沪教版下第十八章 《正比例函数和反比例函数》全章复习 讲义-word
沪教版-八年级数学-正比例函数与反比例函数复习讲义
正比例函数与反比例函数一．选择题（共15小题）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3x y =B ．3x y =-C ．3y x=D ．3y x=-2．反比例函数my x=的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2)B ．函数图象位于第一、三象限C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y <- 4．反比例函数3k y x+=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3kB ．3k -C ．3k >D ．3k <-5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)ky k x=>的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y >>6．反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则( ) A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >> 8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( )A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<9．在函数(0)ky k x=>的图象上有三点11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列各式中，正确的是( ) A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<10．如果两点11(1,)P y -和22(2,)P y -在反比例函数1y x=的图象上，那么1y ，2y 的符号和大小关系是( ) A ．210y y <<B ．120y y <<C ．210y y >>D ．120y y >>11．已知0k >，则函数y kx =，ky x=-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．12．已知函数y kx =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．13．正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22211()2k y k x -=≠的大致图象如图所示，那么1k 、2k 的取值范围是( )A ．10k >，212k >B ．10k >，212k <C ．10k <，212k >D ．10k <，212k <14．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S （千米）与离家的时间t （分钟）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．15．小亮早晨从家骑自行车去学校上学，先上坡后下坡，行程情况如图所示，如果返回时上坡、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是()A ．30分钟B ．33分钟C ．37.2分钟D ．48分钟二．填空题（共10小题） 16．若函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m 的值是 ．17．已知函数2(1)1y m x m =-+-是正比例函数，则m = ．18．函数231x y x +=+中自变量x 的取值范围是 ． 19．函数121x x =-++的定义域是 ．20．已知函数1()1f x x=+，则(2)f = ． 21．已知反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是 ．22．一水池的容积是3100m ，现有蓄水310m ，用水管以每小时36m 的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式（并写出定义域） ． 23．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6C ︒，已知某登山大本营所在的位置的气温是2C ︒，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是C y ︒，那么y 关于x 的函数解析式是 ． 24．如图，函数12(0)y x x=>的图象经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为 ．25．正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S ∆=．若x 轴上有点C ，且4ABC S ∆=，则C 点坐标为 ．三．解答题（共5小题） 26．解方程：21(23)2503x --=．27．关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．28．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式．29．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y （米)与时间x （分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟； （2）当030x 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； （3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟 米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是 米．30．如图，点P 是一个反比例函数与正比例函数2y x =-的图象的交点，PQ 垂直于x 轴，垂Q 的坐标为(2,0)．（1）求这个反比例函数的解析式．（2）如果点M 在这个反比例函数的图象上且MPQ ∆的面积为6，求点M 的坐标．正比例函数与反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3x y =B ．3x y =-C ．3y x=D ．3y x=-【解答】解：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确．B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选：A ． 2．反比例函数my x=的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：反比例函数my x=的图象在第二、四象限内， 0m ∴<，∴点(,1)m -的横纵坐标都为负， ∴点M 在第三象限，故选：C ．3．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2)B ．函数图象位于第一、三象限C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y <-【解答】解：A 、关于反比例函数4y x=-，函数图象经过点(2,2)-，故此选项错误； B 、关于反比例函数4y x=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C 、关于反比例函数4y x=-，当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确； D 、关于反比例函数4y x=-，当1x >时，4y >-，故此选项错误； 故选：C ． 4．反比例函数3k y x+=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3k B ．3k -C ．3k >D ．3k <-【解答】解：3k y x+=的图象在二，四象限， 30k ∴+<，即3k <-． 故选：D ．5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)ky k x=>的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．321y y y >>【解答】解：0k >，∴反比例函数图象在一、三象限内，且在每个象限内y 随x 的增大而减小121(,),(2,)3B y A y --在第三象限，123->-，210y y ∴>> 3(1,)C y 在一象限， 30y ∴>， 321y y y ∴>>，故选：D ． 6．反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能【解答】解：反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-， 2k ∴=-，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，120x x <<，1(A x ∴，1)y 、2(B x ，2)y 两点均位于第二象限， 12y y ∴<．故选：B ．7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则( ) A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >>【解答】解：函数图象如图所示：123y y y >>，故选：A ．8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( )A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<【解答】解：反比例函数1y x=-中10k =-<， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．1230x x x <<<，B ∴、C 两点在第四象限，A 点在第二象限， 231y y y ∴<<．故选：B ．9．在函数(0)ky k x=>的图象上有三点11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列各式中，正确的是( ) A ．123y y y << B ．321y y y << C ．213y y y << D ．312y y y << 【解答】解：11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y 在函数ky x=的图象上， 11k y x ∴=，22k y x =，32k y x =， 0k >，3120y y y ∴<<<．故选：D ．10．如果两点11(1,)P y -和22(2,)P y -在反比例函数1y x=的图象上，那么1y ，2y 的符号和大小关系是( ) A ．210y y <<B ．120y y <<C ．210y y >>D ．120y y >>【解答】解：把点11(1,)P y -代入反比例函数1y x=得，11y =-； 点22(2,)P y -代入反比例函数1y x =得，212y =-； 1102-<-<， 120y y ∴<<．故选：B ．11．已知0k >，则函数y kx =，ky x=-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当0k >时，0k -<，故函数y kx =的图象位于一三象限，ky x=-的图象位于二、四象限， 故选：C ．12．已知函数y kx =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数y kx =中y 随x 的增大而减小， 0k ∴<，∴函数y kx =的图象经过二、四象限，故可排除A 、B ；0k <， ∴函数ky x=的图象在二、四象限，故C 错误，D 正确． 故选：D ．13．正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22211()2k y k x -=≠的大致图象如图所示，那么1k 、2k 的取值范围是( )A ．10k >，212k >B ．10k >，212k <C ．10k <，212k >D ．10k <，212k <【解答】解：正比例函数1y k x =过一、三象限，故10k >； 反比例函数22211()2k y k x -=≠的图象在二、四象限，故2210k -<，即212k <．故选：B ．14．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S （千米）与离家的时间t （分钟）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：小李距家3千米， ∴离家的距离随着时间的增大而增大，途中在文具店买了一些学习用品， ∴中间有一段离家的距离不再增加，综合以上C 符合， 故选：C ．15．小亮早晨从家骑自行车去学校上学，先上坡后下坡，行程情况如图所示，如果返回时上坡、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是()A ．30分钟B ．33分钟C ．37.2分钟D ．48分钟【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度36182=÷=（百米/分）， 下坡路的距离是963660-=百米，所用时间为301812-=（分)，∴下坡速度60125=÷=（百米/分）； 去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：602365307.237.2÷+÷=+=（分钟）． 故选：C ．二．填空题（共10小题） 16．若函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m 的值是 2- ．【解答】解：函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，231m ∴-=，20m -≠，解得：2m =±，2m ≠， 故2m =-． 故答案为：2-．17．已知函数2(1)1y m x m =-+-是正比例函数，则m = 1- ． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：210m -=，且10m -≠， 解得：1m =-， 故答案为：1-．18．函数y =中自变量x 的取值范围是 2x -且x ≠ 【解答】解：根据题意得：20x +且310x +≠， 解得：2x -且13x ≠． ∴自变量x 的取值范围是2x -且13x ≠． 故答案为：2x -且13x ≠．19．函数11x =+的定义域是 2x 且1x ≠- ． 【解答】解：由函数关系式可得：20x -，10x +≠， 2x ∴且1x ≠-．故答案为：2x 且1x ≠-．20．已知函数1()1f x x=+，则f 1- ．【解答】解：因为函数1()1f x x=+，所以1f ===-．1-． 21．已知反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是 0k < ． 【解答】解：反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大， k ∴的取值范围是：0k <．故答案为：0k <．22．一水池的容积是3100m ，现有蓄水310m ，用水管以每小时36m 的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式（并写出定义域） 106(015)V t t =+ ．【解答】解：水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式为：106(015)V t t =+． 故答案为：106(015)V t t =+．23．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6C ︒，已知某登山大本营所在的位置的气温是2C ︒，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是C y ︒，那么y 关于x 的函数解析式是 62y x =-+ ．【解答】解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：62y x =-+． 故答案为：62y x =-+． 24．如图，函数12(0)y x x=>的图象经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为 (6,2) ．【解答】解：把3x =代入12(0)y x x =>中，得4y =，(3,4)B ∴，C 点是AB 的中点，A 点在x 轴上， C ∴点的纵坐标为：422÷=，把2y =代入12(0)y x x=>中，得6x =， (6,2)C ∴．25．正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S ∆=．若x 轴上有点C ，且4ABC S ∆=，则C 点坐标为 (2,0)或(2,0)- ． 【解答】解：设反比例函数为(0)ky k x=≠，正比例函数为(0)y ax a =≠； 这两个函数的图象关于原点对称，A ∴和B 这两点应该是关于原点对称的，A 点的横坐标为1-，由图形可知，AD 就是A 点的纵坐标y ，而AD 边上的高就是A 、B 两点横坐标间的距离，即是2， 这样可以得到1222S y =⨯=，解得2y =． A ∴点坐标是(1,2)-；B 点的坐标是(1,2)-，设(,0)C x ， 4ABC S ∆=， ∴1122422x x ⨯+⨯=，解得2x =， (2,0)C ∴或(2,0)-．三．解答题（共5小题）26．解方程：21(23)2503x --=．【解答】解：21(23)2503x --=2(23)750x --=， 2(23)75x -=，23x -=±23x =±解得：1x =2x = 27．关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 【解答】解：关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根， ∴有210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨=--+>⎩，即11280k k ≠⎧⎨->⎩， 解得：32k <且1k ≠． 答：k 的取值范围为32k <且1k ≠． 28．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式．【解答】解：根据题意，设111k y x =-，221(y k x k =、20)k ≠． 12y y y =+，121k y k x x ∴=+-， 当2x =时，14y =，2y =， ∴112422k k k =⎧⎨+=⎩． 14k ∴=，21k =-．41y x x ∴=--． 29．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y（米)与时间x（分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是3600米，他途中休息了分钟；（2）当030x时，y与x之间的函数关系式是；（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是米．【解答】故答案为：70y x=；（3）爸爸休息之后行走的速度是(36002100)(8050)50-÷-=米/分钟，故答案为：50．（4）妈妈到达缆车终点的时间为：36002.58180=（分)，爸爸迟到8050822--=（分)，终点时，爸爸离缆车终点的路程为：22501100⨯=（米)，故答案为：1100．30．如图，点P是一个反比例函数与正比例函数2y x=-的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂Q的坐标为(2,0)．（1）求这个反比例函数的解析式．（2）如果点M在这个反比例函数的图象上且MPQ∆的面积为6，求点M的坐标．【解答】解：（1）把2x =代入2y x =-得4y =- (2,4)P ∴-，设反比例函数解析式(0)ky k x=≠， P 在此图象上 2(4)8k ∴=⨯-=-， 8y x∴=-．（2）(2,4)P -，(2,0)Q4PQ ∴=，过M 作MN PQ ⊥于N ．则162PQ MN =， 3MN ∴=，设8(,)M x x-，则 235x =+=或231x =-=- 当5x =时，885x -=-， 当1x =-时，81x-=， 8(5,)5M ∴-或(1,8)-．。
反比例函数-ppt课件
读 范围．
27.1 反比例函数
归纳总结
考
点
由于反比例函数表达式中只有一个待定系数 k，因此求
清
单 反比例函数的表达式只需一组对应值或一个条件即可.
解
读
27.1 反比例函数
对点典例剖析
考
点
典例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=-3 时，y=4
清
单 ．
解
读
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
重
难
题 反比例函数→表示出组合函数→列方程组求解→写出函数
型 表达式.
突
破
27.1 反比例函数
重 ■题型二 实际问题中的反比例函数模型
难
例 2 某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，
题
型 设汽车的行驶时间为 t h，平均速度为 v km/h（汽车行驶
突
破 速度不超过 110 km/h）．根据经验，v，t 的部分对应值
（2）求当 x=6 时 y 的值；
（3）求当 y=
时 x 的值.
27.1 反比例函数
［答案］解：（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=
考
点
清 （k≠0），把 x=-3，y=4 代入，得 k=-3×4=-12，∴y 与
单
解
读 x 之间的函数表达式是 y=- ；
（2）当 x=6 时，y=（3）当 y=
∴y 关于 x 的函数表达式为 y=2（x-1）+
.
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Hale Waihona Puke =2x-2+27.1 反比例函数
变式衍生1 已知 y=y1-y2，y1与 x 成正比例，y2 与
初中数学沪教版(五四学制)《八年级上册》《第十八章 正比例函数和反比例函数》《第三节 函数的表示法》
初中数学沪教版（五四学制）《八年级上册》《第十八章正比例函数和反比例函数》《第三节函数的表示法》初中数学沪教版（五四学制）《八年级上册》《第十八章正比例函数和反比例函数》《第三节函数的表示法》初中数学沪教版（五四学制）《八年级上册》《第十八章正比例函数和反比例函数》《第三节函数的表示法》精品专题课后练习【1】(含答案考点及解析)班级:___________姓名：___________分数：___________1.以下二次根式中，属最珍二次根式的就是（）a．b．c．d．【答案】d【考点】初中数学沪教版（五四学制）》八年级上册》第十六章二次根式》第一节二次根式的概念和性质【解析】认定一个二次根式是不是最珍二次根式的方法，就是逐个检查最珍二次根式的两个条件与否同时满足用户，同时满足用户的就是最珍二次根式，否则就不是．求解：a、b、c、====，可以化简；=2，可化简；=2，可以化简；因此只有d符合最简二次根式的条件．故选d．2.以下根式a．2个【答案】a，，，b．3个，，中，最简二次根式的个数是（）c．6个d．5个【考点】初中数学沪教版（五四学制）》八年级上册》第十六章二次根式》第一节二次根式的概念和性质【解析】认定一个二次根式是不是最珍二次根式的方法，就是逐个检查最珍二次根式的两个条件与否同时满足用户，同时满足用户的就是最珍二次根式，否则就不是．求解：=2=符合最简二次根式的条件；，被开方数唐孝威叶越桔尽方的因数，不是最珍二次根式；，被开方数不含分母，不是最珍二次根式；=，被开方数含分母；不是最简二次根式；合乎最珍二次根式的条件；=，被开方数含分母；不是最简二次根式；，两个符合条件．因此只有故本题选择a．3.以下运算中，恰当的就是（）a．【答案】b【考点】初中数学沪教版（五四学制）》八年级下册》第十六章二次根式》第一节二次根式的概念和性质【解析】a、根据分式的性质解答；b、先化简，再根据同类二次根式的定义答疑；c、根据幂的乘方答疑；d、利用全然平方公式答疑．求解：a、错误，结果应属；b．根式与是同类c．（a）=a236d．=x1b、恰当，=与6就是同类二次根式；c、错误，结果应为a；d、错误，结果应得|x1|．故选b．4.如果最珍根式（）a．x≤10【答案】a与是同类二次根式，那么并使c．x＜10存有意义的x的值域范围就是d．x＞10b．x≥10【考点】初中数学沪教版（五四学制）》八年级上册》第十六章二次根式》第一节二次根式的概念和性质【解析】先根据二次根式的定义，列方程算出a的值，代入算出x的值域范围即可．求解：∵最珍根式∴3a8=172a∴a=5并使有意义与是同类二次根式，再根据二次根式的定义列举不等式，∴4a2x≥0∴202x≥0∴x≤10故选a．5.若最珍根式与（c为也已奇数）就是同类根式，则．【答案】a为负奇数，b为正奇数【考点】初中数学沪教版（五四学制）》八年级下册》第十六章二次根式》第一节二次根式的概念和性质【解析】根据同类根式的根指数相同且被开方数相同列出方程组求解即可．解：∵最简根式∴与（c为正奇数）是同类根式Champsaur∵c为正奇数∴a为负奇数，b为也已奇数6.请写出【答案】的一个同类二次根式：．，5…．（答案不唯一）【考点】初中数学沪教版（五四学制）》八年级下册》第十六章二次根式》第一节二次根式的概念和性质【解析】先将化为最简二次根式，然后再写出一个被开方数与它相同的二次根式即可．=2，所以与就是同类二次根式的存有：，5…．（答案不唯一）解：因为7.若最珍二次根式【答案】与是同类二次根式，则a=．。
沪教版下第十八章《正比例函数和反比例函数》全章复习讲义-word
《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y, 如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 要点二、正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx（k 是不等于零的常数）叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数. 注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx （k为常数，k≠ 0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，. 我们把正比例函数y=kx 的图像叫做直线y=kx.3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx 的图像. 为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大.（2）当k<0 时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数1、定义k定义域为不等于零的一切实数的函数y ，（k 为不等于零的常数）叫做反比例函x数，其中k 也叫比例系数.2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
正比例和反比例ppt课件
正反比例的性质对照
相同点
两者都涉及到两个量的变化关系，其中一个量变化时，另一个量也相应变化。
不同点
正比例中，比值是一定的；反比例中，比值是不定的。正比例关系是一条直线，而反比例 关系是一个双曲线。
应用场景
正比例关系在物理、化学、工程等领域都有广泛应用，如速度、密度等；反比例关系在电 力、运输、通讯等领域常见，如电流与电阻、运输成本与运输距离等。
02 正比例和反比例的应用
正比例的应用
01
02
03
计算增长率
在统计学中，正比例常用 于计算某一变量的增长率 ，如GDP增长率、人口增 长率等。
猜测模型
在猜测模型中，正比例关 系可用于猜测未来趋势， 例如猜测产品销售量与广 告投入的关系。
线性回归分析
在回归分析中，正比例关 系可用于描写两个变量之 间的线性关系，例如身高 与体重的关系。
在坐标系中，反比例关系表现为一条 双曲线。
当一个量y随着另一个量x的增大而减 小，或者随着x的减小而增大时，我们 说y与x成反比。
正反比例数学表达的异同点
相同点
正比例和反比例都涉及到两个量之间的变化关系，且都存在 一个常数k来描写这种关系。
不同点
正比例是y与x之间的直接关系，而反比例是xy之间的乘积关 系；正比例关系中y随x增大而增大，而反比例关系中y随x增 大而减小或随x减小而增大；正比例在坐标系中表现为直线， 而反比例表现为双曲线。
则它们成反比例。
反比例关系在现实生活中也广泛 存在，如一定质量的物体下，压 力与面积成反比；一定速度下，
距离与时间成反比等。
正反比例的异同点
相同点
正比例和反比例都是描写两个量之间关系的比例关系，都涉及到两个变量的变 化趋势。
讲义反比例函数
讲义反比例函数(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除教师： 学生： 时间：一般地，形如ky x=(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，ky x=也可以写成:,.要点诠释： 1、y=k x 中分母x 的指数为1，如，2ky x =就不是反比例函数；2、y= k x()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=k x()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式。
两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。
典例分析1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数23y x =（ ）12y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x=（ ） 32y x =（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）11y x =-（ ） 11y x=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( ) A.()12x y -= B.12y x =- C.21y x = D.17y x=- 3.若函数()221ny n x -=-是反比例函数，则n 的值是 ( )A. ±1B. -1C. 1D. 2 4.已知函数2211k k y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗？5.已知函数()211m y m x -=-.请你探求当m 取何值时:(1)该函数是正比例函数 (2)该函数是反比例函数图象性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0.②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 正比例函数和反比例函数的复习 教案
正比例函数和反比例函数的复习一、教学目标：1．系统梳理正比例函数和反比例函数的概念和性质；2．引导学生梳理求正，反比例函数解析式的条件和方法；3．通过函数解析式来确定函数的大致位置，使学生充分体会和感悟数形结合的思想方法；4．提高应用正比例函数和反比例函数解决实际问题的能力。
二、教学重点：1．通过类比总结归纳确定正比例函数解析式和反比例函数解析式依靠待定系数法；2．由于正比例函数和反比例函数在实际中的应用定义域可能是部分实数，故它们的图像可能是直线的部分，可能是曲线的一部分。
三、教学难点：1．反比例函数在面积中的应用2．通过画反比例函数的大致图像，从而确定点的大致位置。
四、教学过程：（一）知识点的梳理：正比例函数反比例函数解析式定义域x取一切实数或的一切实数图像k>0 k<0k>0 k<0增减性 当k>0时，图像经过第一，三象限，y 的值随着x 的值的增大而增大；当k 〈0时，图像经过第二，四象限，y 的值随着x 的值的增大而减小。
当k>0时，图像经过第一，三象限，在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而减小；当k 〈0时，图像经过第二，四象限，在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大。
（二） 正确区分正比例函数和反比例函数： 判断下列函数中，哪些是关于的正比例函数？哪些是反比例函数？小结：依据解析式来判断正，反比例函数（三） 探索确定正比例，反比例函数的解析式所需要的条件： 1． 已知是的正比例函数，且当=2时，=4，则函数解析式是变式1：已知是的正比例函数，点M （2，4）在这个函数的图像上，则函数解析式是变式2：一个正比例的函数图像如图所示，写出这个函数解析式变式3：设三角形底边长为，底边上的高是4，三角形的面积为，则与的函数解析式2．已知是的反比例函数，且当=2时，=4，则函数解析式是变式1：已知是的反比例函数，点M（2，4）在这个函数的图像上，则函数解析式是变式2：一个反比例的函数图像如图所示，写出这个函数解析式变式3：设三角形底边长为，底边上的高是，三角形的面积为4，则与的函数解析式变式4：（1）如图，A（，）为反比例函数图像上的一点，AB垂直轴于B，B为垂足，若，则这个反比例函数的解析式是（2）如图，点P（，）是反比例函数图像上的一点，PM⊥轴，PN⊥轴，M，N为垂足，xy24 A.O且，则矩形PMON 的面积是8，则这个反比例函数的解析式是小结：确定正比例函数和反比例函数的解析式只要一个条件，比如知道函数图像上的一个点，用的都是待定系数法，求关于k 的一元一次方程（四） 通过正比例，反比例函数的解析式来确定点的坐标：1． 正比例函数中，当=-2时，对应的函数值是 -1变式：反比例函数中，当=-2时，对应的函数值是 -12． 点P （-4，m ）在正比例函数上，则m= -16变式：点P （-4，m ）在反比例函数上，则m= -13． 已知点A （2，4）在正比例函数图像上，则下列各点中，不在此图像上的点是（ D ）A （3，6）B （-3，-6）C （1，2）D （-1， 2）变式：已知点B （-4，-6）在反比例函数图像上，则下列各点中，不在此图像上的点是（ C ） A （4，6） B （6，4） C （-6，4） D （-6，-4） 小结：有时候可以把解析式变形为，如题3。
上海教育版数学八上18.3《反比例函数》word教案
18.3反比例函数（1）教学目标（1）通过现实中的具体事例，理解反比例关系，能够判断两个变量是否成反比例关系，理解反比例函数的概念，会用待定系数法求反比例函数解析式；（2）在反比例函数概念引入和应用中，进一步体会函数与现实生活密切相关，通过类比的思想学习求反比例函数解析式的方法.教学重点和难点理解反比例关系和反比例函数的概念；用待定系数法求反比例函数解析式.教学流程设计教学过程设计一、创设情境，激趣导入1、在一块平地上，划出一个占地面积为600平方米的长方形区域，这个长方形的相邻两边的长可以分别取不同的数值，它们是两个变量，设其中一边为x米，另一边为y米.（1）当x取下列数值时，填表[说明] 出示问题背景材料，激发学生学习兴趣和探索新知识的欲望.学生回答，教师填表(2)完成上表后，学生回答下列问题：当x 越来越大时，y 怎样变化？当x 越来越小呢？y 怎样变化？（当x 越大时，y 越小；当x 越小时，y 越大）(3)算一算，上表中对应的x 和y 的乘积，你发现什么？（x 与y 的积为常数100）(4)变量y 是x 的函数吗？为什么？（变量y 是x 的函数.对x 的每一个值，都有一个y 的值）二、尝试探讨，学习新知你能再举出一个类似的例子吗？[说明] 老师应该给学生充分的时间，鼓励学生举出类似的例子，让学生展示自己的发现，体会象引例中的两个变量之间的关系.引出课题板书 1、引出成反比例概念如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy=k ，或表示为x ky，其中k 为不等于零的常数.学生练习例题1、下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式子来表示？菱形的面积为20平方厘米，变量分别是菱形的一边长a （厘米）和这条边上的高h （厘米）.被除数为100，变量分别是除数r 和商q.一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完全程所用的时间t （秒） 2、从针对性练习中引出反比例函数定义 定义域为不等于零的一切实数的函数x ky =，（ k 为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k 也叫比例系数. 学生练习一个矩形的面积为20平方厘米，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，那么变量y 是变量x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 2、某村有耕地346.2公顷，人口数量逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积（公顷人）是全村人口数的函数吗？是反比例函数吗？为什么？小组间相互讨论，同桌间交流，请学生回答. 例2：已知的反比例函数，且当x=2时，y=9. （1）求y 关于x 的函数解析式；[说明] 与正比例函数类比，反比例函数由系数k 确定，所以求反比例函数解析式也采用待定系数法（2）当213=x 时，求y 的值；（3）当y=5时，求x 的值.[说明] 请一位学生板书，完成后逐题讲解，其他学生完成在课堂练习本上，教师巡回观察、指导、面批、补充、纠正，强调解题步骤和格式. 三、反馈小结、内化升华1、你有什么收获？2、你觉得采用待定系数法求反比例函数解析式的步骤是怎样的？3、看书P143-144，圈划概念.四、巩固练习，拓展提高书本P145练习19.3(1)。
沪教版 八年级数学 暑假同步讲义 第18讲 函数单元复习(解析版)
正比例函数和反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，从本章开始，我们以运动．变化的观点为指导，引入变量和函数的初步的概念，学习两种与现实生活密切相关的简单函数．通过对这两类函数的解析式．定义域．它们的图像和性质的逐一研究，深化了函数概念的理解，并得出研究函数的一般方法．函数的概念与性质是初中阶段的重点．(1)理解函数的意义，掌握函数的定义域和对应法则,会求出x a 时的函数值．(2)本章研究了两个最简单的函数，即正比例函数与反比例函数的定义．图像和性质.这是本章的重点．要理解这两个函数的概念，能借助直观的图像，得到它们的一些基本性质，并知道它们在现实生活中的广泛应用．会用这些概念和性质，采用一定的方法，并渗透数形结合的思想，去解决一些简单的实际问题．(3)掌握函数的三种常用表示法，即解析法．列表法和图像法．知道各种表示法的优缺点，善于把这些方法结合起来，对函数进行分析与研究，还要善于利用图表获取信息．处理信息去解决问题，善于用数形结合的思想研究性质．知识结构正反比例函数单元复习内容分析班假暑级年八2 / 14一．函数的意义1．在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果x 在它的允许值范围内变化，y 随着x 的变化而变化，也就是他们之间存在着相依关系，就说变量y 是变量x 的函数．2．当一个变量取一个确定值时，按照某一对应法则，另一个变量也有确定的值与它对应，这就反映了两个变量间的对应关系，就目前我们涉及的函数，对于自变量在它自己允许值范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与它对应，这里的对应法则就是函数的要素之一．3．自变量可取值的范围，我们称它为定义域.每一个函数都有定义域，定义域是函数的要素之一.函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体就称为函数的值域，这也是函数的要素之一． 二．正比例函数和反比例函数正比例函数 反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x =≠图像经过(0,0)(1,)k 和两点的直线双曲线性质当0k >时，图像经过第一．三象限； 当0k <时，图像经过第二．四象限当0k >时，图像经过第一．三象限 当0k <时，图像经过第二．四象限 增减性当0k >时，y 的值随着x 的值增大而增大当0k >时，y 的值随着x 的值增大而减小当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小；当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大．三．函数的常用表示法 1．数学方法—“待定系数法”，待定系数法是数学中常用的方法；2．数学思想—“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用所给函数图形，会正确画图．知识精讲【习题1】 下列说法正确的是（ ）． A ．21x +不是x 的函数B ．汽车的行驶速度与驾驶员的身高存在函数关系C ．凡是过原点的直线的解析式都是正比例函数D ．反比例函数4y x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】A 答案中是函数关系；B 答案中两者不存在函数关系；C 答案中过原点的直线也可 以是x 轴和y 轴．【总结】本题主要考查函数的概念，以及正、反比例函数的性质．【习题2】 y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，那么y 与z 的关系是（ ）．A ．成正比例B ．成反比例C ．可能成正比例也可能成反比例D ．既不成正比例也不成反比例【答案】B【解析】∵y 与x 成正比例，∴kx y =，∵x 与z 成反比例，∴z m x =，∴zkm y =． 【总结】本题主要考查两个变量成正比例或者成反比例的概念．【习题3】 若函数231(1)mm y m x ++=+是正比例函数，则m 的值为（ ）．A ．3m =-B ．0m =C ．30m m =-=或D ．30m m ==或【答案】C【解析】1132=++m m ，则0=m 或3-． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念．【习题4】 函数3y x =．2y x =-．34y x =的共同点是（ ）． A ．图像经过相同的象限 B ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐减小C ．图像都经过原点D ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐增大选择题【答案】C【解析】都是正比例函数，因此图像都过原点． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题5】 若正比例函数的图像经过点(12)-，，则这个函数的图像一定经过点（ ）．A ．(21)-，B ．1(2)2-，C ．(12)-，D ．1(2)2，【答案】C【解析】正比例函数解析式为x y 2-=，代入C 中的点坐标，成立． 【总结】本题主要考查正比例函数图像上点的坐标特征．【习题6】 如图，过原点的一条直线与反比例函数(0)ky k x=≠的图像分别交于A 、B 两点．若A 点的坐标为()a b ，，则B 点的坐标为（ ）．A ．()a b ，B ．()b a ，C ．()b a --，D ．(a --，【答案】D【解析】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题7】 已知0ab >，则函数by x a=的图像经过（ ）．A ．二、三象限B ．二、四象限C ．一、三象限D ．一、四象限【答案】C【解析】∵0ab >，∴0>ab． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题8】 已知：点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图像上任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）． A ．2B ．2-C ．±2D ．4【答案】C【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像性质中面积不变性的运用．【习题9】 已知反比例函数3k y x+=在它的图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，则k 的取值范围是（ ）． A ．0k >B ．0k <C ．3k >-D ．3k <-【答案】D 【解析】()0<=k xky 在每个象限内y 随着x 的增大而增大． 【总结】考查反比例函数的定义和图像性质．【习题10】 函数11y x =-的定义域是_________．【答案】1>x ．【解析】需要满足01>-x ，则1>x ．【总结】本题主要考查函数的定义域的求法，当含有二次根式时，被开方数要非负，同时保证分母不为零． 【习题11】 已知2()2f x x=-，则(2)f =_________． 【答案】12+． 【解析】2(2)=2+122f =-．【总结】本题主要考查利用代入法求函数的值．【习题12】 正比例函数的图像经过(21)，，那么这个正比例函数的解析式是_________． 【答案】x y 21=． 【解析】主要考查利用待定系数法求正比例函数解析式．【习题13】 反比例函数12y x=-的比例系数是_________． 【答案】21-． 【解析】xky =中k 叫做比例系数． 填空题【总结】本题主要考查反比例函数比例系数的概念．【习题14】 反比例函数2k y x-=的图像经过点(23)--，，那么这个反比例函数的解析式是 _________．【答案】xy 6=．【解析】待定系数法求反比例函数解析式．【习题15】 反比例函数mny x=，当m 、n 异号时，它的图像位于第_______象限． 【答案】二、四．【解析】m ．n 异号时，则0<mn ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题16】 若函数23my mx -=，当m =______时，此时函数是正比例函数，且图像在第一、三象限，y 随x 的减小而_________． 【答案】2；减小．【解析】132=-m ，则2±=m ；∵图像在第一、三象限，则2=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念以及正比例函数的图像的性质．【习题17】 已知y8x =时，16y =，那么当64x =-时，y =__________，当64y =-时，x =__________． 【答案】-32；-512【解析】∵y成正比例，∴3x k y =．∵当8x =时，16y =，∴3816k =，∴8=k ，∴38x y =．当64x =-时，326483-=-⨯=y ；当64y =-时，6483-=x ，则512-=x ．【总结】本题一方面考查两个变量成正比例的概念，另一方面考查求函数值的问题．【习题18】 要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q (米3)和水泵抽水时间t (小时)的函数关系式为__________， t 的取值范围为_________________． 【答案】t Q 30600-=；200≤≤t 【解析】工作总量=工作时间×工作效率． 【总结】本题主要考查函数与实际问题的结合．【习题19】 已知函数y ax =和4ay x-=的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是__________． 【答案】(12)，或(12)--，． 【解析】当1=x 时，a ax y ==，a xay -=-=44，则a a -=4，解得：2=a ．所以两个函数的解析式为：2y x =和2y x=，联立，解得交点坐标为：(12)，或(12)--，． 【总结】本题主要考查待定系数法求解析式以及利用解析式求交点坐标．【习题20】 已知：函数55y x x =--， 求：（1）自变量的取值范围；（2）(4)A m ，在这个函数图像上，求m 的值；（3）当11x =-时，函数值y 等于多少？ （4）当x 取什么值时，函数值是3？【答案】（1）（1）5≤x ；（2）19；（3）-59；（4）1． 【解析】（1）5≤x ；简答题（2）当4=x 时，194545=--⨯=m ；（3）当11-=x 时，()()59115115-=----⨯=m ；（4）355=--x x ，x x -=-535，两边平方可得：0429252=+-x x ，则11=x ，2542=x ； 代入到原方程中，254=x 不满足方程，则1=x ． 【总结】本题主要考查根据函数解析式求函数值．【习题21】 市出租车起步价是7元（路程小于或等于3千米），超过3千米加收1.2元，求出租车车费y 与行程x （3x >）之间的函数关系式． 【答案】4.32.1+=x y ．【解析】()4.32.132.17+=-+=x x y ．【总结】本题主要考查根据实际问题确定函数解析式．【习题22】 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距是0.25米．求y 与x 的函数关系式． 【答案】xy 100=． 【解析】用待定系数法求反比例函数解析式．【习题23】 现有100本图书借给学生每人2本，写出余下书数y (本)与学生数x (人)之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围． 【答案】()5002100≤≤-=x x y ． 【解析】考查实际问题．【习题24】 已知等腰三角形的周长为24，设腰长为x ，底边长为y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围． 【答案】()126224<<-=x x y ．【解析】由三角形三边关系可得：x x y x x +<<-，将x y 224-=代入不等式中，可得： 126<<x ．【总结】本题主要考查函数关系式与实际问题之间的关系．【习题25】 某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x 与售价y写出y 关于x 的函数解析式并画出函数图像．【答案】x y 1.2=，图像略． 【解析】x x x y 1.21.02=+=【习题26】 当k 为何值时，函数321()3k y k x -=+，（1）是正比例函数，并求出此时的函数解析式；（2）是反比例函数，此时函数的图像在什么象限？【答案】（1）x y 34=；（2）x y 32=，此时函数在一、三象限．【解析】（1）123=-k ，则1=k ，函数解析式为x y 34=；（2）123-=-k ，则31=k ，函数解析式为xy 32=，此时函数图像在一、三象限． 【总结】本题一方面考查正、反比例函数的概念，另一方面考查反比例函数的性质．【习题27】 已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像经过直线3y x =m ）．求m 和k 的值．【答案】33=m ，9=k ．【解析】∵m ）在直线3y x =上，∴33=m∵在反比例函数xky =上，∴9333=⨯=k ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像上的点与图像的关系．【习题28】 已知y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，如果(24)A m m -+，是它图像上的一点，求m 的值．【答案】32=m ． 【解析】∵y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，∴x y 4=，∵(24)A m m -+，是x y 4=上的一点，∴m m 442=+-，∴32=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数图像上的点与图像的关系．【习题29】 若双曲线21k y x-=的图象经过第二、四象限，求k 的取值范围． 【答案】21<k ． 【解析】由题意，可得：012<-k ，所以21<k ． 【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题30】 在反比例函数21m y x--=的图像上有三点11()x y ，，22()x y ，，33()x y ，，若1230x x x >>>，比较1y ，2y ，3y 的大小．【答案】312y y y <<．【解析】012<--m ，则函数y 随着x 增大而增大． 【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题31】 若11()A x y ，、22()B x y ，、33()C x y ，是函数3y x=图象上的点，且1230x x x <<<，求1y 、2y 、3y 、0的大小关系．【答案】3120y y y <<< 【解析】函数3y x=y 随着x 增大而减小． 【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题32】 已知反比例函数3m y x+=经过点A (2)m -，和B 2)n n （，， （1）求m 和n 的值；（2）若图像上有两点111()p x y ，和122()p x y ，，且120x x <<，试比较1y 和2y 的大小． 【答案】（1）1-=m ，1±=n ；（2）21y y <． 【解析】（1）∵反比例函数3m y x +=经过点A (2)m -，，∴23+=-m m ，解得：1-=m ．∴反比例函数解析式为：x y 2=，∵()n n B 2，在x y 2=上，∴nn 22=，∴1±=n（2）∵120x x <<，∴21y y <．【总结】本题一方面考查利用待定系数法确定反比例函数的解析式，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题33】 已知点A 坐标为(60)-，，点(1)B a -，在直线3y x =上，求AOB ∆的面积． 【答案】9．【解析】∵点(1)B a -，在直线3y x =上，∴(13)B --，∴93621210=⨯⨯=⋅⋅=y B A B OA S △． 【总结】本题主要考查函数在求几何图形面积中的应用．【习题34】 已知M 是反比例函数(0)ky k x =≠图像上一点，MA ⊥x 轴于A ，若4AOM S ∆=，求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 8=．【解析】过反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点作x 轴的垂线（或y 轴的垂线)构成的三角形的面积为k 21． 解答题【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题35】 已知直线y kx =过点(23)-，，点A 是直线y kx =上一点，点B 的坐标(40)，，且12ABC S ∆=，求点A 的坐标． 【答案】()64-，A 或()64，-．【解析】∵直线y kx =过点(23)-，，∴x y 23-=∵点A 是直线32y x =-上一点，∴可设⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m A 23,∵12ABC S ∆=，∴1221=⋅⋅y A OB ，即1223421=-⨯⨯m ，则4±=m∴()64-，A 或()64，-．【总结】本题综合性较强，注意两种情况的讨论．【习题36】 已知直线12y x =与双曲线ky x=交于A 点，且点A 的横坐标为4．若双曲线ky x=上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积． 【答案】15．【解析】∵点A 的横坐标为4，∴其纵坐标为2214=⨯，∴()2,4A ． ∵()24，A 在x k y =上，则反比例的解析式为xy 8=，∴()81，C ． 过点C 、A 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ， 则4==AOF COE S S △△．∴AOE COA CEFA COE S S S S △△梯形△+=+ ∴CEFA COA S S 梯形△= ∵()1538221=⨯+⨯=CEFA S 梯形∴15=COA S △．【总结】本题综合性较强，要注意分析坐标与距离的关系，另外注意利用割补法求面积． 【习题37】 正方形ABCD 的边长为8厘米，现点P 由点B 出发，沿BC →CD 边，设点P从B 点移动了x cm ，ABP S y ∆=2cm ，求y 关于x 的解析式，并写定义域．【答案】当80≤≤x 时，x y 4=；当168≤<x 时，32=y ． 【解析】当P 在BC 上运动时，x x y 4821=⨯⨯=；当P 在CD 上运动时，328821=⨯⨯=y ． 【总结】本题主要考查动点与三角形面积的关系，注意分类讨论．【习题38】 如图，正比例函数y kx =（k ＞0）与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求ABCD S 四边形． 【答案】6．【解析】∵正比例函数y kx =（k ＞0） 与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点． ∴A 、C 关于原点对称， ∴OB OD =，∴OAD OAB S S △△=，OCD OCB S S △△=． ∵23=AOB S △，23=COD S △，∴3462AOB AOD DOC COB ABCD S S S S S =+++=⨯=△△△△四边形．【总结】本题一方面考查反比例函数与正比例函数的交点坐标的特征，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题39】 已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像上有一点A ，过点A 向x 轴，y 轴分别作垂线，垂足分别为点B 、C ，且矩形ABOC 的面积为15．求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 15=或x y 15-=．【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题40】 已知正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22(0)ky k x=≠的图像交于A ．B两点，点A 的坐标为（2，1）． （1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．班假暑级年八14 / 14【答案】（1）x y 21=，xy 2=；（2）()12--，B 【解析】用待定系数法求函数解析式；正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题41】 如图所示，在函数1y x=的图象上有三点A ．B ．C ，过这三点分别向x 轴．y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴．y 轴围成的矩形的面积分别为1S 、2S 、3S ，比较1S 、2S 、3S 的大小． 【答案】123S S S ==． 【解析】过反比例函数x ky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．。
沪教版初二数学18章正比例函数和反比例函数培优含答案
18.1 函数的概念（1）课前导读函数的概念比较难懂．我们先通过同学们熟悉的十个情景，顺一下耳音，慢慢体会函数的概念．关键句：…随…变化而变化，…是…的函数．核心：变化过程中，两个量是依赖关系．课本导学一、圆的面积S＝πr2，面积S随半径r的增大而增大，S是r的函数．在函数解析式S＝πr2中，π是常量，r是自变量，S是r的函数．二、圆的周长C＝2πr，面积C随半径r的增大而增大，C是r的函数．在函数解析式C＝2πr中，2π是常量，r是自变量，C是r的函数．三、正方形的面积S＝a2，面积S随边长a的增大而增大，S是a的函数．在函数解析式S＝a2中，a是自变量，S是a的函数．四、正方形的周长C＝4a，面积C随边长a的增大而增大，C是a的函数．在函数解析式C＝4a中，4是常量，a是自变量，C是a的函数．五、汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，那么在t小时行驶过的路程s＝60t千米．路程s随时间t的变化而变化，时间t越多，路程s越长，s是t的函数．在函数解析式s＝60t中，___是常量，___是自变量，___是___的函数．六、我们把一块橡皮泥（体积V一定）搓成一个圆柱体．（1）如果底面积S越大，那么高h越小．h随S的变化而变化，___是___的函数．（2）如果底面半径r越大，那么高h越小．h随r的变化而变化，___是___的函数．（3）如果高h越越大，那么底面积S小．S随h的变化而变化，___是___的函数．七、我们把正方形的每个边长看做1根火柴，那么火柴的根数m随着正方形的个数n 而变化，___是___的函数．在解析式m＝1＋3n中，___是自变量，___和___是常量．八、下表是上海某周每天的最高气温．这周前半周的气温在下降，后半周的气温在升高．最高气温随日期的变化而变化，_____是_____的函数．这样的函数没有解析式．九、下表某个学习小组10个同学这次数学测验的成绩．好理解的一句话是：成绩因人而异，或者说一人一个成绩．这也是函数关系，成绩随学号的变化而变化，_____是_____的函数．这样的函数没有解析式．十、已知y＝－2x＋1，如果x取不同的值，那么y对应的值也随之变化，____是____的函数，___是自变量，___和___是常量．课堂导练十一、理解课本第55页课后练习1：解：出勤率p随着实际到校的学生人数n的增大而增大，____是____的函数．解析式是p=，_____是自变量，_____是常量．十二、理解课本第55页课后练习3：对于s＝vt．（1）①如果速度v不变，那么路程s随时间t的变化而变化，____是____的函数，_____是自变量，_____是常量．②如果时间t不变，那么路程s随速度v的变化而变化，____是____的函数，_____是自变量，_____是常量．（2）如果路程s不变，速度v关于时间t的函数解析式是v=，_____是自变量，_____是常量．十三、理解课本第55页课后练习4：（1）△ABC的底边AB为定值a，面积S随高CD的增大而增大．在AB和CD中，_____是变量，_____是常量．（2）12S ah=，____是____的函数，_____是自变量，_____是常量．18.1 函数的概念（2）课前导读第二课时学习两个问题：1．已知函数的解析式，怎样求函数的定义域； 2．已知函数的解析式，求函数的值． 两个记号：f (x )、f (a )． 课本导学一、直奔课本第56页例题3，回顾、对照，理解定义域． 回归以前的知识： 对照例题3：当x 为何值时，下列各式有意义？ 求下列函数的定义域： （1）53x -； （1）53y x =-； （2）12x +； （2）12y x =+；（3 （3）y 二、如果你理解了一点定义域，就抄写一下课本第56页的定义： 函数的自变量__ __ __ __ __ __ __ ，叫做这个函数的定义域．每一个函数都有定义域．对于解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域是：（1）如果解析式是整式，定义域就是____________； （2）如果解析式是分式，定义域就是分母____________； （3）如果解析式是二次根式，定义域就是被开方数____________．三、理解两个记号：f (x )、f (a )．例如对于函数y（1）函数y =()f x =x 是自变量；（2）f (a )表示当x ＝a 时函数的值．例如(5)2f =．四、如果你理解了f (x )、f (a )的意义，那么课本第57页例题5就是代入求值了． 这个书写过程，比七年级代入求值的“一呼二代三计算”简洁多了吧． 五、图解课本第57页例题4的定义域．如图，AB ＝7，⊙A 的半径为3，点C 是⊙A 上的一个动点，设BC ＝x ，那么△ABC 的周长y ＝_________________．定义域是这样确定的：（1）点C 运动到点M 时，x ＝BC 取得最小值，但此时三角形不存在了；（2）点C 运动到点M 时，x ＝BC 取得最大值，此时三角形也不存在了．因此定义域是4＜x ＜10．课堂导练六、完成课本第58页课后练习1，求函数的定义域：（1）2y x =，定义域是__________________； ←解析式是整式 （2）312x y x +=-，定义域是__________________； ←解析式是分式（3）y ，定义域是__________________； ←解析式是二次根式 （4）y =__________________． ←分母≠0，且被开方数≥0 七、完成课本第58页课后练习3：已知234x y x +=+，求(2)f -，1()2f -，(0)f ，f ． 解：（1）(2)f -＝2(2)3(2)4⨯-+-+＝（2）1()2f -＝（3）(0)f ＝（4）f ＝八、完成课本第58页课后练习2：等腰三角形中，底角的度数用x 表示，顶角的度数用y 表示，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域．解：y ＝_______________．定义域这样来想：（1）x 最小不能为_____；（2）x 最大不能为_____． 所以定义域是______________．定义域也可以倒着来算：因为0＜y ＜180，所以解不等式组________0,________180.>⎧⎨<⎩就得到定义域．18.2 正比例函数（1）课前导读第一课时学习两个内容： 成正比例、正比例函数；待定系数法求函数解析式的一般步骤：设、列、解、答． 课本导学一、成正比例、正比例函数的关系：（1）如果两个变量x 、y 的比值是一个常数k ，即yk x=，就说x 、y 成正比例． （2）把yk x=写成y kx =（k 是不等于0的常数），就是y 关于x 的正比例函数． 二、正比例函数的定义是描述性的：形如……．阅读课本第59页．（1）解析式形如___________（k 是不等于0的常数）的函数叫做正比例函数． （2）k 叫做____________．（3）正比例函数的定义域是______________．（4）确定了比例系数k ，就可以确定一个正比例函数的________．三、课本第59页例题1，已知正比例函数的解析式y ＝－4x ，那么比例系数k ＝____． f (－5)＝ f (－2)＝ f (0)＝ f (3)＝四、课本第60页例题2，就是待定系数法求正比例函数的解析式：设、列、解、答． 已知y 是x 的正比例函数，且当x ＝3时，y ＝24．求y 与x 之间的比例系数，并写出函数的解析式和函数的定义域．课堂导练五、完成课本第60页课后练习2，判断下列函数中，正比例函数有______________．（1）5x y =； （2）15y x =-； （3）5y x=； （4）52y x =+．追问一下：（5）y ＝2(x －1)_________（填“是”或“不是”）正比例函数； （6）y ＝2(x －1)＋2_________正比例函数．六、完成课本第60页课后练习3，用待定系数法求正比例函数的解析式．已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝12．求y与x之间的比例系数，并写出函数的解析式．七、完成课本第60页课后练习1，判断下列问题中的两个变量是否成正比例？（1）商一定（不为0），被除数与除数．提示：例如y÷x＝8．答：商一定（不为0），被除数与除数_______（填“成”或“不成”）正比例．（2）除数不变（不为0），被除数与商．提示：例如y÷18＝x．答：除数不变（不为0），被除数与商_______正比例．（3）一个因数（不为0）不变，另一个因数与它们的积．提示：例如5x＝y．答：一个因数（不为0）不变，另一个因数与它们的积_______正比例．（4）等腰三角形的周长一定，它的腰长与它底边的长．提示：例如2x＋y＝30．答：等腰三角形的周长一定，它的腰长与它底边的长_______正比例．（5）一个人的体重与它的年龄．提示：同班同学年龄一样，有胖有瘦，写不出解析式啊！答：一个人的体重与它的年龄_______正比例．18.2 正比例函数（2）课前导读第二课时学习正比例函数的图像：第一阶段，先通过描点法探究出正比例函数的图像是一条直线；第二阶段，知道了正比例函数的图像是直线，那么根据“两点确定一条直线”，选择两个点画正比例函数的图像． 课本导学一、描点法画函数图像的步骤：列表、描点、连线． 画正比例函数y ＝2x 的图像． （1）列表．（2）描点．把上表中的9个有序实数对对应的点在坐标系中描出来． （3）连线．结论：正比例函数y ＝2x 的图像是一条_________________．正比例函数y ＝2x 的图像 正比例函数y ＝－2x 的图像 二、画正比例函数y ＝－2x 的图像．结论：正比例函数y ＝－2x 的图像是一条_________________．课堂导练三、在同一坐标系中画函数3y x =、y x =、13y x =的图像． （1）对于函数y ＝3x ，当x ＝0时，y ＝____；当x ＝1时，y ＝____． 过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是正比例函数y ＝3x 的图像． （2）对于函数y ＝x ，当x ＝0时，y ＝____；当x ＝1时，y ＝____． 过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是正比例函数y ＝x 的图像．（3）对于函数13y x =，当x ＝0时，y ＝____；当x ＝3时，y ＝____． 过两点(0，___)、(3，___)画直线，就是自变量函数13y x =的图像．四、在同一坐标系中画函数4y x =、y x =、14y x =的图像． （1）过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是自变量函数y ＝4x 的图像． （2）过两点(0，___)、(1，___)画直线，就是自变量函数y ＝x 的图像． （3）过两点(0，___)、(4，___)画直线，就是自变量函数14y x =的图像． 五、在同一坐标系中画函数13y x =-、3y x =-的图像． 六、在同一坐标系中画函数y ＝2x 、y ＝－2x 的图像．七、完成课本第63页课后练习2，似曾相识，其实就是待定系数法．18.2 正比例函数（3）课前导读第三课时学习正比例函数的性质，其实就是由k 的符号决定： 1．直线经过哪两个象限；2．y 随x 变化的情况（y 随x 的增大而增大，y 随x 的增大而减小）． 课本导学一、画一组k ＜0的正比例函数的图像，来体验k ＜0时正比例函数的性质． 在同一坐标系中画函数4y x =-、y x =-、14y x =-的图像．（1）这3条直线都经过第___、___象限；（2）每一条直线从左向右看，直线呈________（填“上升”或“下降”）趋势； 也就是说，随着x 的增大，y 的值在_________； 习惯来说，y 随x 的增大而________．二、画一组k ＞0的正比例函数的图像，来体验k ＞0时正比例函数的性质． 在同一坐标系中画函数2y x =、y x =、12y x =-的图像．（1）这3条直线都经过第___、___象限；（2）每一条直线从左向右看，直线呈________（填“上升”或“下降”）趋势； 也就是说，随着x 的增大，y 的值在_________； 习惯来说，y 随x 的增大而________．三、归纳正比例函数y ＝kx （k ≠0）的性质（课本第64页通俗版）： （1）当k ＞0时，直线经过第___、___象限，y 随x 的增大而________． （2）当k ＜0时，直线经过第___、___象限，y 随x 的增大而________．四、正比例函数的性质在应用时，往往这样倒腾：（1）如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么k____0，y随x的增大而_______．如果已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么k____0，y随x的增大而_______．（2）如果正比例函数y的值随x的值增大而增大，那么k____0，直线经过第___、___象限．如果正比例函数y的值随x的值增大而减小，那么k____0，直线经过第___、___象限．课堂导练五、完成下列填空：（1）已知两个非零实数m、n同号，那么函数y＝mnx的图像经过第___、___象限，y 随x的增大而_______．（2）已知两个非零实数m、n同号，那么函数my xn=的图像经过第___、___象限，y随x的增大而_______．（3）已知mn＜0，那么函数ny xm=的图像经过第___、___象限，y随x的增大而_______．（4）已知正比例函数y＝(a＋1)x的图像经过第一、三象限，那么a的取值范围是_____．（5）已知正比例函数y＝(1－2a)x的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是_____．（6）已知正比例函数y＝(a2＋1)x的图像经过第___、___象限．（7）已知正比例函数1(1)4y a x=-，y随x的增大而增大，那么a的取值范围是______．（8）已知正比例函数y＝(3－a)x，y随x的增大而减小，那么a的取值范围是______．六、完成课本第65页课后练习4，体验比例系数互为相反数的两个正比例函数的图像的对称性．画直线y＝5x和y＝－5x画直线y＝x和y＝－x结论：直线y＝5x和y＝－5x既关于____轴对称，也关于____轴对称．直线y＝x和y＝－x既关于____轴对称，也关于____轴对称；这两条直线与坐标轴的夹角都是______°，这两条直线的位置关系是互相_______．18.3 反比例函数（1）课前导读和正比例函数的学习过程一样，反比例函数第一课时学习两个内容：成反比例、反比例函数；待定系数法求反比例函数的解析式：设、列、解、答．课本导学一、成反比例、反比例函数的关系：（1）如果两个变量x、y的乘积是一个常数k，即xy＝k，就说x、y成反比例．（2）把xy＝k写成kyx=（k是不等于0的常数），就是y关于x的反比例函数．二、正比例函数的定义是描述性的：形如……．阅读课本第67页．（1）解析式形如___________（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．（2）k也叫做____________．（3）反比例函数的定义域是___________________．（4）确定了比例系数k，就可以确定一个正比例函数的________．三、解读课本第67页例题2，三个小题三个典型．已知y是x的反比例函数，且当x＝2时，y＝9．（1）求y关于x的函数解析式；←待定系数法：设、列、解、答．（2）当132x=时，求y的值；←这样写很方便：1(3)2f（3）当y＝5时，求x的值．←解关于x的方程课堂导练四、完成课本第68页课后练习2，判断下列函数中，反比例函数有______________．（1）13y x=-；（2）4xy=；（3）15yx=-；（4）2ayx=（a是常数，a≠0）．五、追问一下：函数15yx=-的比例系数是_______；函数13xy=是正比例函数还是反比例函数？六、完成课本第68页课后练习3．已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝7．（1）求y关于x的函数解析式；←待定系数法：设、列、解、答．（2）当x＝5时，求y的值．←这样写很方便：f (5)解：七、基本功训练：（1）已知反比例函数的图像经过点(3,－2)，那么反比例函数的解析式是________；（2）已知双曲线经过点(－1,－2)，那么函数的解析式是________；（3）已知双曲线经过A(4,－3)、B(2, m)两点，那么m＝________；（4）已知双曲线经过M(2, 5)、N(a, 4)两点，那么a＝________．八、课本第68页课后练习1和第66页例题1，同学们都不喜欢文字长的题目吧．策略：要判断两个变量是否成反比例，就是看这两个变量的乘积是否为定值．（1）三角形的面积S一定时，它的一条边长a和这条边上的高h；提示：三角形的面积公式是S＝_______，a和h的乘积是定值吗？（2）存煤量Q一定时，平均每天的用煤量m与可使用的天数n；提示：Q、m、n之间的关系是Q＝_______，m与n的乘积是定值吗？（3）货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x；提示：A、a、x之间的关系是A＝_______，a与x的乘积是定值吗？（4）车辆所行驶的路程s一定时，车轮的直径d和车轮的旋转周数n．提示：圆的周长C＝πd，s、d、n之间的关系是s＝_______，d与n的乘积是定值吗？九、图解课本第68页课后练习4的定义域．长方形的面积为20平方厘米，长和宽分别是x厘米和y厘米，那么y＝_____．定义域怎么确定呢？图中这些以OB为对角线的长方形的面积都是20，长方形可以无限的细而高，也就是说x可以无限小，但是不能为0．长方形也可以无限的扁而长，也就是说x可以无限大．你知道定义域了吗？x的取值范围是______________．18.3 反比例函数（2）课前导读和正比例函数的学习过程一样，第二课时学习反比例函数的图像和性质： 第一阶段，先通过描点法探究出反比例函数的图像是双曲线； 第二阶段，从图像中总结函数的性质． 课本导学一、用描点法画反比例函数12y x=的图像：列表、描点、连线． （1）列表．（2）描点．把上表中的12个有序实数对对应的点在坐标系中描出来． （3）连线．用光滑的曲线连接各点，再向两方伸展．结论：（1）反比例函数12y x=的图像是双曲线，它有两支，落在第____、____象限． （2）在每一个象限内，从左向右看这条线，呈________（填“上升”或“下降”）趋势； 也就是说，随着x 的增大，y 的值在_________； 习惯来说，y 随x 的增大而________．（3）双曲线的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但_______（填“会”或“不会”）与x 轴和y 轴相交．二、画反比例函数12 y=-的图像．结论：反比例函数12yx=-的图像是_______，它有____支，落在第____、____象限．在每一个象限内，从左向右看这条线，呈________（填“上升”或“下降”）趋势；也就是说，随着x的增大，y的值在_________；习惯来说，y随x的增大而________．课堂导练三、基本功训练，徒手画双曲线．（1）画一条落在第一、三象限的双曲线，在双曲线旁的适当位置写上解析式4yx=，在线上标出点(2, 2)，在x轴上标出单位长度1．（2）画一条落在第二、四象限的双曲线，在双曲线旁的适当位置写上解析式2y x=，在线上标出点(，在x 轴上标出单位长度1．四、感悟一下．在双曲线的旁边的适当位置，标注解析式1y x =、2y x=或2y x =-．五、课本第71页课后练习4有点意思，我们分两步完成，然后把它改变成一道判断题． 原题：如果反比例函数ky x=的图像在第二、四象限，那么k _____0； 在这个条件下，正比例函数y ＝kx 的图像经过第___、___象限． 改编：在同一坐标系中，表示函数ky x=与y ＝kx 正确的是____________．（A ） （B ） （C ） （D ） 六、感悟、提高．（1）经过原点的直线与双曲线交于A 、B 两点，如果点A 的坐标为(2, 3)，那么点B 的坐标为_________；（2）双曲线8y x=上A 、B 两点关于原点对称，如果点A 的坐标为(－4, m )，那么点B 的坐标为_________．18.3 反比例函数（3）课前导读第三课时学习的内容，主要和待定系数法相关．待定系数法求函数解析式的一般规律是：解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标（或代入几个有序实数对）列方程或方程组．这节课我们再增加一个内容：反比例函数解析式中，系数k 的几何意义． 课本导学一、课本第72页例题3，符合一般规律：第（1）题，反比例函数解析式中待定一个字母k ，代入一个点A (2,－1)，列方程． 第（2）题，反比例函数的性质，知一晓二．知道y 随x 的增大而减小，就晓得双曲线落在第___、___象限，比例系数_____0．这里的比例系数是________．二、课本第72页例题4第（1）题的解题过程，占了大半页，其实也符合待定系数法的一般规律：待定两个字母k 1、k 2，代入两个有序实数对列方程组．我们把课本第（1）题的解题过程优化、简洁一下：第（2）题你可以简洁地这么写：f (5)＝__________________________． 课堂导练三、课本第73页课后练习1，也是反比例函数的性质，知一晓二．知道双曲线有一支落在第二象限，就晓得y 随x 的增大而______，比例系数______0．这里的比例系数是________．解不等式______________，得k ________．四、课本第73页课后练习2解题过程的流程图是这样的：其实运算一点都不难，双曲线的解析式是___________，a ＝______，直线OB 的解析式是________________．五、课本第73页课后练习3，函数22y x x=-的定义域是由分式的分母决定的． （1）定义域是________； （2）(1)f -=f =六、我们介绍一下反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中系数k 的几何意义． 如图1，过双曲线上的任意一点A 作AC ⊥x 轴，AD 垂直y 轴，垂足分别为C 、D ，那么矩形ACOD 的面积等于x y k ⋅=，直角三角形AOC 与直角三角形AOD 的面积为12k ．图1 图2 图3 图4因此，我们可以得到一些典型的结论：如图2中的两个矩形的面积相等，四个直角三角形的面积相等． 如图3中矩形AHFD 与矩形BECH 的面积相等．如图4中的△AOG 与直角梯形BECG 的面积相等，△AOB 与直角梯形ABEC 的面积相等．18.4 函数的表示法（1）课前导读函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图像法．根据函数的解析式，一定能画出函数的图像；反过来，不是所有的图像，都可以写出解析式，例如气温随日期变化的图像，写不出函数解析式．根据函数的解析式，一定能列表，列出两个变量之间的若干数对；反过来，不是所有的表格，都可以写出解析式，例如列车时刻表，班级的成绩统计表，学生的体重登记表．根据表格里的数据，我们按照有序实数对（自变量，变量）一定可以在坐标系中描出这些点；反过来，我们也可以把坐标系中的若干点的坐标，按照有序实数对（自变量，变量）写成表格的形式．函数的三种表示方法各有各的优势．课本导学一、课本第75页例题1，是根据情景求函数的解析式，难点是定义域的确定．根据上面的一组图形我们可以知道，x＞0且2x＜20，因此得到定义域是__________．二、我们配合课本第76页例题2，作一点识图训练：（1）如图①，甲、乙两人同时同地出发，_____先到达终点．_____的速度快，_____的图像比较“陡峭”一些．（2）如图②，甲、乙两人_____先出发，_____先到达终点．_____的速度快，_____的图像比较“陡峭”一些．甲、乙两人在什么位置相遇？在什么时间相遇？（3）如图③，甲、乙两人谁先出发？谁先到达终点？谁的速度快，为什么会快一些？图①图②图③课堂导练三、请把课本第77页课后练习1的“列表法”转换为“图像法”．先描出列表中的11个点；再用折线段连结这11个点．（1）在_____到_____分钟这个时间段内，列车的速度逐渐加快；（2）在_____到_____分钟这个时间段内，列车是匀速行驶的，列车在这一段时间走了___________千米；（3）在_____到_____分钟这个时间段内，列车的速度逐渐减慢，直到停止．四、课本第77页课后练习2，y关于x的函数关系式是___________________．定义域是_____________________．18.4 函数的表示法（2）课前导读这节课的3道例题分别是解析法、列表法和图像法，各有代表性、典型性．课本导学一、课本第77页例题3是写解析式，这个定义域是算出来的，有点特别．（1）排水总量V、排水速度x、排水时间t之间的关系是V＝______．（2）这道题中，排水总量V是确定的，为90立方米，因此90＝______．把这个式子边形为t关于x的式子，就是要求的函数解析式t＝_______．（3）定义域是算出来的：当t＝9时，x＝_________；当t＝15时，x＝_________；所以定义域是__________________．二、课本第77页例题4中的表格，严重干扰我们做题．问题情景：月收入1600元到5000元元的个人，超过1600元的部分，要缴纳5%的个人所得税．你对这个问题的理解，是下面的图①还是图②？图①图②三、课本第78页例题5，这个类型比较常见，就是把“图像法”转换为“解析法”，用待定系数法，关键是从图像中提取点的坐标．课堂导练四、课本第79页课后练习1，是写解析式，凭借生活经验很容易完成：（1）单价2.40元是确定的，数量x千克是变量，付款额y元，那么y＝_________．（2）总共用200元买苹果，价格贵了就买的少，价格便宜就买的多．每千克苹果价格x元，可以买y千克的话，那么y＝__________．五、课本第79页课后练习2是识图题，凭借生活经验完成．情景：蜡烛燃烧，蜡烛长20厘米，每分钟燃烧5厘米，______分钟就燃烧完了．第一个图是神话：只燃烧，不缩短；第二个图是笑话：越烧越长．六、课本第79页课后练习3的问题先“列表法”，再“解析法”就好了．已知y与x成反比例，那么xy＝______，于是得到y关于x的函数解析式y＝_____．课本导学一、略．二、略．三、略．四、略．五、在s ＝60t 中，60是常量，t 是自变量，s 是t 的函数．六、我们把一块橡皮泥（体积V 一定）搓成一个圆柱体．（1）h 是S 的函数．（2）h 是r 的函数．（3）S 是h 的函数．七、m 是n 的函数．在解析式m ＝1＋3n 中，n 是自变量，1和3是常量．八、最高气温是日期的函数．九、成绩随是学号的函数．十、y 是x 的函数，x 是自变量，－2和1是常量．课堂导练 十一、解析式是1200n p =，n 是自变量，11200是常量．p 是n 的函数． 十二、对于s ＝vt ．（1）①如果速度v 不变，那么s 是t 的函数，t 是自变量，v 是常量．②如果时间t 不变，那么s 是v 的函数，v 是自变量，t 是常量．（2）如果路程s 不变， s v t=，t 是自变量，s 是常量． 十三、（1）CD 是变量，AB 是常量．（2）12S ah =，S 是h 的函数，h 是自变量，12a 是常量．课本导学一、略．二、允许取值的范围．（1）全体实数（一切实数，所以实数）；（2）不为0；（3）大于等于0．三、略．四、略．五、周长y ＝10＋x ．课堂导练六、（1）全体实数；（2）x ≠2；（3）x ≥43；（4）x ＞4．七、（1）(2)f -＝12-；（2）1()2f -＝47；（3）(0)f ＝34；（4）f ．八、y ＝180－2x ．定义域是0＜x ＜90．课本导学一、略．二、（1）y＝kx．（2）比例系数．（3）全体实数．（4）解析式．三、f (－5)＝20；f (－2)＝8；f (0)＝0；f (3)＝－12．四、略．课堂导练五、正比例函数有（1）（2）．（5）不是；（6）是．六、y＝6x．七、（1）商一定（不为0），被除数与除数成正比例．（2）除数不变（不为0），被除数与商成正比例．（3）一个因数（不为0）不变，另一个因数与它们的积成正比例．（4）等腰三角形的周长一定，它的腰长与它底边的长不成正比例．（5）一个人的体重与它的年龄不成正比例．课本导学一、结论：正比例函数y＝2x的图像是一条直线．二、结论：正比例函数y＝－2x的图像是一条直线．课堂导练三、四、五、六、七、y＝－10x，直线经过第二、四象限．课本导学一、画图略．（1）二、四；（2）下降；减小；减小．二、画图略．（1）一、三；（2）上升；增大；增大．三、（1）一、三，增大．（2）二、四，减小．四、（1）＞，增大．＜，减小．（2）＞，一、三．＜，二、四．课堂导练五、（1）一、三，增大．（2）一、三，增大．（3）二、四，减小．（4）a＞－1．（5）12a ．（6）一、三．（7）a＜4．（8）a＞3．六、画图略．结论：直线y＝5x和y＝－5x既关于x轴对称，也关于y轴对称．直线y＝x和y＝－x既关于x轴对称，也关于y轴对称；这两条直线与坐标轴的夹角都是45°，这两条直线的位置关系是互相垂直．课本导学一、略．二、（1）kyx =．（2）比例系数．（3）x≠0．（4）解析式．三、略．课堂导练四、反比例函数有（3）（4）．五、15-；反比例函数．六、（1）28yx =；（2）285y=．七、（1）6yx=-；（2）2yx =；（3）－6；（4）52．八、（1）面积S一定时，a与h成反比例；（2）存煤量Q一定时，m与n成反比例；（3）货物的总价A一定时，a与x成反比例；（4）行驶的路程s一定时，d与n成反比例．九、20yx=．定义域是x＞0．课本导学一、画图略．（1）一、三．（2）下降；减小；减小．（3）不会．二、画图略．结论：双曲线，两，二、四．上升；增大；增大．课堂导练三、略．四、五、原题：＜；二、四．改编：（A）（D）．六、（1）(－2, －3)；（2）(4, 2)．课本导学一、一、三，＞．2k＋1．二、略．课堂导练三、增大，＜，2k－1．2k－1＜0，12 <．四、3yx=，32，34y x=．五、（1）x≠0；（2）(1)f-=0，f 六、略．课本导学一、0＜x＜20．二、（1）甲，甲，甲．（2）乙，甲，甲，甲．甲、乙两人在中点相遇，在各自的中间时刻相遇．（3）甲、乙两人同时出发，同时到达终点，乙的速度快，乙比甲多走了一些路．课堂导练三、（1）0，2；（2）2， 5.5，17.5；（3）5.5，8．四、y＝30x．定义域是0＜x≤40．课本导学一、（1）tx．（2）tx．90x．（3）10；6；6≤x≤10．二、对这个问题的图像是图②．三、略．课堂导练四、（1）y＝2.4x．（2）y＝200x．五、4．六、100，y＝100x．。
A4版打印沪教版八年级上册数学第十八章 正比例函数和反比例函数含答案
沪教版八年级上册数学第十八章正比例函数和反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、函数y=x+的图象如图所示，下列对该函数性质的论述正确的是（）A.该函数的图象是轴对称图形B.在每个象限内，y的值随x值的增大而减小C.当x＞0时，该函数在x=1时取得最小值2D.y的值可能为12、当时，函数的图象在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3、一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是( )A.-2＜x＜0或x＞1B.-2＜x＜1C.x＜-2或x＞1D.x＜-2或0＜x＜14、如图，次哈尔滨至幸福镇的动车需要匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间之间的关系用图象描述大致是（）A. B. C. D.5、下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A. B. C.D.6、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A. B. C.D.7、下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（）A. B. C.D.8、函数是反比例函数，则k的值是（）A.-1B.2C.D.9、下列函数(其中x是自变量)中，不是正比例函数的个数有( )(1)y=-x；(2)y+2=2(x+1)；(3)y=k2x(k是常数)；(4)y2=x2A.1个B.2个C.3个D.4个10、下列各点中，在函数y=- 图象上的是（）A. B. C. D.11、已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.12、已知反比例函数y＝的图象上有A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是（）．A.m＜0B.m＞0C.m＜D.m＞13、下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）A.匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系B.体积一定时，物体的质量与密度的关系C.质量一定时，物体的体积与密度的关系D.长方形的长一定时，它的周长与宽的关系14、在同一直角坐标系中，函数（）与（）的图象大致是（）A. B. C.D.15、已知正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（）A.m≥3B.m＞3C.m≤3D.m＜3二、填空题(共10题，共计30分)16、反比例函数中自变量x的取值范围________17、已知反比例函数y= (k≠0) 的图象过点（-1，2），则当x>0时，y随x 的增大而________．18、求方程x2+3x﹣1=0的解，除了用课本的方法外，也可以采用图象的方法：画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即为该方程的解．类似地，可以判断方程x3+x﹣1=0的解的个数有________ 个．19、正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2= （k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是________．20、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为________．21、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线0M为抛物线的一部分），则下列结论：①BC=BE=5cm；②=；③当0＜t≤5时，y=t2；④矩形ABCD的面积是10cm2．其中正确的结论是________ （填序号）．22、在函数y= 中，自变量x的取值范围是________．23、点A（a,b）是一次函数y=x+2与反比例函数的图像的交点，则________．24、如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y= （x>0）的图象上，AC//x轴，AC=2.若点A的坐标为（2,2），则点B的坐标为________.25、图中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图所示．根据图中的信息，摩天轮的直径为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知, 与成正比例, 与成反比例，且当时,; 时, .试求当时, 的值.27、已知函数y=（m+1）x+（m2﹣1）当m取什么值时，y是x的一次函数？当m 取什么值时，y是x的正比例函数．28、在同一直角坐标系中反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相交，且其中一个交点A的坐标为（－2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的面积为6（点O为坐标原点）.求一次函数与反比例函数的解析式.29、已知反比例函数过点P（2，﹣3），求这个反比例函数的解析式，并在直角坐标系中作出该函数的图象．30、一次函数的图像经过点和点，请判断点是否在此直线上并说明理由．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、A5、C6、B7、C8、D9、B10、C11、D12、D13、C14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
第18章 正比例函数和反比例函数【复习课件】-八年级数学上册单元复习(沪教版)
k
当k＞0时直线y=kx从左向右上升， 即随着x的增大y也增大；
当k＜0时,直线y=kx从左向右下降，
即随着x的增大y反而减小.
y y = 2x
y = 2x
3
y
4
4
2
2
0 12 x
-6 -3 0
x
达成 共识一般地，正比例函数y=kx（k是常数， k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我 们称它为直线y=kx. 当k ＞0时，直线y=kx经过第三、一象
限，从左向右上升，即随着x的增大y也增
大；
当k ＜0时，直线y=kx经过第二、四
象限，从左向右下降，即随着x的增大y反
而减小.
随堂练习
1.函数y=－7x的图象在第 二、四 象限内,经过点
(0, 0)与点(1,－7),y随x的增大而 减少 .
2 函数y=
3 2
x的图象在第
三、一
象限内,经过点
(0,
０
解:由性质(1)得
S1
A
S2 S3
B
S AOA1
1 2
|k
|
1 2 , SBOB1
1 2
|
k
|
1, 2
C
o A1 B1 C1
x
S OOC1
1 2
|k
|
1 2
,即S1
S2
S3 , 故选A.
论成立吗?
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
S OAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|•|
n
|
1 2
|
k
|
反比例函数全章复习与巩固(基础)知识讲解
反比例函数全章复习与巩固（基础）责编：常春芳【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；()0ky k x=≠2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质()0ky k x=≠分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】要点一、反比例函数的概念一般地，形如ky x =(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.x 要点诠释：在ky x =中，自变量x 的取值范围是，k y x =()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定ky x=系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，k x y 、k 从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、()0ky k x=≠三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交x y 点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；)0(≠=k x ky x y x y -==和②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；)0(≠=k x ky ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.xky x k y -==和x y 注：正比例函数与反比例函数，x k y 1=xk y 2=当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这021<⋅k k 021>⋅kk 两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而0k >x y 、y x 减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而0k <x y 、y x 增大.（2）若点()在反比例函数ky x =的图象上，则点（）也在此图象上，故反比a b ，a b --，例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限；0k >，二、四象限0k <，一、三象限0k >，二、四象限0k <增减性，随的增大而增大0k >y x ，随的增大而减小0k <y x ，在每个象限，随的增大而减小0k >y x ，在每个象限，随的增大而增大0k <y x （4）反比例函数y ＝中的意义k ①过双曲线x k y =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k.②过双曲线x k y =(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的k 面积为2k.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、已知函数是反比例函数，则的值为 .()32k y k x -=+k 【答案】2k =【解析】根据反比例函数概念，＝且，可确定的值.3k -1-20k +≠k 【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（ ）.5n y x+=n A. B. C. 0D. 12-1-【答案】D ；反比例函数过点（2，3）．． 5n y x +=53,12n n +==∴∴类型二、反比例函数的图象及性质2、已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求42my x-=y x 的取值范围．21m -【思路点拨】由反比例函数性质知，当＞0时，在每个象限内随的增大而减小，由k y x 此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围．m 21m -【答案与解析】解：由题意得：，解得，420m ->2m <所以，则＜3．24m <21m -【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．举一反三：【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为2k y x-=k ________（写出满足条件的一个的值即可）．k 【答案】3（满足＞2即可）.k 3、在函数（，为常数）的图象上有三点(－3，)、(－2，)、||k y x-=0k ≠k 1y 2y (4，)，则函数值的大小关系是（ ）3y A ． B ． C ． D ．123y y y <<321y y y <<231y y y <<312y y y <<【答案】D ；【解析】∵ ||＞0，∴ －||＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限k k 里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，∴ y x 1y 2y 3y 它们的大小关系是：．312y y y <<【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，1y )、(－2，2y )在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以12y y <，点(4，3y )在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．举一反三：【变式1】（2014春•海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.A. B.C. D.【答案】C ；提示：分两种情况讨论：①当k ＞0时，y=kx+3与y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；②当k ＜0时，y=kx+3与y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C ．【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】【变式2】已知,且则函数与在同一坐标＞b a ,0,0,0≠+≠≠b a b a b ax y +=xba y +=系中的图象不可能是( ) .【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函<0,0a b <0a b +<数来说，，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.0a b +>4、如图所示，P 是反比例函数图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此ky x=反比例函数的关系式．【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出的值，P 点既在函数的图象上又是矩形的顶k 点，也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．【答案与解析】解：设P 点的坐标为(，)，由图可知，P 点在第二象限，∴ ＜0，＞0．x y x y ∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－、．x y ∵ 矩形的面积为2，∴ －＝2，∴ ＝－2．xy xy ∵ ＝，∴ ＝－2．xy k k ∴ 此反比例函数的关系式是．2y x=-【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线所得矩形面x y 积为||这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．k 举一反三：【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A 、B ，分别作轴的垂线，)(0x x2y >=x 垂足为，连接OA ，OB ，与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形的面积分别''B A 、'AA B B PA ''为，试比较的大小.21S S 、21S S 、【答案】解：∵，AOP AOA A OP S S S ''∆∆∆=-OB A OPA PBB S B S S ''''∆∆=-梯形 且，AOA 112122A A S x y '∆==⨯=OB 112122B B B S x y '∆==⨯=∴.21S S =类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(－3，ky x=y mx n =+4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数x 的表达式．【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交ky x=y mx n =+点，所以把(－3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数ky x=的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一y mx n =+m n ，次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交x 点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．【答案与解析】解：因为函数的图象经过点(－3，4)，ky x= 所以，所以＝－12．43k=-k 所以反比例函数的表达式是．12y x=-由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则y mx n =+x 分两种情况讨论：当直线经过点(－3，4)和(5，0)时，y mx n =+有 解得43,05,m n m n =-+⎧⎨=+⎩1,25.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以．1522y x =-+当直线经过点(－3，4)和(－5，0)时，y mx n =+有 解得 所以．43,05,m n m n =-+⎧⎨=-+⎩2,10.m n =⎧⎨=⎩210y x =+所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或12y x =-1522y x =-+．210y x =+【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解．举一反三：【变式】如图所示，A 、B 两点在函数的图象上．(0)my x x=>（1）求的值及直线AB 的解析式；m （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【答案】解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得＝6．(0)my x x=>m 设直线AB 的解析式为．y kx b =+∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上，y kx b =+∴ 解得6,61,k b k b +=⎧⎨+=⎩1,7.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线AB 的解析式为．7y x =-+（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．类型四、反比例函数应用6、（2015•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v （千米/小时）与所用时间t （小时）的函数关系如图所示，其中60≤v ≤120．（1）直接写出v 与t 的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A 、B ，它们相距200千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进入A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．【答案与解析】解：（1）设函数关系式为v=，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意．当v=110时，v﹣20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.。
2020秋上海教育版数学八上第18章第2节反比例函数
反比例函数知识精要一．反比例函数概念1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如y=x k （k 是常数,k≠0）的函数叫做反比例函数，其中常数k 叫做比例系数 反比例函数y=xk 的定义域是不等于零的一切实数。
3．一般地，反比例函数y=x k （k 是常数，k 0≠）的图像叫做双曲线，它有两分支。
二．反比例函数性质1.当k>0时，函数图像的两分支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小。
2. 当k<0时，函数图像的两分支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大。
3.图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交。
精解名题例1.下列函数是不是反比例函数？为什么？（1）y=23x (2) y=-1-x (3) y=3x （4）y=x 3 （5）y=72+x （6）y=x 8+7 解：(2) ,(4)是反比例函数 例2．若函数132)2(y +--=m m x m 是反比例函数，则m 的值为（ ）A.1B.2C.1或2D.-1解：一个函数是反比例函数必须同时满足两个条件：(1)函数关系式中，自变量x 的指数是-1(2)比例系数k≠0故本题中m 应满足⎩⎨⎧≠--=+-021132m m m ，得到m=1,选A例3.已知y 与x 成反比例，且点（4，-2）在它的图像上，求y 与x 的函数解析式。
解：设y=xk （k 0≠） 把点（4，-2）代入，得-2=4k ，解得k=－4,∴函数解析式为y=x 4-，即y=x 4－。
例4.已知y=y 1+y 2，若y 1与x-1正比例，y 2与x+1成反比例函数，且当x=0时y=－5，当x=2时y=1(1)求y 与x 间的函数关系式；(2) 当y=－3时，x 的值。
解：(1) 根据题意，设y 1=k 1(x-1), y 2=1x 2+k , 从而可以得到y=1)1(k 21++-x k x , 把x=0，y=-5和x=2，y=1代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-21213115k k k k ， 解得k 1=2, k 2=－3 所以得到13)1(2y +--=x x 。
沪教版五四制八年级数学上册第十八章正比例及反比例函数讲义无答案
沪教版〔五四制〕八年级数学上册第十八章正比率与反比率函数讲义〔无答案〕第一讲正比率与反比率函数函数一．常量与变量：在某一变化过程中，固定不变的量称为常量；能够取不一样数值的量叫做变量。
变量和常量是相对的，在不一样的变化过程中式能够相互转变的。
二．函数：在某一变化中，假如有两个变量x与y，而且对于x的每一个确立的值，y都有独一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
〔1〕在一个变化过程中一定有两个变量x与y；〔2〕变量x有必定的取值范围〔在某个变化过程中〕这个取值范围我们把它叫做定义域。
〔3〕对x在这个范围内的每个值，y都有独一确立的值与之对应。
三．函数自变量的取值范围的确定：1〕整式函数：自变量的取值范围是全体实数；2〕分数函数：自变量的取值范围是使分母不等于零的数；3〕二次根式中中含自变量：自变量的取值范围是被开方数为非负实数；四．函数值：对于自变量在取值范围内的每一个确立的值，如当x a时，函数都有独一确立的对应值，这个对应值叫做当x a时的函数值，简称函数值五．函数的三种表示方法：分析式、图像法、列表法。
函数图像的画法：第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．经过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．依据坐标由小到大的次序把全部点用光滑曲线连接起来．1/12沪教版〔五四制〕八年级数学上册第十八章正比率与反比率函数讲义〔无答案〕【例题1】【根基，提升】如图，乌鸦口渴各处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子。
但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，深思一会后，聪慧的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上涨后，乌鸦喝到了水。
在这那么乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x，瓶中水位的高度为y，以下列图像中最切合故事情形的是〔〕。
【尖子】一个紧口瓶盛有一些水，乌鸦想喝，可是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增加而上涨，乌鸦喝到了水，可是还没解渴，瓶中水面就降落到乌鸦够不着的高度，乌鸦只能再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了。
正比例函数课件及复习
例2 在同一直角坐标系中画出y=x， y=2x，y=3x的函数图象，并比较它们的异同 点． 相同点：图象经
y
6 4
y = 3x
-6
-4
-2
· 2 · · o· 2
-2 -4
y = 2x y=x
过一、三象限，从 左向右上升； 不同点：倾斜 度不同， y=x， y=2x，y=3x的函数 图象离y轴越来越 近．
4
6
x
例3在同一直角坐标系中画出y=－x，y=－2x， y=－3x的函数图象，并比较它们的异同点．
y =－3x y =－2x
y
6 4 2 -6
y =－x
相同点：图象经 过二、四象限，从左 向右下降；
-4
-2 o -2
· 2 · · · -4
4
不同点：倾斜度 不同， y=－x，y=－ 6 2x， x y=－3x的函数图 象离y轴越来越近．
3、函数y=kx经过第二象限，则它还经过第__ 增大 四 象限，y随x减小而____.
随堂练习
1.函数y=－7x的图象在第 二、四 象 限内,经过点(0, 0 )与点(1,－7 ),y随x的增大 而 减少 .
2、正比例函数y=(k+1)x的图像中y 随x 的增大而增大，则k的取值范 围是 。 k＞-1
正
比 例 函 数
写出下列问题中的函数关系式
（1）圆的周长
l 随半径r变化的关系；(1)l 2r
l
(2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本叠 (3)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃， 物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间 t（单位：分）变化的关系。
《正比例反比例》总复习教案设计
《正比例反比例》总复习教案设计第一章：正比例与反比例的概念回顾1.1 回顾正比例和反比例的定义正比例：两个变量x和y之间的关系是正比例，如果它们之间存在一个常数k，使得y=kx（k≠0）。
反比例：两个变量x和y之间的关系是反比例，如果它们之间存在一个常数k，使得y=k/x（k≠0）。
1.2 探讨正比例和反比例的图像特征正比例函数的图像是一条通过原点的直线，斜率为正常数k。
反比例函数的图像是一条双曲线，通过原点，两支分别向x轴正半轴和x轴负半轴无限延伸。
第二章：正比例和反比例的性质与应用2.1 探讨正比例和反比例的性质正比例函数的性质：当x增大或减小时，y的值也按比例增大或减小。
反比例函数的性质：当x增大时，y的值减小；当x减小时，y的值增大。
2.2 应用正比例和反比例解决实际问题例题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶3小时后，行驶的路程是多少？解题思路：使用正比例关系，路程=速度×时间。
第三章：正比例和反比例的运算3.1 掌握正比例和反比例的运算规则正比例运算规则：两个正比例函数相乘，结果仍为正比例函数；两个正比例函数相除，结果为反比例函数。
反比例运算规则：两个反比例函数相乘，结果仍为反比例函数；两个反比例函数相除，结果为正比例函数。
3.2 进行正比例和反比例的运算练习练习题：已知两个正比例函数的解析式分别为y1=2x和y2=3x，求它们的和、差、积、商。
第四章：正比例和反比例的综合应用4.1 探讨正比例和反比例在现实生活中的应用实例：一家工厂的生产成本（固定成本+变动成本）与生产数量之间存在反比例关系，固定成本为10000元，变动成本为每件产品20元，求生产500件产品的总成本。
4.2 进行正比例和反比例的综合练习练习题：一个长方形的面积与它的宽之间存在正比例关系，当宽为5厘米时，面积为30平方厘米，求长方形的面积与宽的关系式，并求当宽为10厘米时的面积。
第五章：正比例和反比例的复习与检测5.1 进行正比例和反比例的知识点梳理梳理正比例和反比例的定义、性质、运算规则及实际应用。
第十八章正比例函数和反比例函数第一节正比例函数.docx
第十八章正比例函数和反比例函数第一节正比例函数适用学科数学适用年级八年级适用区域沪课时时长(分钟) 12 0知识点比例系数的判定、正比例函数的解析式求解、正比例函数的图像和性质教学目标L理解函数、函数解析式的概念；2.理解函数定义域和函数值的概念，并会求函数定义域和函数值；3理解正比例和正比例函数的概念，掌握正比例函数解析式,掌握正比例系数求法；4.掌握正比例函数的图像和性质,并能将二者结合起来领会。
教学重点会求正比例函数的解析式，掌握正比例函数的图像教学难点解析式的应用题的分析教学过程_■知识讲解1 •比例系数的判定(1)变量：可以取不同数值的量叫做变量。
【注意】保持数值不变的量叫做常量。
(2)函数：如果变量y随着变量x的变化而变化，它们Z间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
(3)正比例：如果两个变量每一组对应值的比值是一个不为零的常数，那么就说这两个变量成正比例。
【分析】注意这个常数一定要不等于零。
(4)止比例函数：解析式形如y = kx的函数叫做止比例函数.【注意】①常数k叫做比例系数，且不等于零.②定义域：一切实数。
③图像：经过点0(0,0)和点M(l,k)的一条直线。
④性质：当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当*0吋，正比例函数的图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
例1【例1］下列函数中，是正比例函数的是( )1 4(A) y = — x.(B) y = —•(C) y = 5x-3 .(D) y = 6x2 -2x-1 .* 2 x【分析】利用正比例函数的定义来判定。
小技巧：只有一次项，无其他项【解答】(A)只有一-次项，所以是(A)o例2已知正比例函数y = (3R -1)兀，若y随x的增人而增犬,k的取值范围是( )(A) k<0.(B) k>0・(C) k<-.(D) k>-・3 3【分析】利用题意来判定。
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《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.要点二、正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx的图像.为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数 1、定义定义域为不等于零的一切实数的函数xky =，（ k 为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k 也叫比例系数. 2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
3、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 4、反比例函数的性质：（1）当k ＞0时，函数图像的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，y 随x 的增大而减小；（2）当k ＜0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，y 随x 的增大而增大。
（3）两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴。
要点四、函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 1、解析法把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如)0(≠=k kx y 、)0(≠=k xky ，再如t S 100=、r C π2=、x y -=15……，2、列表法这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法． 3、图象法这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法． 【典型例题】类型一、函数的概念1、下列说法正确的是： （ ）Ａ.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；Ｂ.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数； Ｃ.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数； Ｄ.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的.举一反三：【变式】如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．2、求函数y =的定义域 【答案与解析】解：要使函数y =有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2.解得自变量取值是x ≥－3且x ≠－2.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数的定义域（1）．52+-=x x y （2）．423xy x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-；（4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义； 类型二、函数的解析式3、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k =∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】若函数22432m ny x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【答案与解析】解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1.4、．已知函数是反比例函数，则此函数解析式为_________。
【解析】：依题意，得：解得故所求函数解析为。
【总结升华】：反比例函数(k 是常数，k ≠0)也可记为：，其中k ≠0，x 的指数是－1。
举一反三：【变式】若函数y=(m 2－1)x为反比例函数，则m=________．【解析】：在反比例函数y=中，其解析式也可以写为y=k ·，故需满足：解得：.【总结升华】：函数y=为反比例函数，需满足k ≠0，且x 的指数是－1，两者缺一不可．类型三、函数的图象和性质5、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =、2y k x =、3y k x =、4y k x = 的图象分别为1l 、2l 、3l 、4l ，则下列关系中正确的是（ ） A ．1k ＜2k ＜3k ＜4k B ．2k ＜1k ＜4k ＜3k C ．1k ＜2k ＜4k ＜3k D ．2k ＜1k ＜3k ＜4k【答案】B ；【解析】首先根据直线经过的象限，知：2k ＜0，1k ＜0，4k ＞0，3k ＞0，再根据直线越陡，|k |越大，知：2||k ＞|1k |，|4k |＜|3k |．则2k ＜1k ＜4k ＜3k【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，1x ＋1y ＞0，那么t 的取值范围是（ ） A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12D ．不确定 【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，1x ＋1y ＞0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t－1＜0，t＜12．6．如图1，P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是____________．【答案】设P点坐标为(a，b)，则所以,.而，故，即.再设反比例函数为，由点P(a,b)在图象上，得，所以.从而求出，故解析式为.举一反三：【变式】已知反比例函数的图象在一、三象限，那么m的取值范围是_____。
【解析】：因为反比例函数的图象在一、三象限所以。
【总结升华】：反比例函数(k为常数，k不等于零)，当双曲线的两支分别位于第一、三象限时,则；当双曲线的两支分别位于第二、四象限，则。
类型四、函数的应用7、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【答案与解析】解：依题意：1122PS OA y =⋅⋅=∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长. 举一反三：【变式1】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强p （Pa ）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N ，回答下列问题：（1）用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？ （2）当木板面积为0.2m 2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大？ （4）画出相应的函数图象． 【解析】：随着木板面积变小（大），压强p （Pa ）将变大（小）．（1），所以p 是S 的反比例函数，符合反比例函数的定义．（2），所以面积为时，压强是．（3）若压强，解得，故木板面积至少要.（4）函数图象如图所示：【总结升华】：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识和物理知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具. 【变式2】若正比例函数的图像经过点A （－5，3）， （1）求k 的值；（2）判断y 随x 的增大如何变化；（3）如果这条直线上点B 的横坐标B x ＝4，那么它的纵坐标的值是多少？ 【解析】解：(1)∵直线y kx =经过点A （－5，3）∴3＝－5k∴k ＝53- ∴直线的解析式为35y x =- （2）∵k ＝53-＜0,∴y 随x 的增大而减小。