n q （舍去）．
由
81=n
q ，故q ＞1，所以数列}{n a 前n 项中，n a 最大，即54=n a ． 由5411==-n n q a a ，得
q q a n 541=，即q a 54811=． 再把81=n
q 代入801)
1(1=--q q a n 中可得11-=q a ．
由此解得21=a ，q ＝3．
（20）
βγγ
γ
γ
γ
γ
γ
α
γ
α
γ
αtan tan 2
1
2
tan 12
tan
2
tan 12tan
2
tan 2
tan
2
tan
12tan
2
tan 2
tan
2
4
3
==
-=
-+=
-+=
+．
且α 、β 、γ 均为锐角，故
2π20<
+<
γ
α，2π0<<β，于是βγ
α=+2，即α ，β ，
γ 成等差数列．
（21）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+.45)1(,15)1(3212
1q q q a q a 解得⎩
⎨⎧==.2,31q a ∴ 1
2
3-⋅=n n a ，n
n a 21223⋅=+，225)25(21022log )5(22
222--=-=-=n n n n C n n ．
又*
Ν∈n ，于是当n ＝2或3时，
n C 最小，为－12．
（22）（Ⅰ）因为2006年关税税款为2001年的41，故所减少的关税税款为
24
43
32=⨯（万元）．
所以2006年A 型车价格64－24＝40（万元）．
因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%，故B 型车价格≤40×90%＝36（万元）．
又2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价
2万元．
（Ⅱ）依题意，2001年存入33万元，5年到期时连本带息可得
5
)
8
1
1(
33%
.
+
⨯（万元）．而
5
)
8
1
1(
33%
.
+
⨯＞33（1＋5×0.018＋10×0.000324）＝36.07692（万元）．因此，能买一辆依（Ⅰ）中所述5年后降价为36万元以下的B型车．
数列的极限
【教学目标】
⒈认知目标①使学生加深对数列极限概念的理解.
②掌握数列极限的四则运算法则及运用条件.
③掌握求数列极限的一些常用方法.
⒉能力目标①培养学生观察抽象能力与严谨推理的能力.
②培养学生分析问题解决问题的能力.
⒊情感目标①激发学生勇于克服困难勤于探索的精神.
②培养学生严谨的学习态度，通过对问题转化培养辩证唯物主义观点. 【教学重点】运用数列的四则运算法则求数列的极限.
【教学难点】求含参数的式子的极限时，要注意对参数值的分类讨论.
【教学课型】复习课
【教学过程】
（一）数列极限概念的理解.
学生课前练习：
⑴已知
A
a
n
n
=
∞
→
lim
,则在区间
()ε
ε+
-A
A,外（ε为任意小的正常数）这数列{}n a的
项数为（填“有限项”或“无穷项”）⑵下列命题正确的是（）
①数列()
{}3
1n
-没有极限②数列
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
n
n
2
1
的极限为0③数列
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n
233的极限为3 ④ 数列()
⎪
⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ ⑶
()B
A b a
B b A a n n n n n n n +=+==∞
→∞
→∞
→lim lim ,lim 是的（ ）
A 充分必要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分又不必要条件
⑷ 212lim =⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则r 的取值范围是（ ） A －212
1<<r B 21->r C 21
>
r D 1-<r （5）
131
2lim 22--+∞→n n n n 的值为（ ） A －21 B －32 C 21 D 32
知识归纳：
1) 数列{}n a 的极限定义：
任给0>ε，存在N ＞0，当n>N 时，ε<-A a n 恒成立.记作A
a n n =∞→lim . 注意：①N 与ε有关.②A
a n n =∞→lim 的几何意义是当n>N 时，n a 对应的点全部落
在区间()εε+-A A ,之内.
2) 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，B
b n n =∞→lim .则
① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim
≠≠=∞→B b B A
b a n n n n .
注意：和与积必须是有限的。

3) 几个常用极限：
①
()
为常数
C
C
C
n
,
lim=
∞
→ . ②
lim=
∞
→n
C
n. ③
()1
.0
lim<
=
∞
→
q
q n
n.
4) 两种基本类型的极限：①
()
()
()⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
>
=
<
=
∞
→
1
,1
1
,1
1
lim
a
a
a
a
a n
n
或
不存在，
②
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
=
>
=
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
∞
→
)
(
)
(
)
(
lim
1
1
1
1
1
1
t
s
t
s
b
a
t
s
b
n
b
n
b
n
b
a
n
a
n
a
n
a
s
s
s
s
t
t
t
t
n
不存在
（二）数列极限的几种求法：例1求下列极限
①
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
+
∞
→2
2
2
9
18
9
lim
n
n
n
n
n
②
⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
∞
→2
2
2
2
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
lim
n
n
.
③
()1
3
1
2
3
1
4
3
2
lim
-
∞
→⋅
+
-
-
⋅
+
+
n
n
n
n n
n
n
n
. ④θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
n sin
cos
sin
cos
lim
+
-
∞
→
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
∈
2
,0
π
θ
.
评析：1)四则运算法则只对任意有限个数列可进行四则运算，①小题数列个数是无限的，不适用于四则运算法则，因此应先求和后求极限.
2)对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先求和(或积)后求极限.
3)分式的极限通常是分子分母同除以趋向∞
+较快的项.
4)求解含参数式子的极限时，应注意对参数进行分类讨论.
例2已知
1
1
lim
2
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
+
+
∞
→
b
an
n
n
n
，求实数a , b的值.
评析：这是一个求待定常数的极限逆向问题，一般都是从求极限入手建立关于
a, b 的方程组求解
例3 数列{}n a 是首项为1，公比为
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
<<20sin παα的等比数列，又()
n
n n a
a a
b 1
21 =，n n b b b S ++=21. 求n n S
∞→lim
评析：求一个数列前n 项和的极限主要是确定和的表达式.本题解题关键是先确
定{}n b 为等比数列，然后求和S n 的表达式，再求极限. (三） 归纳小结，提高认识：
⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.
⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
⑶求数列极限最后往往转化为()N m n m
∈1
或()1<q q n 型的极限.
⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m
n 或n
a .
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.
③利用已知数列极限（如() 01
lim
,10lim =<=∞→∞
→n q q n n n 等）.
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. (四）目标检测，反馈调节.
① 已知等比数列{}n a 的公比为q >1,则
n n n a a a a a a a a ++++++++∞→ 876321lim
等于( ) A) 5
q B) 5-q C) q D) 1
②
⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→2221374
lim n n n n n 的值为( )
A ） 65
B ） 43
C ） 21
D ） 23
③ n n n 31913112141211lim ++++++
∞→ 的值为 ④ ________211411311lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n n
⑤ 若0,0>>b a , 则_________lim =+-∞→n n n
n n b a b a
⑥ 已知{}n a 是以()0>a a 为首项以()01<<-q q 为公比的等比数列，设 ()n n a a a A +++=∞→ 21lim ()n n a a a a B 2321lim ++++=∞→
()12531lim -∞→+++=n n a a a a C ()n n a a a a D 2642lim +++=∞
→ 则A ，B ，C ，D 的大小关系 思考题：
已知数列{}{}n n b a ,都是由正数组成的等比数列，公比分别为p, q 其中
1.1≠≠>q p q p 且，设,n n n b a c +=S n 为数列{}n c 的前n 项和.求1lim -∞→n n
n S S .。