(完整版)极坐标几何意义的运用

极坐标、参数方程几何意义的应用一、t 几何意义的理解：1、(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 与曲线C交于A ，B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，求|PA |·|PB |的值.2、(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.二、ρ几何意义的理解：3、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).(1)求曲线C 的极坐标方程；4、（2019顺德一模）在直角坐标系xOy中，曲线12cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数），直1cos sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩：（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C 与1l 的极坐标方程； （2）当63ππα-<<时，直线1l 与C 相交于O A 、两点；过点O 作1l 的垂线2l ，2l 与曲线C 的另一个交点为B ，求OA OB +的最大值．5、（2019广州）已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB △的面积．6、已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4. (1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.7、(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.8、(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. (1)求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|OA |·|OB |.极坐标、参数方程几何意义的应用参考答案：1、解 (1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，∴x 2＋y 2＋y 2＝2， 即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.(2)点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.法一 P ⎝⎛⎭⎫12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝⎛⎭⎫12－22t ′2＋2⎝⎛⎭⎫12＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0，|PA |·|PB |＝|t 1′|·|t 2′|＝|t 1′t 2′|＝56. 2、解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点. 当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4).设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4).3、解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12， ∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12， ∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.4、解：（1）因为曲线12cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数），所以曲线C的普通方程为：22(1)(4x y -+=………………………1分由cos ,sin x y ρθρθ==得C的极坐标方程为22cos sin 0ρρθθ--=．化简得：2cos ρθθ=+……………………………………2分 因为直线1cos sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩：（t 为参数），所以直线1l 的极坐标方程为：()θαρ=∈R …4分（漏写ρ∈R 不扣分）（2）设点A 的极坐标为(,)A ρα，63ππα-<<，则2cos 4sin 6A πρθθα⎛⎫=+=+⎪⎝⎭……6分 点B 的极坐标为,2B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭，则4sin 4cos 266B πππραα⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………7分54sin 4cos 6612A B OA OB πππρρααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……8分所以当12πα=时，()maxOA OB+=………………………………………10分解法二：由已知得：90AOB ∠=︒，AB ∴为O 的直径…………………5分故有2222416OA OB AB +===，………………………………………6分222822OA OB OA OB⎛+⎫+∴= ⎪⎝⎭≤，……………………8分即OA OB +=≤9分当且仅当OA OB ==时，OA OB +取得最大值10分5、解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y =．…2分因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………3分 所以22(3)(1)4x y -+-=，……………………………4分 所以曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． ……………………5分（2）联立6=23cos 2sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………6分 同理，223OB ρ==．……………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………8分所以111sin 42323222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯⨯=， …………………9分 即AOB ∆的面积为23． ……………………………………………………………10分6、解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，联立射线θ＝π3与曲线C 的极坐标方程，得A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫4，π3， 联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，11π6，∴|AB |＝2， ∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2 3. 7、解 (1)由l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，得l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①(2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得⎩⎨⎧x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴l 3与C 的交点M 的极径为 5.8、解 (1)由⎩⎨⎧x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t消去t ，得y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . ∴直线l 的普通方程为y ＝3x . 曲线C ：ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. ∴其直角坐标方程x 2＋y 2＝4x ＋23y －4， 即(x －2)2＋(y －3)2＝3.(2)易由y ＝3x ，得直线l 的极坐标方程为θ＝π3.代入曲线C 的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0， 所以|OA |·|OB |＝|ρA ·ρB |＝4.。