函数的单调性与倒数的教学案例

师：引导学生观察思考。当函数递增时，其导数的取值范围?当函数递减时，其导数的取值范围？

引例2、f（x）= x2

师：大家观察一下切线斜率的正负与函数的单调性之间的关系？

生（观察后回答）：切线斜率为正时，函数单调递增；

切线斜率为负时，函数单调递减。

师（强调）：很好。从刚才的演示中可以看出，切线斜率也就是导数为正时，函数单调递增；切线斜率也就是导数为负时，函数单调递减。（继续演示，给出结论）

师：提问如果在(a，b)内恒有f '(x)=0，那么f(x)在(a，b)内是什么?

生：常数

师：下面我们一起来看如果利用导数的正负判断函数的单调性。

3、例题讲解与练习：

例题：确定函数f (x) = x2 - 4x-5在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？

教师演示，强调解题步骤。

练习：确定下列函数在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？

（1）f (x) = 2x3– 6x2 +7

（2）f (x) = 3 x -x3

（3）f (x) = x3– x2-x

4、小结：

师：如何利用函数的导数判断函数的单调性？

生：若f’（x）>0, 则f（x）是增函数；若f’（x）<0, 则f（x）是减函数。

解题步骤是：（1）求函数的定义域

（2）求函数的导数

（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。

5、随堂检测：（8分钟完成）

（1）、曲线y= x 4- 2 x 3 + 3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为

(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8

（2）、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )

(A) (-1,1) (B) (1,2)

(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)

（3）、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )

(A)单调递增函数(B) 单调递减函数

(C) 部份单调增，部分单调减(D) 单调性不能确定

（4）、(2005北京)已知函数f (x) = - 3 x3 + 3 x2 +3 x + a,

求f (x)的单调递减区间;

学生完成检测后，教师让学生对答案，统计全对的人数。

6、作业布置：

课后练习第1、2题。

教学反思：本节课总的来说还是取得了比较好的效果。。我认为做得比较好的部分就是能将信息技术与数学教学较好的整合在一起，弥补了传统教学的不足。在引入部分，充分利用几何画板，动态演示过曲线上点P的切线斜率的正负与函数的单调性之间的关系，使学生通过观察能比较自然的得出结论，化被动学习为主动学习。但也存在不足：如提出问题后给学生思考的时间比较少，语速较快等等，今后在这些方面还有待加强。