函数图像与变换

函数图像与变换

一、目标定位

1掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法

2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力

二、知识梳理

1．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。

2．描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。 3．函数图象变换：

①平移变换： ⑴水平平移：

如()y f x a =+，把函数()y f x =的图象，沿 轴方向向 (0a >)或向 (0a <)平移a 个单位，就得到()y f x a =+的函数图象。

⑵竖直平移：如()y f x a =+，把函数()y f x =的图象沿 轴方向向 (0a >)或向 (0a <)平移a 个单位，就得到()y f x a =+的函数图象。 ②对称变换：

⑴如()y f x =-，其函数图象与函数()y f x =的图象关于 对称； ⑵如()y f x =-，其函数图象与函数()y f x =的图象关于 对称； ⑶如()y f x =--，其函数图象与函数()y f x =的图象关于 对称； ⑷如1

()y f

x -=，其函数图象与函数()y f x =的图象关于 对称。

③翻折变换：

⑴形如()y f x =，将函数()y f x =的图象在x 轴下方沿x 轴翻到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =在x 轴以上部分，为函数()y f x =的图象；

⑵形如()y f x =，将函数()y f x =的图象在y 轴右边沿y 轴翻到y 轴左边部分替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分，为函数()y f x =)的图象。 ④伸缩变换：

⑴形如()y af x = (0a >)，将函数()y f x =的图象 得到。

⑵形如()y f ax =(0a >)，将函数()y f x =的图象 得到。

三、课堂互动

知识点1： 函数的图象变换

函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的重要方面，一些复杂的函数是可以通过一些较为简单的函数由相应的变换得到，从而我们可以利用之研究函数的性质。

【例题1】（1）设()2,()x

f x

g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()

h x 的图像由

()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________

（2）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到

（3）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的

1

3

（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____

巩固练习

（1）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______ （2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 【例题2】已知f(x+199)=4x 2

＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．

巩固练习

设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( )

Ａ、直线y=0对称 Ｂ、直线x=0对称 Ｃ、直线y=1对称 Ｄ、直线x=1对称 知识点2 函数图象的画法

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换。 【例题3】画出下列函数的图象

（1）|

|2x y = （2）|

2|21+⎪

⎭

⎫

⎝⎛=x y （3）|122|2-+=x x y

巩固练习⑴ ()1-==x lg x f y ； ⑵ ())x lg(x g 1-=

【例题4】作出下列函数的图象（1）y=|x-2|(x ＋1) （2）1y x x

=+

巩固练习 画出下列函数的图象 21

3

x y x +=

-

知识点3 函数图象的识别

通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点，在识别上可以采用特殊的原则，去寻找特殊点和特殊位置等方法；在图象变换的问题上，需要依据变换的方法对函数的图象进行变换，而得到函数的图象；现在有一类很常见的的题型是和实际的生活相联系的问题，比如例题6，对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考

【例题5】 已知y=f(x)的图象如图(A)，则y=f(-x)的图象是_______；y=-f(x)的图象是_______；y=f(∣x ∣)的图象是______；y=∣f(x)∣的图象是_______。

巩固练习 方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是 ( )

【例题6】如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；

（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 ； （2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 ； （3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 ； （4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是

巩固练习：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

知识点4 函数图象的应用

有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及，函数的图象在我们函数有关问题的解决中是有着相当重要的作用，起着直观，简洁，化繁为简的作用。 【例题7】方程1

2442

--=-+x x

x x 的实根共有几个？

巩固练习 方程2lg =+x x 的实根共有几个？

()

d t

h

v

h

t

h ()

a t

h

()A ()B ()C ()D