第三章 量子力学中的力学量 第六讲 电子在库仑场中的运动 ppt 量子力学教学课件

由（13）因 b0≠0 ,则:
S(s-1)- l(l 1)=0 求 s 得： s1=l+1,s2=-l ,s 为负时有极点心舍去
s=(l 1),代入（15）式得： nr snr l1=n
nr L 1 n
nr 是径向的量子数，n 是总量子数（主量子数）n=1、
2、3、4…………..
将
n 代入（9）得： n
0
0
0
0
变化 s2 , s1
将上式第一、四项求和括号内抽出 =0 的项，将剩下的项
写成 → +1，与其它合并。b0[S(s-1)- l(l 1)] ρs-2
+ {b1 [(s+ +1)(s+ )-l(l 1)]-b (s+ - )} S1=0 v0
若满足方程，令ρ的系数为“0”
b0[s(s-1)- l(l 1)]=0 (13)
±1,±2,±3,…±L,有 2L+1 个Y lm
因此对于一个 n
个值，有
n1
(2l
1)
n2
,
n2
个(r,
,)
l0
所以：电子第 n 个能级是n2 度简并
如：n=2 时有 4 个(r,,)
n=3 时有 9 个(r,,)
（3）几个简单的径向函数
2
n=1,L=0
：
R1,0
(r
)
(
z a0
)
3
2
exp
(
zr a0
第三章 量子力学中的力学量
第六讲 电子在库仑场中的运动
重点：理解所得出结论
难点：推导过程
一、 推导电子在库仑场中的 Ψ（r, θ,φ）
一个电子在带正电荷所产生的场中运动，电子的质量μ，
－e(电荷)，核的电荷 ze：z=1 氢原子，z＞1， 类氢原子，
取核为坐标原点：
则电子所受吸引力的势能
U
ze
2 s
的有限性相矛盾，则μ的形式如下：
μ（ρ）= e 2 f(ρ）(11)
代入（10）式得：
d2 f
d 2
df
d
[
l
(l
2
1)
]
f
0
(12)
令（12）解 f(ρ)= 0b sv，（b0≠0） (13)
S＞1,保证在
r=0
时，（
R
u r
）Ψ
有限，代入（12）式并展
开得：
b (s )(s 1) s2 b (s ) s1) b s1 b l(l 1) s2 0,
=(-1)
n 1(2l
l 1 2)
b0
b = = (-1) = l L 1 n 2 2(2l 3) b1
l L 1n 2(2l 3)
n 1(2l
l 1 2)
b0
(n l 1)(n 2!(2l 2)(2l
l 2) 3)
b0
b3
(n l 1)(n l 3!(zl 2)(2l
na0
(n l 1)!
2n[(nl)!]3
1
}2
讨论
（1）由
En
z2e4s
22n2
E n 只与 n 有关，且与
1 成正比，利用此公式可推导出原子的跃迁公式
n2
（2）(r,,)RnlY cm(,) 由 对于一个 n 值有一
个 En ， l : 0,1,2 n 1 ，n 个 Rnl ，对每一个 L, m=0,
r
1
es= (4 0 ) 2 (问电子绕核作什么运动？)
E＞0 时，E=T+V＞0 ，r=∞，
T＞-V=
ze
2 s
r
T＞0, 对 E 的任何值电子可以运动到无限远。
Ψ≠0，系统是连续态（E），（3）存在满足波函数解。
E＜0
时，由
E=T+V（r）=T-
ze
2 s
r
＜0,
r→∞时，T<0
Ψ=0 是束缚态→E 一般不连续。
2)(n l 3) 3)(2l 4)
b0
………………………………………
b nl 1
将 b b 用 b 表示可得： 0 、 1。。。。。。。。。。。。 bnl1
0
[ b f () 0
l1 1 n l 1 (n l 1)(n l 2) 1!(2l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
讨论：E0 时：令
R（r）=
(r) r
,
a=
8 | E (
2
|)
1 2
，
2zes2
a2
2es2
(
2
|E
|
)
1 2
（9）
作ρ=ar 的变换代入（6）得：
d 2 d 2
[
1 4
l
(l
2
1)
]
0
(10)
当ρ→∞时，（10）变为：
d 2 d 2
1 4
0
此式解：
μ（ρ）= e 2 , 特解。
e
2
与
Ψ
)
3
n=2,L=0,1：
R2,0
(r)
(
z 2a
0
2
)
(2
zr
a0
)
exp(
zr
2 a0
)
3
R2,1
(r
)
(
z 2a0
2
)
4zr
1
a0 (3)2
exp
(
ar
3 a0
)
n=3,L=0,1,2
R R R , ,
3,0
3,1
3,2
例 1：求 R10
b
1
(s
s 1)(s
)
l(l
1)
b
(14)
由（14）式可知
b 1
→∞时， b
1
而级数 e
1
1!
2 2!
3 3!
.....
!
......
相邻两项之比
1
，而e 随ρ→∞而趋于∞
所以 f ()在ρ→∞而趋于∞
若使 有限， f ()应为有限项。
设 nr ， b1 0 则由（14）得 nr s (15)
2
+….]
(2l 1)(n l 1)
=－b0 [(n1)!]2
L l1 2l1 ( ) n1
(17)
式中
n L 1
L (1) [(nl)!] 2l1() n 1 0
2 1
(n l 1 )!(2l 1 )!!
(18)
a=
e 2z 2 s n 2
2z
n a0
2
a0 2
es
2sindrdd 1
r0 0 0
(r,
,
)
R nl
Y
cm
(
,
)
代入
上式得
：
R (r)r Y Y 2
r0 nl
2 2
dr
* ( ,)
(,)dd 1
0 0 lm
lm
R r 由于Y lm 是归一化的
， 所以 r0
2 (r) 2 dr 1
nl
将 （19）式 代入 上式得
N
nl
{(
2z 3 )
氢原子玻轨道半径
ar 2z r
n a0
，
由可得径向波函数：
R（r）=
(r r
)
பைடு நூலகம்
μ（ρ）= e 2 f(ρ）
由此可得径向波函数：
Rnl
(r)
N
nl
zr
e na0
(
2z na0
l
r)
L ( 2l1 nl
2zr )
n a0
(L=0,1,2,…….n-1) （19）
r
2
*
(r, ,)(r, ,)
ze
2 s
(
2
|z
|
)
1 2
，导出：
E=﹣
z
2
e
2 s
22 n 2
n=1、2、3……..(16)
将 n, s l 1代入（14）得
b b L 1 n
1 ( 1)( 2l 2)
将 b b 用 b 表示可得： 0 、 1。。。。。。。。。。。。 bnl1
0
b0=b0
b = b L 1 n 1 1(2l 2) 0