集值映射的弱余切广义梯度的性质及应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 ３ 卷 第 ｌ ２ 期
２０１ 钜 ２
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｏＳ Ｔ ｅ ｙ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ １ １３ ．
１ 月
Ｊｎ ２ １ ａ． ０２
显然 ，若设 （ ） ） （） Ｋ ，则 ｇ（ ） ｅｉ ） ‘ Ｆ＋ （ ＝Ｆ ＋ ｒ Ｆ＋ ＝ ｐ（ ． Ｆ
定义 ２ 设 （， ） ｇ（ ） ∈ ｒＦ ，如果一个集值映射 Ｄ （， ）Ｘ－ Ｙ满足 ｇ（ Ｆ ￣ ） （ （， ） ： － ） ｒ （， ＝ Ｆ Ｄ ） ， 则称 Ｄ （， ） ＦＹ ： Ｙ为 Ｆ在 （， ） 的余切导数． 定义 ３ 设 （， ） ｇ（ ） 【 ３ Ｙ ∈ ｒ ，称集值映射 Ｄ Ｆ ｘ Ｙ ： ｙ为 Ｆ在 （， ） Ｆ （， ）Ｘ Ｙ 的余切上图导数 ，其中：
ｕ ｉ ｇｏ ａ ｏ ｔ ｇ ｎ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｒ ｄ ｅ ｔ ｓｎ ｆ ｗｅ ｋｃ ｎ ｉ ｅ ｔ ｎ ｒ ｚ ｄ ｇ ａ ｉ ｎ ． ｎ ｇ ｌ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎｉｇ ｎ ｐｄ ｒ ａｉｅ ｗ ａ ｏ ｔ ｇ ｎ ｅ ｅａｉ ｄｇａ ｉｎ ； ｏ ｔ ｌｙｃ ｎ ｉ ｏ ｙｗｏｄ ： ｏ ｔ ｅ ｔ ｉｅｉ ｔ ； ｅ ｋｃ ｎｉ ｅ ｔ ｎ ｒｌ ｅ ｒ ｄｅ ｔ ｐ ｉ ｉ ｏ ｄｔ ｎ ｎ ｅ ｖ ｖ ｎ ｇ ｚ ｍａ ｔ ｉ
（ ＝ Ｘｉ ｉ ｌ （＋Ｖ ０， “ ∈ ） ｌ ｎｈｄ ） ｊ其中： ａ ）￣ｌ—ｌ ｍ ｆ－ ＝ ｄ（ ＝ ｆ ｖ ｌ Ｉ ｕ ．
设 Ｆ： ｙ是一个集值 映射 ，ＫｃＹ是一个尖 闭凸锥且 ｉ Ｋ≠ ， Ｆ的定义域、图和上图定义分别 ｘ ｎ ｔ
为ｄｍ Ｆ ：｛∈ ｌ（ ≠ ｝ ｒ ） ｛ ， ） ＸＸ ｌ∈ ） ｐ Ｆ ：｛ ， ） ∈ ， ∈ （） Ｋ ． ｏ （ ） Ｘ ＸＦｘ ，ｇ（ ： （ ｙ∈ ｆ （ ，ｅｉ ） （ ｙｌ Ｘ Ｙ Ｆ ＋ ｝ ＝ ） Ｆ＝ ｙ ） （ ＝ ｘ
ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８ １ ０ ２ １ ０ ｏ：１． ６￣ｉ ｎ１ ７ ９ ３． １． ． ８ ３ ｓ ０ ２ ００
Ｔｈ ｒ ｐ ｒｉｓ ｆ ｅ ｋｃ ｎ ｉ ｇ ｎ ｅ ｅ ａｉｅ ｒ ｄｅ ｔ ｆ ｅｐ ｏ ｅ ｔ ａ ｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｒｌ ｄｇ ａ ｉｎ ｅ ｏｗ ｎ ｇ ｚ ｏ ｓ ｔ ｖ ｌ ｅ ｐ ｉｇａ ｄｉ ｐ ｌ ａｉｎ ｅ－ ａｕ ｄｍａ ｐｎ ｎ ｓａ ｐ ｉ ｔ ｔ ｃ ｏ
１ 引言及 预备知识
２０ 年 ， ０３ 宋文在文献［ ５给出集值映射的弱余切广义梯度的概念 ， １￣ １ 并且利用它进行了灵敏度分析． ０６ ２０ 年，作者在文献【 中研究 了集值映射的弱次微分与弱余切广义梯度的关系，并且给出了集值优化问题取得 ２ ］ 弱极小解的一个充分条件．本文在此基础上 ，给 出了集值映射的弱余切广义梯度的 ２ 个性质 ，并且借助弱
余切广义梯度得到了集值优化 问题取得局部弱极小解的一个必要条件． 设ｘ和ｙ 是实赋范空间，从 到 ｙ的所有连续线性算子的全体记为 Ｌ Ｘ ｙ ． （， ） 定义 １ 设 Ａ是 ｘ的一个非空子集 ，Ｕ ｃ Ａ Ａ的闭包 ） 口 ∈ ｌ ）（ （ 是一个给定元素，余切锥 （） Ｈ 定义为
文章编 号 ：１０ — ８ １（ ０２）０ —０ ５ ０ ０ ７９ ３ ２ １ １０ ２— ３
集值 映射的弱余切广义梯度的性质及应用
万莉娟 ，高艳林
（． １ 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 １ １０ ；２ 齐齐哈尔市第十五中学，黑龙江 齐齐哈尔 １１０ ６ ０６ ． ６０５）
摘要 ：给 出了集值映射的弱余切广义梯度的 ２个 ｝ ，并且借助弱余切广义梯度得到 了一类集值 生 质 优化问题取得局部弱极小解的一个必要条件． 关键词：余切上图导数 ；弱余切广义梯度 ；最优性条件 中图分类号：０ ７ ． １７ １ ９ 文献标识码 ：Ａ ．
收稿 日期 ：２ １－９ １ ０ １０— ０
作者克山人，副教授，硕士，从事非线性分析研究．Ｅ ｍ ｉ ａｌｕｎ ０＠１３ｃｒ － ａｌ ｎｉａ０ ７ ６ ． ｎ ：ｗ ｊ ｏ
高 师 理 科 学 刊
第３ ２卷
Ｄ Ｆ ｘ ）（）＝ ＭｉＤ（ ＋ ） ， ， “ ． ￣ （ ， ， ： ） ｎ Ｆ （ ）（） ）
ｎ ｃ ｓａｙｃ ｎ ｉｏ ｎ ｅ ｈｃ ｌｓ ｆｓｔ ｖ ｕ ｄ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ａ ｅａ ｌｃ ｌ ａ ｎｍａ ｏｕ ｉｎ ｂ ｅ ｅ ｓｒ ｏ ｄｔ ｎｕ ｄ ｒｗ ｉｈ ａｃａ ｓｏ ｅ— ａ ｅ ｐｉ ａｉ ｒｂｅ ｈ ｖ ａ ｋ ｍｉｉ ｌ ｓ ｌｔ ｙ ｉ －ｌ ｍｉ ｏ ｏ ｗｅ ｏ
Ａｂ ｔ ｃ ： Ｇａ ｅ ｔ ｏ ｐ ｏ ｅｔ ｓｏ ｅ ｋ ｃ ｎｉｇ ｎ ｅ ｅａｉｅ ｒｄｅ ｔｏ ｅ－ ａｕ ｄ ｍａ ｐｎ ｓ ａ ｄ ｏ ｔｉｅ ｓａｔ ｒ ｖ ｗ ｒｐ ｒ ｅ ｆｗ ａ ｏ ｔ ｅ ｔｇ ｎ ｒｌ ｄ ｇ ａ ｉｎ ｆｓ ｔｖ ｌｅ ｐ ｉｇ ， ｎ ｂａｎ ｄ ａ ｉ ｎ ｚ
ＷＡ ｉｊａ Ａ ａ —ｉ Ｎ Ｌ－ｕ ｎ，Ｇ Ｏ Ｙ ｎ ｌ ｎ
（ ． ｈ ｌｆｃｅｃ ，Ｑｑｈｒ ｎｖｒｔ， ｑｈｒ ６０６ ｈｎ ；２ Ｎ ．５ ｄｌ ＳｈｏｏＱｑｈｒ ｉｉａ １１０ ，Ｃ ｉ ） １Ｓ ｏ Ｓｉ ｅ ｉｉａＵ ｉ ｓｙ ｉ １１０ ，Ｃ ｉ ｃ ｏ ｎ ｅｉ ａ ａ ． ｏ１ Ｍｉｄｅ ｃｏｌｆ ｉｉ ，Ｑｑｈｒ ６０５ ｈｎ ａ ａ
２０１ 钜 ２
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｏＳ Ｔ ｅ ｙ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ １ １３ ．
１ 月
Ｊｎ ２ １ ａ． ０２
显然 ，若设 （ ） ） （） Ｋ ，则 ｇ（ ） ｅｉ ） ‘ Ｆ＋ （ ＝Ｆ ＋ ｒ Ｆ＋ ＝ ｐ（ ． Ｆ
定义 ２ 设 （， ） ｇ（ ） ∈ ｒＦ ，如果一个集值映射 Ｄ （， ）Ｘ－ Ｙ满足 ｇ（ Ｆ ￣ ） （ （， ） ： － ） ｒ （， ＝ Ｆ Ｄ ） ， 则称 Ｄ （， ） ＦＹ ： Ｙ为 Ｆ在 （， ） 的余切导数． 定义 ３ 设 （， ） ｇ（ ） 【 ３ Ｙ ∈ ｒ ，称集值映射 Ｄ Ｆ ｘ Ｙ ： ｙ为 Ｆ在 （， ） Ｆ （， ）Ｘ Ｙ 的余切上图导数 ，其中：
ｕ ｉ ｇｏ ａ ｏ ｔ ｇ ｎ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｒ ｄ ｅ ｔ ｓｎ ｆ ｗｅ ｋｃ ｎ ｉ ｅ ｔ ｎ ｒ ｚ ｄ ｇ ａ ｉ ｎ ． ｎ ｇ ｌ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎｉｇ ｎ ｐｄ ｒ ａｉｅ ｗ ａ ｏ ｔ ｇ ｎ ｅ ｅａｉ ｄｇａ ｉｎ ； ｏ ｔ ｌｙｃ ｎ ｉ ｏ ｙｗｏｄ ： ｏ ｔ ｅ ｔ ｉｅｉ ｔ ； ｅ ｋｃ ｎｉ ｅ ｔ ｎ ｒｌ ｅ ｒ ｄｅ ｔ ｐ ｉ ｉ ｏ ｄｔ ｎ ｎ ｅ ｖ ｖ ｎ ｇ ｚ ｍａ ｔ ｉ
（ ＝ Ｘｉ ｉ ｌ （＋Ｖ ０， “ ∈ ） ｌ ｎｈｄ ） ｊ其中： ａ ）￣ｌ—ｌ ｍ ｆ－ ＝ ｄ（ ＝ ｆ ｖ ｌ Ｉ ｕ ．
设 Ｆ： ｙ是一个集值 映射 ，ＫｃＹ是一个尖 闭凸锥且 ｉ Ｋ≠ ， Ｆ的定义域、图和上图定义分别 ｘ ｎ ｔ
为ｄｍ Ｆ ：｛∈ ｌ（ ≠ ｝ ｒ ） ｛ ， ） ＸＸ ｌ∈ ） ｐ Ｆ ：｛ ， ） ∈ ， ∈ （） Ｋ ． ｏ （ ） Ｘ ＸＦｘ ，ｇ（ ： （ ｙ∈ ｆ （ ，ｅｉ ） （ ｙｌ Ｘ Ｙ Ｆ ＋ ｝ ＝ ） Ｆ＝ ｙ ） （ ＝ ｘ
ｄ ｉ ０ ９ ９ ．ｓ． ０ — ８ １ ０ ２ １ ０ ｏ：１． ６￣ｉ ｎ１ ７ ９ ３． １． ． ８ ３ ｓ ０ ２ ００
Ｔｈ ｒ ｐ ｒｉｓ ｆ ｅ ｋｃ ｎ ｉ ｇ ｎ ｅ ｅ ａｉｅ ｒ ｄｅ ｔ ｆ ｅｐ ｏ ｅ ｔ ａ ｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｒｌ ｄｇ ａ ｉｎ ｅ ｏｗ ｎ ｇ ｚ ｏ ｓ ｔ ｖ ｌ ｅ ｐ ｉｇａ ｄｉ ｐ ｌ ａｉｎ ｅ－ ａｕ ｄｍａ ｐｎ ｎ ｓａ ｐ ｉ ｔ ｔ ｃ ｏ
１ 引言及 预备知识
２０ 年 ， ０３ 宋文在文献［ ５给出集值映射的弱余切广义梯度的概念 ， １￣ １ 并且利用它进行了灵敏度分析． ０６ ２０ 年，作者在文献【 中研究 了集值映射的弱次微分与弱余切广义梯度的关系，并且给出了集值优化问题取得 ２ ］ 弱极小解的一个充分条件．本文在此基础上 ，给 出了集值映射的弱余切广义梯度的 ２ 个性质 ，并且借助弱
余切广义梯度得到了集值优化 问题取得局部弱极小解的一个必要条件． 设ｘ和ｙ 是实赋范空间，从 到 ｙ的所有连续线性算子的全体记为 Ｌ Ｘ ｙ ． （， ） 定义 １ 设 Ａ是 ｘ的一个非空子集 ，Ｕ ｃ Ａ Ａ的闭包 ） 口 ∈ ｌ ）（ （ 是一个给定元素，余切锥 （） Ｈ 定义为
文章编 号 ：１０ — ８ １（ ０２）０ —０ ５ ０ ０ ７９ ３ ２ １ １０ ２— ３
集值 映射的弱余切广义梯度的性质及应用
万莉娟 ，高艳林
（． １ 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 １ １０ ；２ 齐齐哈尔市第十五中学，黑龙江 齐齐哈尔 １１０ ６ ０６ ． ６０５）
摘要 ：给 出了集值映射的弱余切广义梯度的 ２个 ｝ ，并且借助弱余切广义梯度得到 了一类集值 生 质 优化问题取得局部弱极小解的一个必要条件． 关键词：余切上图导数 ；弱余切广义梯度 ；最优性条件 中图分类号：０ ７ ． １７ １ ９ 文献标识码 ：Ａ ．
收稿 日期 ：２ １－９ １ ０ １０— ０
作者克山人，副教授，硕士，从事非线性分析研究．Ｅ ｍ ｉ ａｌｕｎ ０＠１３ｃｒ － ａｌ ｎｉａ０ ７ ６ ． ｎ ：ｗ ｊ ｏ
高 师 理 科 学 刊
第３ ２卷
Ｄ Ｆ ｘ ）（）＝ ＭｉＤ（ ＋ ） ， ， “ ． ￣ （ ， ， ： ） ｎ Ｆ （ ）（） ）
ｎ ｃ ｓａｙｃ ｎ ｉｏ ｎ ｅ ｈｃ ｌｓ ｆｓｔ ｖ ｕ ｄ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ａ ｅａ ｌｃ ｌ ａ ｎｍａ ｏｕ ｉｎ ｂ ｅ ｅ ｓｒ ｏ ｄｔ ｎｕ ｄ ｒｗ ｉｈ ａｃａ ｓｏ ｅ— ａ ｅ ｐｉ ａｉ ｒｂｅ ｈ ｖ ａ ｋ ｍｉｉ ｌ ｓ ｌｔ ｙ ｉ －ｌ ｍｉ ｏ ｏ ｗｅ ｏ
Ａｂ ｔ ｃ ： Ｇａ ｅ ｔ ｏ ｐ ｏ ｅｔ ｓｏ ｅ ｋ ｃ ｎｉｇ ｎ ｅ ｅａｉｅ ｒｄｅ ｔｏ ｅ－ ａｕ ｄ ｍａ ｐｎ ｓ ａ ｄ ｏ ｔｉｅ ｓａｔ ｒ ｖ ｗ ｒｐ ｒ ｅ ｆｗ ａ ｏ ｔ ｅ ｔｇ ｎ ｒｌ ｄ ｇ ａ ｉｎ ｆｓ ｔｖ ｌｅ ｐ ｉｇ ， ｎ ｂａｎ ｄ ａ ｉ ｎ ｚ
ＷＡ ｉｊａ Ａ ａ —ｉ Ｎ Ｌ－ｕ ｎ，Ｇ Ｏ Ｙ ｎ ｌ ｎ
（ ． ｈ ｌｆｃｅｃ ，Ｑｑｈｒ ｎｖｒｔ， ｑｈｒ ６０６ ｈｎ ；２ Ｎ ．５ ｄｌ ＳｈｏｏＱｑｈｒ ｉｉａ １１０ ，Ｃ ｉ ） １Ｓ ｏ Ｓｉ ｅ ｉｉａＵ ｉ ｓｙ ｉ １１０ ，Ｃ ｉ ｃ ｏ ｎ ｅｉ ａ ａ ． ｏ１ Ｍｉｄｅ ｃｏｌｆ ｉｉ ，Ｑｑｈｒ ６０５ ｈｎ ａ ａ