1实数的概念(教师)
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
1.实数的相关概念(讲)
9. 如图，数轴上有a、b、c、d 四个点，其中表示2
的相反数的点是( A )
第9题图
A.点a B. 点b C. 点c D. 点d 【解析】2的相反数为－2，表示－2的点为点a.
C
10. 如图，数轴上有a、b、c、d 四个点，其中到原点 距离相等的两个点是( )
第10题图
A.点b和点d
B. 点a和点c
【C.解点析a和】点数d轴上a，b，Dc.，点db和所点表c示的数到原点的距离 分别为2，1，0.5，2，故选C.
基础点3 科学计数法
表示形式：a× 10n ，其中⑪_____≤a＜⑫_____，n是整数．
1. 对于一个大于10的数，n为1原数的整数1位0数减1或原数变为a时
小数点移动的位数；
数，倒数是它本身的数是⑩__±__1__．
4. －4的相反数是__4____，绝对值是__4____，
倒5.数12的是相_反__1数4__是_．____12__，绝对值是___12___，
1 6
倒
数是___2___．
6. 的相反数的绝对值是___16___，相反数的倒
数是__6____． 78..|3－的2倒|的数相的反相数反是数_是_-_2_______，_13倒_，数倒是数__的12_绝__对_．值
2 中，是有理数的有 tan45°，3 8 ， ，0
是无理数的有 3 ， 2 ， sin60°，
0.101001…，2 ．
【提分要点】化为最简形式后含有π的实数都为 无理数．
2.按正负分 正实数（>0）
(1)实数 0 负实数
2. 在实数3、 1 、(－1)0、＋(－2.1)、－0.10、0、 －π、－(－5)、2 －13%、|－3|中，是正数的
实数教学总结知识点
实数教学总结知识点一、实数的定义和分类1. 实数的定义实数是指能用数线上的一点表示的数。
包括有理数和无理数两个部分。
有理数是指可以表示为两整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类实数分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无理数是指不能表示为有理数的数，比如π和e等。
二、实数的性质和运算1. 实数的大小比较实数之间可以通过大小关系进行比较，可以使用大小关系进行排序。
在实数范围内，大于0的数为正数，小于0的数为负数。
2. 实数的加法和减法实数的加法和减法遵循交换律和结合律，满足加法逆元和减法逆元的性质。
3. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循交换律和结合律，分母不为0时可进行除法运算。
4. 实数的运算性质实数的运算满足分配律、结合律、交换律和消去律等性质。
三、实数的代数运算1. 实数的乘方和开方对于实数的乘方运算，有着指数运算的法则，例如乘方和开方的逆运算。
2. 实数的多项式运算实数的多项式运算包括加法、减法、乘法和除法等运算。
3. 实数的根式运算根式运算是对实数的开方运算，需要注意分母不为0，并且运算结果可能是有理数或无理数。
四、实数的应用1. 实数在代数方程中的应用实数在代数方程中起到了重要作用，可以通过实数的代数运算解决方程，例如一元一次方程、二元一次方程等。
2. 实数在几何中的应用实数在几何中有着广泛的应用，比如用实数表示坐标、长度、面积和体积等概念。
3. 实数在金融和经济中的应用实数在金融和经济中也有着广泛的应用，比如利息计算、货币兑换和股票投资等。
五、实数教学方法和策略1. 实数教学方法在实数教学中，老师可以采用讲解、示范、演练、实验、讨论等多种教学方法，提高学生对实数的理解和应用能力。
2. 实数教学策略在实数教学中，老师可以引导学生进行探究性学习，激发学生的学习兴趣，培养学生的实际动手能力和解决问题的能力。
六、实数教学中的注意事项1. 注重基础知识的建立实数是数学的基础，老师要注重实数的基本概念和分类，使学生能够对实数有一个清晰的认识。
什么是实数？实数包括什么数
什么是实数？实数包括什么数
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什么是实数？实数包括什么数
实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，实数集通常用黑正体字母R表示，实数是不可数的。
实数和虚数共同构成复数，实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性。
拓展阅读：实数和虚数统称为
实数和虚数统称为复数。
形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数，不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应，但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数知识点总结概括初中
实数知识点总结概括初中一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数的集合，记作R。
有理数包括整数和分数，而无理数是那些无法写成有理数形式的数，如π和√2等。
实数的概念是对数的一个总称，它是数学研究和运用的基础。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限的循环小数。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而无理数通常用无限不循环小数表示。
3. 实数的分布实数可以用数轴表示，数轴上的点对应着实数。
实数在数轴上是连续的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种连续的性质是实数的重要特点之一。
二、实数的性质1. 实数的比较实数之间可以比较大小，可以用不等式表达实数的大小关系。
对于任意两个实数a和b，有a＜b、a＝b或a＞b三种可能的关系。
2. 实数的绝对值实数的绝对值是这个实数到原点的距离，记作|a|，其中a是实数。
绝对值有以下性质：（1）若a＞0，则|a|=a；（2）若a＜0，则|a|=-a；（3）|a|=0的充分必要条件是a=0。
3. 实数的有序性实数集合是有序的，即实数集合中的每个实数都可以和实数集合中的其他实数相比较大小。
这种有序性是实数与数学中其他集合的一个重要区别。
4. 实数的密度实数在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种性质体现了实数的密度，也是实数在数学中的重要性质之一。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法和减法是最基本的运算，可以利用数轴对实数的加法和减法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法是对实数进行组合和分解的运算，可以用数轴对实数的乘法和除法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
3. 实数的乘方和开方实数的乘方和开方是对实数进行多次相乘或多次开方的运算，可以用数轴对实数的乘方和开方进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是实数运算的综合应用，包括加减乘除、乘方开方等多种运算的组合和应用。
实数基本概念
实数基本概念实数基本概念及应用一、实数的定义与性质1.1 实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数。
其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。
1.2 实数的性质实数具有连续性、完备性、有序性等性质。
连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。
二、实数的表示方法2.1 有限小数表示法有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。
例如，123.45表示为有限小数123.45。
2.2 无限小数表示法无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。
无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。
三、实数的运算3.1 加法运算实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.2 减法运算实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。
3.3 乘法运算实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
3.4 除法运算实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。
3.5 指数运算实数的指数运算可以使用幂运算进行。
即a^b=c，则log(a)c=b。
3.6 对数运算实数的对数运算可以使用指数运算进行。
即log(a)b=x，则a^x=b。
四、实数在生活中的应用4.1 测量中的应用实数在测量中有着广泛的应用。
例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。
4.2 工程中的应用在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。
例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。
初一-实数复习(1)(教师版)
… … 有理数集合 无理数集合 OACB 题型2：实数的分类【例2-4】实数可分为正实数，零和__负实数__.正实数又可分为_正有理数_和_正无理数__，负实数又可分为_负有理数_和_负无理数__. 【例2-5】下列说法正确的是( D )A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【例2-6】 把下列各数分别填在相应的集合里：,722 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，3π，⋅⋅⋅313113111.0。
举一反三 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.-6，π，-23，-|-3|，227，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1… 整数：{ -6，-|-3|，0 ,…}， 负分数：{ -23，-0.4 ,…}， 无理数：{ π，6，1.101 001 000 1… ,…}.知识点三：实数与数轴实数与数轴数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。
实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。
【例3-1】把无理数5在数轴上表示出来。
分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。
解：如图所示，,1,2==AB OA 由勾股定理可知：5=OB ,以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。
【例3-2】下列结论正确的是( D ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点【例3-3】比较下列各组实数的大小：（1）4，15 （2）π，1416.3 （3）23,23-- （4）33,22举一反三 若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____7_____.举一反三 如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O ′,点O ′所对应的数值是____π______.三、课堂练习一、选择题1．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．是近似值，无法在数轴上表示准确22．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数 3．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±14．估计的大小应在（ ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间5．－27的立方根与的算术平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或66．实数和的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个正方体水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在（ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点二、填空题9．__无限不循环小数____叫无理数，__有理数和无理数___统称实数． 10．___实数___与数轴上的点一一对应． 11．把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ －1、－3.14、 、 ｝；（2）无理数集合｛、π、、 ｝； 768176.2、227226.2<<226.27<<2276.2<<76.222<<153926-22-7.0&97.0&326-22-②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
《实数》实数课件
实数在微积分中有着重要的地位，如函数的极限、导数、积分等概念都涉及到实数的运算 ，实数在微积分中的应用推动了人类对自然界的认识。
04
总结与回顾
本章重点回顾
实数的概念与分类
实数的运算和性质
平方根和立方根
绝对值和比较大小
进一步学习建议
加强练习
拓展知识
多做习题，加深对实数概念和性质的理解。
学习其他数学知识和技能，如三角函数、不 等式等。
实数a的算术平方根记作sqrt(a)，定义有sqrt(a)≥0，且[sqrt(a)]^2=a。
乘方
对于任何实数a和正整数n，an叫做a的n次方，记作a^n，定义有a^0=1，且 a^n=a*a*...*a(n个a相乘)。
实数与数轴
定义
在数学中，可以用一条直线上的点来表示实数，这条直线叫做数轴。
数轴上的表示
03
金融计算
利率、汇率等金融数据可以用实数来表示，实数在金融领域的应用为
投资理财和经济分析提供了计算基础。
实数在数学领域中的拓展
代数基础
实数在代数中有着广泛的应用，如解方程、因式分解、求函数最值等，实数的引入为代数 领域提供了更多的运算工具和研究对象。
三角函数
三角函数是实数在三角学中的应用，如正弦、余弦、正切等，实数与三角函数的结合为数 学和物理等学科提供了重要的分析工具。
无理数
无限不循环小数叫做无理数，例如π、根号2等。
复数
在数系中加入虚数后，数学上将数集分为实数和复数两类。其中实数又分为有理数和无理 数，有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数。复数包括实数和虚数，虚数包 括纯虚数和非纯虚数，非纯虚数包括实数和虚数。
02
实数的运算与几何意义
《实数的概念》课件
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
实数及其相关知识点总结
实数及其相关知识点总结实数是数学中最基本的一类数，它包括有理数和无理数。
它们可以用来描述现实世界中的各种量、度、数值等情况。
在数学中，实数是一种被广泛应用的数学概念，在各个数学领域中都有重要的地位。
一、实数的概念及表示1. 实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的一类数，它们可以用来度量各种量和数值，是数学中最基本的数。
实数有两个特点：一是可以按照大小次序进行排列，二是实数之间的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式、无理数、无穷小数等形式来表达，例如π是一个无理数，表达为π=3.1415926...。
二、实数的分类实数可以根据有理数和无理数的不同来进行分类。
1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、分数（有理数本质上是一个整数和一个非零整数的比值）。
有理数之间的加减乘除运算结果仍然为有理数。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数，包括根式、圆周率π、自然对数e等。
无理数的小数部分是无限不循环的。
三、实数的运算实数之间的加减乘除运算是实数运算的基本规则。
在进行实数运算时，需要注意以下几点：1. 实数的加法和减法实数的加法和减法要求实数为同号时，两数的绝对值相加，符号不变；异号时，两数的绝对值相减，结果符号取绝对值大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律、结合律和分配律。
当实数相乘时，同号得正，异号得负；当实数相除时，被除数不能为0，且除零法则成立。
3. 实数的乘方与开方实数的乘方和开方是实数运算的重要部分，它们满足一些特殊的运算规律，比如相同底数的指数相加、相同底数不同指数的指数相减、开方运算等。
四、实数的性质1. 实数的代数性质实数具有封闭性、结合律、交换律、分配律、恒等律和互补律等性质，这些性质对于实数的运算都有重要的作用。
2. 实数的有序性实数集具有良序性，对于任意两个实数a和b，可以确定它们的大小关系，即a=b、a>b 或a<b，这种大小关系称为实数的大小次序。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
实数知识点总结归纳
实数知识点总结归纳一、实数的定义1. 实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数等；无理数是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。
实数的概念是对一切可以在数轴上标出的点的统称。
2. 实数的表示实数可以用十进制数表示，包括整数部分和小数部分。
例如，数3.14是一个实数，3是它的整数部分，0.14是它的小数部分。
3. 实数的性质实数具有有限性、稠密性、连续性和比较性等基本性质。
有理数与无理数的性质有所不同，但它们都是实数的一部分。
二、实数的性质1. 实数的顺序性实数集合中任意两个数都可以比较大小，即对于任意a，b∈R，要么a＜b，要么a＝ b，要么a＞b。
2. 实数的稠密性实数集合中任意两个不相等的实数之间都有无穷多个实数。
例如，任意两个有理数之间必存在无理数，任意两个无理数之间必存在有理数。
3. 实数的加法性质实数的加法运算满足交换律、结合律和分配律。
对于任意a，b，c∈R，有a＋b＝b＋a，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），a（b＋c）＝ab＋ac。
4. 实数的乘法性质实数的乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。
对于任意a，b，c∈R，有ab＝ba，（ab）c＝a（bc），a（b＋c）＝ab＋ac。
另外，实数0的乘法恒等于0，实数1的乘法恒等于自身。
5. 实数的整除性实数可以相互整除，如果a，b∈R，且a≠0，则必存在一个实数c，使得a＝bc。
这个性质表明了实数的整除性。
6. 实数的实数运算实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即对于任意a，b∈R，a＋b，a－b，ab，a/b∈R。
这意味着实数的四则运算可以得到实数。
7. 实数的有理数和无理数性质有理数和无理数的性质有所不同，其中有理数可以表示为有限小数、循环小数或分数，而无理数不能用这些形式表示。
三、实数的应用1. 实数在数轴上的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴是一个无限延伸的直线，用来表示实数的大小和相对位置。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
第一课实数的概念课件
第一课实数的概念课件教案内容：一、教学内容：本节课的主要内容是实数的概念，我们将学习实数的定义、分类以及实数与数轴的关系。
教材的章节为《数学》第一册第六章第一节。
二、教学目标：1. 了解实数的定义和分类，理解实数与数轴的关系。
2. 能够正确运用实数进行运算，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三、教学难点与重点：难点：实数与数轴的关系，实数的运算。
重点：实数的定义和分类，实数的运算规则。
四、教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、数轴模型。
学具：笔记本、尺子、铅笔。
五、教学过程：1. 实践情景引入：利用数轴模型，引导学生观察数轴上的点与实数的关系，让学生感受实数与数轴的密切联系。
2. 知识讲解：（1）实数的定义：实数是包括有理数和无理数的所有数。
（2）实数的分类：有理数和无理数。
（3）实数与数轴的关系：数轴上的每一个点都对应一个实数，实数也可以用数轴上的点来表示。
3. 例题讲解：例题：求解方程x + 2 = 5。
讲解：将方程转化为x = 5 2，得到x = 3。
4. 随堂练习：练习题：求解方程2x 3 = 7。
5. 板书设计：实数的定义、分类及与数轴的关系。
六、作业设计：1. 作业题目：（1）列举三个有理数和三个无理数。
（2）根据数轴上的点，写出对应的实数。
（3）求解方程3x + 4 = 19。
2. 答案：（1）有理数：1, 2, 3；无理数：√2, √3, π。
（2）实数：5, 0, 4。
（3）x = 19 4 / 3 = 11 / 3。
七、课后反思及拓展延伸：本节课通过数轴模型，让学生直观地理解了实数与数轴的关系，通过例题和随堂练习，巩固了实数的运算规则。
但在教学过程中，要注意引导学生积极参与，提高学生的动手操作能力。
拓展延伸：研究实数的其他性质，如实数的乘方、开方等。
重点和难点解析：一、教学内容中的重点细节1. 实数的定义和分类：实数包括有理数和无理数，这是学生理解实数系统的关键。
实数的概念说课稿人教版
实数的概念说课稿人教版一、教学目标本节课的教学目标旨在让学生理解和掌握实数的基本概念、性质和分类，以及实数与有理数和无理数之间的关系。
通过对实数的学习，学生能够熟练地进行实数的运算，并在实际问题中应用实数的概念。
二、教学重点与难点1. 教学重点：- 实数的定义和性质- 实数的分类：有理数和无理数- 实数的加、减、乘、除运算规则2. 教学难点：- 无理数的理解和介绍- 实数与有理数之间的区别和联系- 实数集的完备性及其在解方程中的应用三、教学过程1. 引入新课- 通过回顾有理数的概念，提出学生可能遇到的问题，例如：是否存在不是有理数的数？引导学生思考数集的扩展。
- 介绍实数的起源和发展，以及实数在数学中的基础地位。
2. 讲解实数的定义- 定义实数为能够用小数表示的数，包括有限小数和无限循环小数。
- 通过实例说明实数与有理数的关系，如1/2=0.5，√2≈1.414等。
3. 实数的分类- 介绍有理数和无理数的定义，并通过实例进行区分，如1/3=0.333...（无限循环小数，为有理数），π（无限不循环小数，为无理数）。
- 讨论实数集的封闭性，即任何两个实数的和、差、积、商仍然是实数。
4. 实数的性质- 讲解实数的有序性，即每个实数都有一个确定的大小顺序。
- 介绍实数的完备性，即任何实数序列都有一个极限，这个极限也是实数。
5. 实数的运算- 详细讲解实数的加、减、乘、除运算规则，以及运算律（交换律、结合律、分配律）。
- 通过例题演示实数运算的过程，强调运算的准确性和简便性。
6. 实际应用- 通过解决实际问题，如计算物体的运动距离、速度等，让学生体会实数的应用价值。
- 引导学生思考如何在现实生活中识别和应用无理数。
7. 课堂练习- 设计针对性的练习题，包括实数的分类、运算和应用，以巩固学生的知识掌握。
- 鼓励学生相互讨论和解答，教师适时给予指导和反馈。
四、课堂小结- 总结实数的定义、性质、分类和运算规则，强调实数在数学和现实生活中的重要性。
实数的知识点总结课件
实数的知识点总结课件一、实数的概念1.1 实数的定义实数是数学领域中的一种数字概念，包括有理数和无理数。
实数是可以用来度量和计算数量的数，是数学中最基本的数。
1.2 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以用整数或整数分数表示的数，而无理数是不能用有限的整数或整数分数表示的数。
二、实数的性质2.1 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的实数a、b、c有：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
2.2 实数的减法实数的减法满足异减法a-b=a+(-b)，其中-a称为a的相反数，满足a+(-a)=0。
2.3 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的实数a、b、c有：ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
2.4 实数的除法实数的除法满足a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
2.5 实数的乘方实数的乘方满足乘方的次序异法则：(a^m )^n=a^(mn)，其中a为非零实数，m和n为任意实数。
三、实数的表示和比较3.1 实数的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴上任意一点与原点的距离称为这个点的坐标。
3.2 实数的比较实数的比较可以通过数轴上的位置进行比较，即若a在b的左边，则a小于b，若a在b的右边，则a大于b。
四、实数的运算4.1 实数的加减运算实数的加减运算即是对实数进行加法和减法的操作，按照加法和减法的性质进行运算。
4.2 实数的乘除运算实数的乘除运算即是对实数进行乘法和除法的操作，按照乘法和除法的性质进行运算。
4.3 实数的乘方运算实数的乘方运算即是对实数进行乘方的操作，按照乘方的性质进行运算。
五、实数的应用5.1 实数在代数中的应用实数在代数中可以用来解方程、求根以及进行代数计算。
5.2 实数在几何中的应用实数在几何中可以用来表示线段、面积、体积等几何量，并进行几何计算。
实数的有关概念课件
VS
详细描述
实数的乘法运算具有结合律和分配律，即 (ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。乘法运 算在实数轴上表示为标量积，即结果向量 的长度为两个向量长度乘积的绝对值。
除法运算
总结词
实数的除法运算是将一个实数除以另一个非 零实数，得到商的操作。
详细描述
除法运算可以理解为乘上倒数，即 a/b=a*1/b。除法运算在实数轴上表示为向 量缩放，即结果向量的长度为被除数向量长 度除以除数向量的长度。
03
实数的运算
加法运算
要点一
总结词
实数的加法运算是指将两个实数相加，得到另一个实数的 操作。
要点二
详细描述
实数的加法运算具有交换律和结合律，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。加法运算在实数轴上表示为向量相加 ，即求得两个向量终点坐标的和作为结果向量的终点坐标 。
减法运算
总结词
整数与小数
整数
整数包括正整数、零和负整数，如1、0、-1、200等。整数是数学中基本的计数 系统，具有封闭性，即任意两个整数的四则运算结果仍为整数。
小数
小数是一种特殊的实数，可以表示为有限小数或无限循环小数，如0.5、0.333... 等。小数可以用来表示精确度或比例，如测量时的精确数值或价格的比例关系。
02
数轴上的点与实数一一对应，可以用实数表示点的 位置，也可以用点表示实数的值。
03
数轴上的点可以按照大小关系进行排列，从而将实 数也按照大小关系进行排列。
02
实数的分类
有理数与无理数
有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。有理数在数轴上表示为两点之间 的线段。
人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》教学设计
人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》是学生在掌握了有理数的基础上，进一步对实数进行学习。
本节内容主要介绍实数的概念，包括实数的定义、实数的性质等。
教材通过实例和问题，引导学生理解实数的意义，并能够运用实数进行简单的运算和解决问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的概念和运算方法，具备一定的数学基础。
但实数概念相对抽象，学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过实例和问题，引导学生理解和掌握实数的概念。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的性质。
2.能够运用实数进行简单的运算和解决问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.实数的定义和性质。
2.实数的运算方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，实例帮助学生理解，小组合作促进学生交流和讨论。
六. 教学准备1.教材、PPT等相关教学资料。
2.实例和问题。
3.小组合作学习分组。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，我们已经学习了有理数，那么有理数能表示所有的数吗？还有哪些数是有理数无法表示的？”2. 呈现（15分钟）利用PPT展示实数的定义和性质，结合实例进行讲解。
例如，通过数轴展示实数，解释实数包括有理数和无理数，以及实数的性质如大小关系、加减乘除等。
3. 操练（15分钟）让学生进行实数的运算练习，巩固所学知识。
例如，给出一些实数的运算题目，让学生独立完成，然后集体讲解答案。
4. 巩固（10分钟）通过问题和小测验的形式，巩固学生对实数的理解和掌握。
例如，提出一些关于实数的问题，让学生回答，或者让学生解决一些实际问题，运用实数进行计算。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考实数在实际生活中的应用，拓展学生的思维。
《实数的概念》课件
实数在生活中的应用
温度计上的实数
温度计上的数字表示实际温 度
温度计在生活中的应用：测 量体温、监测天气等
温度计的种类：水银温度计、 电子温度计等
温度计的准确性和使用注意 事项
身高体重指数（BMI）中的实数
身高体重指数（BMI）的定义 BMI中的实数计算 BMI指数在健康生活中的应用 如何根据BMI指数调整生活方式
课堂互动环节设计
案例分析：通过分析具体案例，让 学生更好地理解实数的概念和应用
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分组讨论：将学生分成小组，让他 们讨论相关问题，提高合作能力
课堂测验：通过小测验或练习题， 检验学生对实数概念的理解和掌握 情况
练习题与答案解析
● 题目1：什么是实数？ 答案1：实数包括有理数和无理数，有理数包括整数、分数、小数等，无理数包括无限不循 环小数等。
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地图上的经纬度
经纬度定义：经度和纬度是地图上的两个基本坐标系统，用于确定地球上 任何位置的坐标。
实数与经纬度的关系：经度和纬度都是实数，可以用小数或度数表示。
经纬度在地图上的应用：通过经纬度可以确定地球上任何位置的精确位置， 从而进行导航、定位和地理信息系统的应用。
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实数与其他数学概念的关系
总结与回顾
本节课的重点与难点总结
重点：实数的概 念、分类和性质
难点：实数的运 算规则和实际应 用
解决方法：通过 例题讲解和练习 巩固，加深对实 数概念的理解和 掌握
总结：回顾本节 课所学内容，强 调容
数
无理数与有理 数的区别：定 义、性质、运 算规则等方面
的差异
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实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.（2）正数a 的两个平方根可以用“a 的正平方根，叫做a 的正平方根，也叫做a的算术平方根；a 的负平方根.6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.8. 常见的无理数有三种类型：第一类：π型：如π，π+2，…；；9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.热身练习1. 将下列各数填在相应括号内：π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 3333+-， …}； 整数集合 { 327-， 3333+-， …}；正数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， …}；分数集合 { 3.14， ⋅⋅12.0， …}；实数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-，}.2. 判断 （1）无限小数都是无理数 （ × ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ × ） （3）不带根号的数都是有理数 （ × ） （4）带根号的数都是无理数（ × ）3.（1解：介于1和2介于2和3之间.（2）写出一个比－1大的负有理数是 －0.5 ，比－1大的负无理数是22-. 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根 解：（1）－16没有四次方根 （2）16的四次方根为 ±2 （3）－32的五次方根为2- （4）28-无六次方根 （5）－0.00243的五次方根为－0.3 （6）2(27)-的六次方根为3± 5. 求下列各数的平方根（1）121 （2）649（3）0.0009 （4）361 解：(1)11± (2) 83± (3) 0.03± （4）±196．求下列各数的算术平方根 （1）81 （2）1625（3）289 （4）0.0001 解： (1)9 (2)45(3)17 (4) 0.017．求下列各数的值.（1 （2） （3）2 解： (1)115(2)12± (3)58. 求下列各式的值（1）2 （2）2(0)a >（3）2((0)a > （4（50)a > （6)a 是实数解： (1)15 (2)a (3)a (4)15 (5)a (6)a9. 一个正数的两个平方根为2a +1,5－a 求这个数. 解：2a +1+5－a =0解得：a =－6 这个数是121.10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.解：0322x y x y +=⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩故a 的平方根是 2或－2.11. 求下列各数的立方根.（1）－64 （2）343 （3）1918- （4）0.729解：（1）－4 （2）7 （3）92- （4）0.912. 求下列各式的值（1） （2） （3解：（1）12 （2）65（3）6013. 解简单的高次方程（1）16842=-x （2）81)3(42=-x解：6±=x 解：23215-=或x（3）3918x += （4）3(1)27x +=- 解：21=x 解：4-=x（5）60444=-x （6）7645=x 解：2±=x 解：519=x精解名题例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为x .8042=x解得52±=xx 是正数52=∴x答：小正方形的边长为52. 例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.2.236≈7.071≈，求下列各式的值.（1）≈ 22.36 （2）≈－70.71（3）≈ 0.2236 （4≈ 0.7071注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右（或左）移动 三 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 一 位.若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，-≈≈≈的值. 解：；619.62903≈ 72.30290003-≈-；1426.00029.03≈..巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边-52，3π 3.14，01-，21整数集合 { 0 1- …}；无理数集合{3π1，2， …}；有理数集合{ -52， 3.14，01 …}； 2．如果9=x ，那么x ＝ ±9 ；如果92=x ，那么=x ±3 ． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 1,0 ． 4．算术平方根等于它本身的数有 0，1 ，立方根等于本身的数有 ±1,0 ．5. x ==则 0,1 ，若,x x =-=则 非正数 . 6．81的平方根是 ±3 ， 210-的算术平方根是 0.1 ． 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a =－1，这个正数是 9 ． 8．21++a 的最小值是 2 ，此时a 的取值是 －1 ． 二、选择题1. 下列说法正确的个数是（ A ）（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若2x a =，则（ D ）A.0x >B. 0x ≥C. 0a >D. 0a ≥3．2)3(-的值是（ B ）A ．3-B ．3C ．9-D ．94．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ A ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ C ）A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤7. 若n 为正整数,则2等于（ A ）A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ A ）A.01a <<B.0a >C. 1a <D. 1a >自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边2π，－3.1415926927，103，72-，0.2010010001-，1.732，有理数，－3.1415926927， 103， 72-， 1.73 2…}无理数{2π，0.2010010001-，…}非负实数 2π ，103，1.732 …}2.()332-= －2 ，()337-= －7 .3.641-的立方根是14.4.－0.001的立方根是 －0.1 ；－1的9次方根是 －1 .5.()=-553 －3 ；363）（-= 9 .二、选择题1.（ C ）A. 9B. ±3C. 3D. －3 2. 下列计算正确的是（ D ）A.= B.2=- C.3=± D.2=3. 下列各数中，没有平方根的是 （ A ）A ．－2 B. 0 C. 13D.4．下列实数317，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ A ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ B ）AB ．CD6．下列各组数中互为相反数的一组是（ C ）A ．2--B ．4-与C ．D ．三、计算 1、求值（1）49144的平方根； （2） 解：原式= 712± 解：原式=－50（3） （4）解：原式=40 解：原式= 43±（5） 0.0036的平方根 （6）解：原式= 0.06± 解：原式= －5（7） （8）641-的立方根解：原式= 2 解：原式=14（9）()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-； （10） ()次方根；的421.12-解：原式 = 解：原式= 1.1±2、解方程（1）;272=x （2）;0183=-x 解：27±=x 解：21=x（3） ()2512=-x ； （4）()016223=++x .解：64或-=x 解：4x =-。